حاسبة المقاطع المخروطية - الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ

ما هي حاسبة القطوع المخروطية؟

حاسبة القطوع المخروطية تجد الاختلاف المركزي والمعادلة القياسية لدائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد من عدد قليل من القياسات. تظهر هذه المنحنيات الأربعة عندما يقطع مستوٍ مسطّح مخروطًا بزوايا مختلفة.

القطوع المخروطية الأربعة

قطع المخروط بشكل مستقيم عبره ينتج دائرة. إمالة المستوى ينتج قطعًا ناقصًا. القطع الموازي لجانب المخروط ينتج قطعًا مكافئًا. القطع عبر نصفَي مخروط مزدوج ينتج قطعًا زائدًا.

لكل منحنى اختلاف مركزي، وهو رقم يُظهر مدى اختلافه عن الدائرة المثالية.

• الدائرة: $e = 0$
• القطع الناقص: $0 < e < 1$
• القطع المكافئ: $e = 1$
• القطع الزائد: $e > 1$

كيفية استخدام هذه الحاسبة

1. اختر نوع القطع المخروطي: دائرة، قطع ناقص، قطع مكافئ، أو قطع زائد.
2. أدخل القياسات المطلوبة.
   • الدائرة: نصف القطر ($r$)
   • القطع الناقص: نصف المحور الأكبر ($a$) ونصف المحور الأصغر ($b$)
   • القطع المكافئ: البعد البؤري ($f$)
   • القطع الزائد: نصف المحور المستعرض ($a$) ونصف المحور المرافق ($b$)
3. يظهر الاختلاف المركزي والمعادلة القياسية تلقائيًا بمجرد إدخال قيم موجبة وصحيحة لنوع القطع المخروطي المختار؛ لا يوجد زر حساب للنقر عليه.
4. يُرسم رسم بياني للمنحنى أسفل النتائج.

تطبع الحاسبة المعادلة مع الأرقام المُدخلة بعد تعويضها بالفعل، لذا فإن قطعًا ناقصًا بقيمتَي $a = 5$ و$b = 3$ يُعرَض كـ $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. وهذه هي المعادلة نفسها $x^2/25 + y^2/9 = 1$. يُعرَض الاختلاف المركزي إلى أربعة أرقام عشرية.

يجب أن تكون جميع المُدخلات أرقامًا موجبة. بالنسبة للقطع الناقص، يجب أن يكون نصف المحور الأكبر أطول من أو مساويًا لنصف المحور الأصغر، لأن نصف المحور الأكبر يُعرَّف بأنه الأطول. لا توجد قاعدة مماثلة للقطع الزائد: يمكن أن يكون نصف محوره المستعرض ونصف محوره المرافق أي أطوال موجبة، بما في ذلك أطوال متساوية.

معادلة الدائرة

بالنسبة لدائرة نصف قطرها $r$ ومركزها نقطة الأصل:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

الاختلاف المركزي: $e = 0$.

الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث يكون المحوران متساويَي الطول وتقع البؤرتان معًا عند المركز.

معادلة القطع الناقص

بالنسبة لقطع ناقص مركزه نقطة الأصل بنصف محور أكبر $a$ ونصف محور أصغر $b$، حيث $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

عندما $a = b$، يصبح القطع الناقص دائرة و$e = 0$.

معادلة القطع المكافئ

بالنسبة لقطع مكافئ يفتح نحو اليمين، ببعد بؤري $f$ (المسافة من الرأس إلى البؤرة):

$$y^2 = 4fx$$

الاختلاف المركزي: $e = 1$، دائمًا.

مثال: $f = 2$. المعادلة: $y^2 = 8x$.

معادلة القطع الزائد

بالنسبة لقطع زائد مركزه نقطة الأصل بنصف محور مستعرض $a$ ونصف محور مرافق $b$، حيث $a$ و$b$ أي رقمين موجبين:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

نصف المحور المستعرض $a$ هو نصف المسافة بين الرأسين، وهما النقطتان اللتان ينعطف عندهما المنحنى. نصف المحور المرافق $b$ هو نصف طول المحور المرافق، وهو القطعة المرسومة بزاوية قائمة معه عبر المركز. يحدد مدى سرعة انفتاح الفروع.

على عكس القطع الناقص، لا يشترط القطع الزائد أن يكون $a$ أكبر من $b$. الطولان مستقلان، لذا يمكن أن يكون $b$ أصغر من $a$ أو مساويًا له أو أكبر منه. عندما $a = b$، يُسمّى المنحنى قطعًا زائدًا قائمًا، باختلاف مركزي $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

الاستخدامات الواقعية للقطوع المخروطية

تتبع الكواكب والمذنّبات مدارات على شكل قطوع مخروطية. ينص قانون كبلر الأول على أن مدار الكوكب هو قطع ناقص، والشمس في إحدى بؤرتيه. بعض المذنّبات تتبع مسارات مكافئة أو زائدة ولا تعود أبدًا.

تُركّز القطوع المكافئة الأشعة المتوازية في نقطة واحدة، لذا يستخدم المهندسون الأشكال المكافئة في أطباق الأقمار الصناعية، ومرايا التلسكوبات، ومصابيح السيارات الأمامية. تظهر المنحنيات الزائدة في جدران أبراج التبريد، حيث يمنح الشكل قوة باستخدام مواد أقل. تظهر القطوع الناقصة في الأقواس، وسقوف القاعات الهامسة، وتصميم التروس.

تاريخ موجز للقطوع المخروطية

درس عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس القطوع المخروطية حوالي 350 قبل الميلاد أثناء محاولته حل مسألة مضاعفة المكعب. كتب أبولونيوس البرغاوي رسالة مفصّلة بعنوان المخروطيات حوالي 200 قبل الميلاد. سمّى القطع الناقص والمكافئ والزائد ووصف خصائصها. بعد قرون، استخدم يوهانس كبلر القطع الناقص لوصف حركة الكواكب، واستخدم إسحاق نيوتن القطوع المخروطية لتفسير الجاذبية.

الأسئلة الشائعة

ما هي الأنواع الأربعة للقطوع المخروطية؟

الدائرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد. يتشكّل كل منها عندما يقطع مستوٍ مخروطًا بزاوية مختلفة، ولكل منها نطاق اختلاف مركزي مختلف.

كيف يُحسب الاختلاف المركزي؟

الاختلاف المركزي ثابت للدائرة ($e = 0$) وللقطع المكافئ ($e = 1$). بالنسبة للقطع الناقص، $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$، باستخدام نصف المحور الأكبر $a$ ونصف المحور الأصغر $b$. بالنسبة للقطع الزائد، $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$، باستخدام نصف المحور المستعرض $a$ ونصف المحور المرافق $b$.

هل يجب أن يكون نصف المحور المستعرض للقطع الزائد أطول من نصف محوره المرافق؟

لا. على عكس نصفَي المحور الأكبر والأصغر للقطع الناقص، فإن نصف المحور المستعرض ($a$) ونصف المحور المرافق ($b$) للقطع الزائد قياسان مستقلان. يجب أن يكون كلاهما موجبًا، لكن أيًا منهما يمكن أن يكون الأكبر.

هل يمكن أن يصبح القطع الناقص دائرة؟

نعم. عندما يساوي نصف المحور الأكبر نصف المحور الأصغر، يصبح القطع الناقص دائرة واختلافه المركزي 0.

لماذا تستخدم أطباق الأقمار الصناعية شكلًا مكافئًا؟

يعكس القطع المكافئ الأشعة المسافرة الموازية لمحوره إلى نقطة بؤرة واحدة. تستخدم أطباق الأقمار الصناعية ومرايا التلسكوبات هذه الخاصية لتركيز الإشارات أو الضوء في نقطة واحدة.

ما هو القطع الزائد القائم؟

القطع الزائد القائم هو الذي يتساوى فيه نصف المحور المستعرض مع نصف المحور المرافق ($a = b$). خطوطه المقاربة متعامدة، واختلافه المركزي هو $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

المراجع

1. Conic section - Wikipedia
2. Eccentricity of Conic Sections - Khan Academy
3. Conics - OpenStax