حاسبة حجم المخروط - حساب حجم المخروط والمخروط المقطوع

ما حاسبة حجم المخروط؟

تحسب حاسبة حجم المخروط حجم المخروط أو حجم المخروط الناقص (وهو المخروط مبتور القمة) من نصف قطره وارتفاعه. المخروط شكل مجسّم له قاعدة دائرية مسطحة واحدة تضيق بسلاسة حتى نقطة واحدة تُسمّى الرأس. أما المخروط الناقص فهو الجزء المتبقي من المخروط بعد قطع قمته بقطع موازٍ للقاعدة، بحيث يترك وجهين دائريين بدلًا من وجه واحد.

صيغة حجم المخروط

يعتمد حجم المخروط الكامل على نصف قطر قاعدته وارتفاعه. وهو ثلث مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع.

V = (1/3) × π × r² × h

• r هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
• h هو الارتفاع، ويُقاس خطيًا من القاعدة إلى الرأس.
• π (باي) تساوي تقريبًا 3.14159.

مثال

مخروط نصف قطر قاعدته 3 وحدات وارتفاعه 4 وحدات له الحجم الآتي:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 وحدة مكعبة

كيفية حساب حجم المخروط باستخدام الحاسبة

تأخذ الحاسبة ثلاث قيم مُدخلة:

1. نصف القطر — نصف قطر القاعدة.
2. الارتفاع — ارتفاع المخروط من القاعدة إلى الرأس.
3. ارتفاع البتر (اختياري) — ارتفاع الجزء المراد الإبقاء عليه من المخروط الناقص، إذا قُطعت قمة المخروط.

إذا ترك المستخدم ارتفاع البتر فارغًا أو أدخل 0، حصل على حجم المخروط الكامل غير المقطوع. وإذا أدخل ارتفاع بتر موجبًا أصغر من الارتفاع الكامل، حصل على حجم المخروط الناقص المتبقي بعد القطع.

صيغة حجم المخروط الناقص

يعتمد حجم المخروط الناقص على نصفي قطر وجهيه الدائريين وعلى ارتفاعه. وصيغة المخروط الناقص المعتمدة هي:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

• R هو نصف قطر الوجه السفلي الأكبر.
• r هو نصف قطر الوجه العلوي الأصغر.
• h هو ارتفاع المخروط الناقص، ويُقاس بين الوجهين.

لا تطلب الحاسبة نصف القطر العلوي مباشرة. وإنما تأخذ نصف قطر القاعدة، والارتفاع الذي كان سيكون للمخروط لو لم يُقطع، وارتفاع البتر (ارتفاع الجزء المتبقي). ثم تحسب نصف القطر العلوي باستخدام تشابه المثلثات:

نصف القطر العلوي = نصف قطر القاعدة × (1 − ارتفاع البتر ÷ الارتفاع الكامل)

مثال

لنفترض أن نصف قطر القاعدة 3 وحدات، وأن ارتفاع المخروط الكامل (غير المقطوع) 12 وحدة، وأن ارتفاع البتر 4 وحدات.

نصف القطر العلوي = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 وحدات

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 وحدة مكعبة

إذا كان ارتفاع البتر مساويًا للارتفاع الكامل أو أكبر منه، فلا يبقى جزء علوي يُزال، فتعيد الحاسبة حجم المخروط الكامل بدلًا من ذلك.

تاريخ صيغة حجم المخروط

كان علماء الرياضيات الإغريق القدماء أول من ربط حجم المخروط بحجم الأسطوانة. ويُنسب إلى ديمقريطس، الذي ازدهر في أواخر القرن 5 قبل الميلاد، القول إن حجم المخروط يساوي ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفساهما. ولم يقدّم برهانًا على ذلك. أما إيودوكسوس الكنيدي، الذي عمل في القرن التالي، فقدّم أول برهان صارم باستخدام تقنية تُسمّى طريقة الاستنفاد، وهي سلف مبكر لحساب التكامل. ولم تتغير الصيغة V = (1/3)πr²h منذ ذلك الحين.

استخدامات حسابات حجم المخروط

تظهر مسألة أحجام المخاريط والمخاريط الناقصة كلما ضاق شكل ما من قاعدة عريضة إلى نقطة أو إلى قمة أصغر. يستخدم المهندسون الصيغ لحساب أبعاد الخزانات المخروطية والقواديس والأقماع. ويستخدمها المعماريون لتقدير مواد الأسقف المخروطية. كما يستخدمها الجيولوجيون لتقدير حجم المخاريط البركانية والتضاريس المماثلة.

الأسئلة الشائعة

كيف تحسب حجم المخروط؟

اضرب π في مربع نصف القطر، ثم اضرب الناتج في الارتفاع، وبعد ذلك اقسمه على 3: V = (1/3)πr²h. يبلغ حجم مخروط نصف قطره 5 سم وارتفاعه 10 سم نحو 261.80 سنتيمترًا مكعبًا.

ما صيغة حجم المخروط الناقص؟

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)، حيث إن R وr هما نصفا قطري الوجهين الدائريين، وh هو ارتفاع المخروط الناقص نفسه، ويُقاس بين الوجهين.

كيف تحسب الحاسبة نصف القطر العلوي للمخروط الناقص؟

تستخدم الحاسبة تشابه المثلثات. فنصف القطر العلوي يساوي نصف قطر القاعدة مضروبًا في (1 − ارتفاع البتر ÷ ارتفاع المخروط الكامل). ويفترض هذا أن المخروط الناقص ناتج من مخروط مستقيم الجوانب.

ماذا يحدث إذا كان ارتفاع البتر أكبر من الارتفاع أو مساويًا له؟

تتعامل الحاسبة مع الشكل على أنه مخروط كامل غير مقطوع، وتُرجع V = (1/3)πr²h باستخدام نصف القطر والارتفاع المُدخلين.

ماذا يحدث إذا كان نصف القطر أو الارتفاع صفرًا أو سالبًا؟

تشترط الحاسبة أن يكون نصف القطر والارتفاع كلاهما أكبر من الصفر. وإذا كان أحدهما صفرًا أو سالبًا أو تُرك فارغًا، تعرض رسالة خطأ بدلًا من الحجم.

كيف تحسب حجم المخروط من القطر بدلًا من نصف القطر؟

اقسم القطر على 2 للحصول على نصف القطر، ثم طبّق الصيغة V = (1/3)πr²h كالمعتاد.

المراجع

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: المخروط — حجم المخروط V = (1/3)πr²h، أي ثلث مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع.
2. Weisstein, Eric W. Conical Frustum. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: المخروط الناقص — حجم المخروط الناقص V = (1/3)πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²).
3. O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. Democritus of Abdera. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. MacTutor: ديمقريطس — ديمقريطس أول من صاغ قاعدة ثلث المخروط؛ ثم برهن إيودوكسوس عليها لاحقًا.