حاسبة حجم المخروط - حساب حجم المخروط والمخروط المقطوع

ما حاسبة حجم المخروط؟

تحسب حاسبة حجم المخروط حجم المخروط أو حجم المخروط الناقص (وهو المخروط مبتور القمة) من نصف قطره وارتفاعه. المخروط شكل مجسّم له قاعدة دائرية مسطحة واحدة تضيق بسلاسة حتى نقطة واحدة تُسمّى الرأس. أما المخروط الناقص فهو الجزء المتبقي من المخروط بعد قطع قمته بقطع موازٍ للقاعدة، بحيث يترك وجهين دائريين بدلًا من وجه واحد.

صيغة حجم المخروط

يعتمد حجم المخروط الكامل على نصف قطر قاعدته وارتفاعه.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V هو حجم المخروط.
• r هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
• h هو الارتفاع، ويُقاس خطيًا من القاعدة إلى الرأس.
• π (باي) تساوي تقريبًا 3.14159.

مثال محلول

مخروط نصف قطر قاعدته 3 وحدات وارتفاعه 4 وحدات له الحجم الآتي:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 وحدة مكعبة

كيفية حساب حجم المخروط باستخدام الحاسبة

تُدخل الحاسبة ثلاث قيم:

1. نصف القطر — نصف قطر القاعدة.
2. الارتفاع — ارتفاع المخروط من القاعدة إلى الرأس.
3. ارتفاع القطع من القاعدة (اختياري) — المسافة التي يقع عندها القطع فوق القاعدة، إذا قُطعت القمة.

يؤدي ترك ارتفاع القطع فارغًا أو إدخال 0 إلى إعطاء حجم المخروط الكامل غير المقطوع. ويؤدي إدخال ارتفاع قطع أصغر من الارتفاع الكامل إلى إعطاء حجم الجزء الواقع أسفل القطع من المخروط الناقص. يوضّح الرسم البياني أسفل القيم المُدخلة القياسات الثلاثة نفسها على الشكل.

ترفض الحاسبة نصف القطر أو الارتفاع إذا كان صفرًا أو سالبًا أو فارغًا أو كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن التعامل معه كعدد عادي. وفي هذه الحالات تعرض إشعارًا بدلًا من الحجم، ولذلك لا تعرض قيمة مختلقة.

صيغة حجم المخروط الناقص

يعتمد حجم المخروط الناقص على نصفي قطري وجهيه الدائريين وارتفاعه.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R هو نصف قطر الوجه السفلي الأكبر.
• r هو نصف قطر الوجه العلوي الأصغر.
• h هو ارتفاع المخروط الناقص، ويُقاس بين الوجهين.

لا تطلب الحاسبة نصف القطر العلوي مباشرةً. بل تستخدم نصف قطر القاعدة، والارتفاع الذي كان سيبلغه المخروط لو لم يُقطع، وارتفاع القطع. ثم تحسب نصف القطر العلوي باستخدام المثلثات المتشابهة:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

حيث إن c هو ارتفاع القطع فوق القاعدة، وf هو الارتفاع الكامل للمخروط غير المقطوع.

مثال محلول

لنفترض أن نصف قطر القاعدة هو 3 وحدات، وأن ارتفاع المخروط الكامل (غير المقطوع) هو 12 وحدة، وأن ارتفاع القطع هو 4 وحدات.

نصف القطر العلوي = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 وحدات

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 وحدة مكعبة

إذا كان ارتفاع القطع مساويًا للارتفاع الكامل أو أكبر منه، فإن القطع يقع عند الرأس أو فوقه، ولذلك لا يُزال أي جزء. عندئذٍ تُرجع الحاسبة حجم المخروط الكامل، ويرسم المخطط المخروط كاملًا.

تاريخ صيغة حجم المخروط

كان علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أول من ربط حجم المخروط بحجم الأسطوانة. ويُنسب إلى ديمقريطس، الذي عاش في أواخر القرن 5 قبل الميلاد، القول إن حجم المخروط يساوي ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسيهما. لكنه لم يثبت ذلك. أما إيدوكسوس الكنيدي، الذي عمل في القرن التالي، فقد قدّم أول برهان صارم باستخدام تقنية تُسمّى طريقة الاستنفاد، وهي سلف مبكر لحساب التكامل. وظلت الصيغة V = (1/3)πr²h على حالها منذ ذلك الحين.

استخدامات حسابات حجم المخروط

تظهر مسألة أحجام المخاريط والمخاريط الناقصة كلما ضاق شكل ما من قاعدة عريضة إلى نقطة أو إلى قمة أصغر. يستخدم المهندسون الصيغ لحساب أبعاد الخزانات المخروطية والقواديس والأقماع. ويستخدمها المعماريون لتقدير مواد الأسقف المخروطية. كما يستخدمها الجيولوجيون لتقدير حجم المخاريط البركانية والتضاريس المماثلة.

الأسئلة الشائعة

كيف تحسب حجم المخروط؟

اضرب π في مربع نصف القطر، ثم اضرب الناتج في الارتفاع، وبعد ذلك اقسمه على 3: V = (1/3)πr²h. يبلغ حجم مخروط نصف قطره 5 سم وارتفاعه 10 سم نحو 261.80 سنتيمترًا مكعبًا.

ما صيغة حجم المخروط الناقص؟

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)، حيث إن R وr هما نصفا قطري الوجهين الدائريين، وh هو ارتفاع المخروط الناقص نفسه، ويُقاس بين الوجهين.

كيف تحسب الحاسبة نصف القطر العلوي للمخروط الناقص؟

تستخدم المثلثات المتشابهة. يساوي نصف القطر العلوي نصف قطر القاعدة مضروبًا في (1 − ارتفاع القطع ÷ الارتفاع الكامل للمخروط). ويفترض ذلك أن المخروط الناقص جزء من مخروط ذي جوانب مستقيمة.

ماذا يحدث إذا كان ارتفاع القطع أكبر من الارتفاع أو مساويًا له؟

تتعامل الحاسبة مع الشكل على أنه مخروط كامل غير مقطوع، وتُرجع V = (1/3)πr²h باستخدام نصف القطر والارتفاع المُدخلين.

ماذا يحدث إذا كان نصف القطر أو الارتفاع صفرًا أو سالبًا؟

تشترط الحاسبة أن يكون كل من نصف القطر والارتفاع أكبر من الصفر. وإذا كان أي منهما صفرًا أو سالبًا أو فارغًا أو كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن التعامل معه كعدد عادي، فإنها تعرض إشعارًا بدلًا من الحجم.

كيف تحسب حجم المخروط من القطر بدلًا من نصف القطر؟

اقسم القطر على 2 للحصول على نصف القطر، ثم طبّق الصيغة V = (1/3)πr²h كالمعتاد.

المراجع

1. وايزشتاين، إريك و. "Cone." MathWorld—مورد ويب من وولفرام. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. وايزشتاين، إريك و. "Frustum." MathWorld—مورد ويب من وولفرام. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html