حاسبة المقاطع المخروطية - الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ

ما هي حاسبة القطوع المخروطية؟

تجد حاسبة القطوع المخروطية الاختلاف المركزي والمعادلة القياسية للدائرة أو القطع الناقص أو القطع المكافئ أو القطع الزائد انطلاقًا من بضعة قياسات. وتظهر هذه المنحنيات الأربعة عندما يقطع مستوٍ مسطح مخروطًا بزوايا مختلفة.

القطوع المخروطية الأربعة

يُنتج قطع المخروط بشكل مستقيم عرضيًا دائرة. وإمالة المستوي تنتج قطعًا ناقصًا. والقطع الموازي لجانب المخروط ينتج قطعًا مكافئًا. وقطع نصفي مخروط مزدوج معًا ينتج قطعًا زائدًا.

لكل منحنٍ اختلاف مركزي، وهو عدد يبيّن مقدار اختلافه عن الدائرة التامة. والاختلاف المركزي وحده يحدد نوع القطع المخروطي:

• الدائرة: $e = 0$
• القطع الناقص: $0 < e < 1$
• القطع المكافئ: $e = 1$
• القطع الزائد: $e > 1$

كيفية استخدام هذه الحاسبة

1. اختر نوع القطع المخروطي: دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد.
2. أدخل القياسات المطلوبة.
   • الدائرة: نصف القطر ($r$)
   • القطع الناقص: نصف المحور الأكبر ($a$) ونصف المحور الأصغر ($b$)
   • القطع المكافئ: البعد البؤري ($f$)
   • القطع الزائد: نصف المحور القاطع ($a$) ونصف المحور المرافق ($b$)
3. يظهر الاختلاف المركزي والمعادلة القياسية تلقائيًا بمجرد إدخال مدخلات موجبة صالحة للنوع المختار؛ ولا يوجد زر «احسب» للنقر عليه.

يجب أن تكون جميع المدخلات أعدادًا موجبة. وفي القطع الناقص يجب ألا يقل نصف المحور الأكبر طولًا عن نصف المحور الأصغر، لأن نصف المحور الأكبر معرَّف بأنه الأطول. أما القطع الزائد فلا تنطبق عليه هذه القاعدة: إذ يمكن أن يكون لنصف محوره القاطع ونصف محوره المرافق أي طولين موجبين، بما في ذلك طولان متساويان.

صيغة الدائرة

لدائرة نصف قطرها $r$ ومركزها عند نقطة الأصل:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

الاختلاف المركزي: $e = 0$.

الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص، فيها يتساوى المحوران في الطول وتقع البؤرتان كلتاهما في المركز.

صيغة القطع الناقص

لقطع ناقص مركزه عند نقطة الأصل ونصف محوره الأكبر $a$ ونصف محوره الأصغر $b$، حيث $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

يأتي هذا من $e = c/a$، حيث $c$ هي المسافة من المركز إلى إحدى البؤرتين، و$c^2 = a^2 - b^2$ في القطع الناقص.

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

عندما $a = b$ يصبح القطع الناقص دائرة ويكون $e = 0$.

صيغة القطع المكافئ

لقطع مكافئ يفتح نحو اليمين، وبعده البؤري $f$ (المسافة من الرأس إلى البؤرة):

$$y^2 = 4fx$$

الاختلاف المركزي: $e = 1$ دائمًا.

مثال: $f = 2$. المعادلة: $y^2 = 8x$.

صيغة القطع الزائد

لقطع زائد مركزه عند نقطة الأصل ونصف محوره القاطع $a$ ونصف محوره المرافق $b$، حيث $a$ و$b$ أي عددين موجبين:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

في القطع الزائد يكون $e = c/a$ أيضًا، لكن $c^2 = a^2 + b^2$، ولذلك يكون $e$ دائمًا أكبر من 1.

خلافًا للقطع الناقص، لا يشترط القطع الزائد أن يكون $a$ أكبر من $b$. فنصفا المحورين طولان مستقلان، لذلك يمكن أن يكون $b$ أصغر من $a$ أو مساويًا له أو أكبر منه. وعندما $a = b$ يسمى المنحنى القطع الزائد القائم، واختلافه المركزي $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

مثال: $a = 5$، $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

المعادلة: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

استخدامات القطوع المخروطية في الحياة الواقعية

تتبع الكواكب والمذنبات مدارات على شكل قطوع مخروطية. وينص قانون كبلر الأول على أن مدار الكوكب قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه. وبعض المذنبات يتبع مسارات مكافئة أو زائدة ولا يعود أبدًا.

تُركّز القطوع المكافئة الأشعة المتوازية في نقطة واحدة، لذلك يستخدم المهندسون الأشكال المكافئة في الأطباق اللاقطة للأقمار الصناعية ومرايا المقاريب ومصابيح السيارات الأمامية. وتظهر المنحنيات الزائدة في جدران أبراج التبريد، حيث يمنح الشكل متانة مع استخدام مادة أقل. وتظهر القطوع الناقصة في الأقواس وأسقف قاعات الهمس وتصميم التروس.

لمحة موجزة عن تاريخ القطوع المخروطية

درس عالم الرياضيات الإغريقي مناخموس (نحو 380 إلى 320 قبل الميلاد) القطوع المخروطية أثناء محاولته حل مسألة تضعيف المكعب. وألّف أبولونيوس البرجي (نحو 262 إلى 190 قبل الميلاد) مؤلفًا مفصلًا بعنوان المخروطات. وقد أدخل أسماء القطع الناقص والمكافئ والزائد ووصف خصائصها. وبعد قرون استخدم يوهانس كبلر القطع الناقص لوصف حركة الكواكب، واستخدم إسحاق نيوتن القطوع المخروطية لتفسير الجاذبية.

الأسئلة الشائعة

ما أنواع القطوع المخروطية الأربعة؟

الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. ويتشكل كل منها عندما يقطع مستوٍ مخروطًا بزاوية مختلفة، ولكل منها نطاق مختلف من الاختلاف المركزي.

كيف يُحسب الاختلاف المركزي؟

الاختلاف المركزي ثابت للدائرة ($e = 0$) وللقطع المكافئ ($e = 1$). وفي القطع الناقص $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$، باستخدام نصف المحور الأكبر $a$ ونصف المحور الأصغر $b$. وفي القطع الزائد $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$، باستخدام نصف المحور القاطع $a$ ونصف المحور المرافق $b$.

هل يجب أن يكون المحور القاطع للقطع الزائد أطول من محوره المرافق؟

لا. خلافًا لنصفي المحورين الأكبر والأصغر في القطع الناقص، فإن نصف المحور القاطع ($a$) ونصف المحور المرافق ($b$) في القطع الزائد قياسان مستقلان. ويجب أن يكون كلاهما موجبًا، لكن يجوز أن يكون أي منهما الأكبر.

هل يمكن أن يصبح القطع الناقص دائرة؟

نعم. عندما يساوي نصف المحور الأكبر نصف المحور الأصغر، يكون القطع الناقص دائرة ويكون اختلافه المركزي 0.

لماذا تستخدم الأطباق اللاقطة للأقمار الصناعية شكلًا مكافئًا؟

يعكس القطع المكافئ الأشعة المتوازية مع محوره إلى نقطة بؤرية واحدة. وتستخدم الأطباق اللاقطة للأقمار الصناعية ومرايا المقاريب هذه الخاصية لتركيز الإشارات أو الضوء في نقطة واحدة.

ما القطع الزائد القائم؟

القطع الزائد القائم هو ما يتساوى فيه نصف المحور القاطع مع نصف المحور المرافق ($a = b$). ويتعامد خطا تقاربه، واختلافه المركزي $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

المراجع

1. OpenStax. Calculus Volume 2, 7.5 Conic Sections. القطوع المخروطية — نطاقات الاختلاف المركزي لكل قطع مخروطي، و$e = c/a$، و$c^2 = a^2 - b^2$ (القطع الناقص) و$c^2 = a^2 + b^2$ (القطع الزائد)، وخاصية الانعكاس في الطبق المكافئ.
2. NASA Science. Orbits and Kepler's Laws. المدارات وقوانين كبلر — تتحرك الكواكب في مدارات إهليلجية تقع الشمس في إحدى بؤرتيها.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Menaechmus. سيرة مناخموس — التواريخ، ودراسة القطوع المخروطية لحل مسألة تضعيف المكعب.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. سيرة أبولونيوس — التواريخ، وكتاب Conics الذي أدخل مصطلحات القطع المكافئ والناقص والزائد.