حاسبة قطر المخروط - الحساب من الارتفاع والنصف قطر

ما قطر المخروط؟

قطر المخروط هو عرض قاعدته الدائرية، مقيسًا بخط مستقيم يمر عبر المركز. وهو يساوي ضعف نصف قطر القاعدة. ويمكن أيضًا وصف المخروط بارتفاعه (المسافة الرأسية المستقيمة من القاعدة إلى الرأس) وارتفاعه المائل (المسافة من الرأس نزولًا على السطح الخارجي للمخروط إلى حافة القاعدة). إذا عُرفت أي قيمتين من هذه القيم الثلاث، أمكن إيجاد القيمة الثالثة.

صيغة قطر المخروط

توجد طريقتان شائعتان لإيجاد القطر، بحسب القياسات المتاحة.

من الارتفاع والارتفاع المائل:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

هنا d هو القطر، وs هو الارتفاع المائل، وh هو الارتفاع. وينتج ذلك من نظرية فيثاغورس: فالارتفاع المائل هو وتر مثلث قائم يتكوّن من الارتفاع ونصف القطر، ولذلك $s^2 = h^2 + r^2$. وبحل المعادلة لإيجاد نصف القطر ثم مضاعفته، نحصل على القطر. وتحسب الحاسبة القيمة نفسها بالصيغة المكافئة $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. تعطي الصيغتان الإجابة نفسها، لكن الصيغة الثانية تحافظ على عدد أكبر من الخانات الصحيحة عندما يكون الارتفاع المائل أكبر قليلًا من الارتفاع.

من نصف القطر:

$d = 2r$

هذا هو تعريف القطر ببساطة. فإذا كان نصف القطر معلومًا مسبقًا، فلا حاجة إلى أي قياس آخر.

يجب أن يكون الارتفاع المائل أطول دائمًا من الارتفاع، لأنه وتر مثلث قائم، والوتر هو أطول أضلاع المثلث دائمًا. وإذا كان الارتفاع المائل مساويًا للارتفاع أو أقصر منه، فإن الشكل الموصوف ليس مخروطًا صحيحًا.

كيفية حساب قطر المخروط

الطريقة 1: الارتفاع والارتفاع المائل

1. قِس الارتفاع (h)، أي المسافة الرأسية المستقيمة من القاعدة إلى الرأس.
2. قِس الارتفاع المائل (s)، أي المسافة من الرأس إلى حافة القاعدة على امتداد سطح المخروط.
3. ربّع القيمتين، واطرح مربع الارتفاع من مربع الارتفاع المائل، ثم احسب الجذر التربيعي: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. اضرب الناتج في 2 للحصول على القطر.

الطريقة 2: نصف القطر

1. قِس نصف القطر (r)، أي المسافة من مركز القاعدة إلى حافتها.
2. اضربه في 2.

ينبغي استخدام طريقة واحدة فقط من هاتين الطريقتين في كل مرة. فإدخال الارتفاع والارتفاع المائل ونصف القطر معًا ملتبس، إذ قد لا تصف القيم الثلاث مخروطًا متسقًا.

مثال محلول

مثال 1: الارتفاع والارتفاع المائل

مخروط ارتفاعه 3 وحدات وارتفاعه المائل 5 وحدات.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

القطر هو 8 وحدات.

مثال 2: نصف القطر

مخروط نصف قطره 4 وحدات.

$d = 2 \times 4 = 8$

القطر هو 8 وحدات. وهذا يطابق المثال 1، لأن مخروطًا ارتفاعه 3 وارتفاعه المائل 5 له نصف قطر قاعدة يساوي 4.

مثال 3: مخروط مفلطح

مخروط ارتفاعه 0.1 وحدة وارتفاعه المائل 10 وحدات.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

القطر يساوي نحو 20.00 وحدة. وعندما يكون الارتفاع صغيرًا جدًا مقارنةً بالارتفاع المائل، يقترب القطر من ضعف الارتفاع المائل.

مثال 4: مخروط شبيه بالإبرة

مخروط ارتفاعه 9.99 وحدات وارتفاعه المائل 10 وحدات.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

القطر يساوي نحو 0.89 وحدة. وعندما يكون الارتفاع المائل أطول قليلًا فقط من الارتفاع، يكون المخروط طويلًا ونحيلًا، ويكون قطر قاعدته صغيرًا.

استخدامات حساب قطر المخروط

يظهر قطر المخروط في كل موضع تُقاس فيه الأشكال المخروطية أو تُبنى. يستخدمه المهندسون عند تصميم القُمع والفوهات والخزانات المخروطية. ويستخدمه المصنعون لتحديد مقاسات القوالب والأجزاء المخروطية. ويستخدم الجيولوجيون قياسات مماثلة لوصف المخاريط البركانية. وتنطبق العلاقة نفسها بين الارتفاع والارتفاع المائل ونصف القطر على كل مخروط دائري قائم، من قبعة حفلة ورقية إلى مقدمة صاروخ مخروطية.

التاريخ

تعود الدراسة الرياضية للمخاريط إلى اليونان القديمة. وقد ألّف أبولونيوس البرغاوي، الذي عمل نحو 200 قبل الميلاد، مؤلفًا رئيسيًا بعنوان Conics بحث فيه كيفية قطع المستويات للمخاريط لإنتاج الدوائر والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. وقد عُرفت العلاقة الأساسية بين ارتفاع المخروط ونصف قطره وارتفاعه المائل، المستندة إلى نظرية فيثاغورس، منذ العصور القديمة، ولا تزال الطريقة المستخدمة اليوم.

الأسئلة الشائعة

ما قطر المخروط؟

هو عرض القاعدة الدائرية للمخروط، مقيسًا بخط مستقيم عبر المركز. وهو يساوي ضعف نصف قطر القاعدة.

كيف تجد قطر المخروط من دون معرفة نصف القطر؟

استخدم الارتفاع والارتفاع المائل مع الصيغة $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. وتطبّق هذه الصيغة نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف القطر، ثم تضاعفه.

ما العلاقة بين قطر المخروط وارتفاعه وارتفاعه المائل؟

يشكّل الارتفاع ونصف القطر والارتفاع المائل مثلثًا قائمًا. فالارتفاع المائل هو الوتر، والارتفاع أحد الضلعين القائمين، ونصف القطر الضلع القائم الآخر: $s^2 = h^2 + r^2$. والقطر يساوي ضعف نصف القطر.

لماذا ترفض الحاسبة بعض القيم؟

يجب أن يكون الارتفاع أكبر من الصفر. ويجب أن يكون الارتفاع المائل أكبر من الارتفاع، لأن الوتر لا يمكن أن يكون أقصر من أحد الضلعين القائمين أو مساويًا له. ويجب أن يكون نصف القطر أكبر من الصفر. ينبغي إدخال الارتفاع والارتفاع المائل، أو نصف القطر، كلٌّ على حدة؛ أما إدخال القيم الثلاث معًا فملتبس ويؤدي إلى الرفض. وإذا أُدخل نصف القطر إلى جانب الارتفاع، يُستخدم نصف القطر وحده، لأنه يحدد القطر بالفعل.

هل يمكن أن يكون للمخروط قطران مختلفان؟

للمخروط القياسي قطر واحد عند قاعدته، وينتهي عند الرأس بنقطة. أما المخروط الناقص، وهو مخروط قُطع رأسه المدبب، فله قطران، أحدهما عند كل طرف مستوٍ.

ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟

تصلح أي وحدة متسقة، مثل السنتيمترات أو الأمتار أو البوصات. وتظهر النتيجة بالوحدة نفسها المستخدمة في المدخلات.

المراجع

1. وايزشتاين، إريك و. "Cone." MathWorld، وولفرام ريسيرتش. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. أوكونور، ج. ج. وروبرتسون، إ. ف. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive، جامعة سانت أندروز. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/