حاسبة المخروط الدائري القائم - الحجم، المساحة السطحية والصيغ

ما هو المخروط الدائري القائم؟

المخروط الدائري القائم مجسّم ذو قاعدة دائرية مستوية وجانب منحني واحد يضيق حتى يصل إلى نقطة واحدة تُسمّى الرأس. ويُسمّى «قائمًا» لأن الرأس يقع مباشرة فوق مركز القاعدة. ويلتقي الخط النازل من الرأس مباشرة إلى القاعدة بالقاعدة بزاوية قائمة. تحسب هذه الحاسبة حجم المخروط، ومساحة قاعدته، ومساحة سطحه الجانبية (المنحنية)، ومساحة سطحه الكلية انطلاقًا من نصف قطره وارتفاعه.

تشمل الأمثلة الشائعة لهذا الشكل مخاريط المرور، ومخاريط المثلجات، والأقماع، وأسقف بعض الأبراج.

قياسات المخروط

يصف قياسان المخروط الدائري القائم:

• نصف القطر (r): المسافة من مركز القاعدة الدائرية إلى حافتها.
• الارتفاع (h): المسافة الرأسية المستقيمة من القاعدة إلى الرأس.

يوجد طول ثالث هو الارتفاع المائل (l)، ويمثل المسافة على طول السطح الخارجي للمخروط من الرأس إلى حافة القاعدة. ولا يُقاس هذا الطول مباشرة، بل يُحسب من نصف القطر والارتفاع، لأن هذه الأطوال الثلاثة تكوّن مثلثًا قائم الزاوية. تستخدم الحاسبة الارتفاع المائل لحساب مساحة الجانب المنحني، لكنها لا تعرضه كنتيجة مستقلة.

لا تفرض الحاسبة وحدة قياس معينة. أَدخل نصف القطر والارتفاع بالوحدة نفسها. وستظهر كل مساحة بعد ذلك بوحدة مربعة، والحجم بوحدة مكعبة. ولا يجوز أن تكون أي من القيمتين سالبة، لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا؛ لذلك تعرض الحاسبة رسالة بدلًا من النتيجة. وتُعطى النتائج حتى أربعة منازل عشرية.

صيغ المخروط

صيغة الارتفاع المائل

يشكّل نصف القطر والارتفاع والارتفاع المائل مثلثًا قائم الزاوية، ولذلك يُستنتج الارتفاع المائل من نظرية فيثاغورس:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

صيغة مساحة القاعدة

القاعدة دائرة، ولذلك تُحسب مساحتها باستخدام الصيغة القياسية لمساحة الدائرة:

$$A_b = \pi r^2$$

صيغة مساحة السطح الجانبي

تغطي مساحة السطح الجانبي الجانب المنحني فقط، ولا تشمل القاعدة. وإذا فُرد الجانب المنحني بشكل مستوٍ، فإنه يشكّل قطاعًا دائريًا مساحته:

$$A_l = \pi r l$$

صيغة مساحة السطح الكلية

تضيف مساحة السطح الكلية القاعدة إلى الجانب المنحني:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

يحتاج المخروط المفتوح من جهة القاعدة، مثل القمع الورقي، إلى المساحة الجانبية فقط عند حساب كمية المواد.

صيغة حجم المخروط

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

يساوي حجم المخروط تمامًا ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسهما. وقد أثبت أرخميدس هذه العلاقة باستخدام طريقة سبقت حساب التفاضل والتكامل. وأُكّدت العلاقة لاحقًا بحساب التكامل، الذي يتعامل مع المخروط على أنه كومة لا نهائية من الأقراص الدائرية المتناقصة من القاعدة إلى الرأس.

كيفية حساب حجم المخروط: مثال محلول

لنأخذ مخروطًا نصف قطره r = 5 وحدات وارتفاعه h = 12 وحدة.

1. أوجد الارتفاع المائل.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ وحدات}$$

2. أوجد مساحة القاعدة.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ وحدات}^2$$

3. أوجد مساحة السطح الجانبي.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ وحدات}^2$$

4. أوجد مساحة السطح الكلية.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ وحدات}^2$$

5. أوجد الحجم.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ وحدات}^3$$

رسم توضيحي

يمثل الخط الرأسي المتقطع الارتفاع من القاعدة إلى الرأس. ويمثل الخط الأفقي المتقطع نصف القطر من مركز القاعدة إلى حافتها.

أين تظهر المخاريط في الحياة الواقعية

تظهر حسابات حجم المخروط ومساحة سطحه في عدة تطبيقات عملية:

• تصنيع الصفائح المعدنية: تعطي مساحة السطح الجانبي مقدار المادة المستوية اللازمة لتشكيل قادوس مخروطي أو قمع أو مخفّض مجرى باللفّ، قبل إضافة هامش للوصلات والهدر.
• سعة التخزين: تعطي صيغة الحجم سعة الخزانات المخروطية وقواعد الصوامع المخروطية.
• البناء: تستخدم الأبراج المخروطية المدببة وأغطية الأبراج والعناصر المخروطية الأخرى في الأسقف المساحة الجانبية لتقدير مواد التسقيف.
• الأجسام اليومية: تُعد الأكواب الورقية وأقماع المثلجات وأقماع المرور جميعًا مخاريط دائرية قائمة تقريبًا.

تفترض هذه الحاسبة مخروطًا مثاليًا ذا قاعدة دائرية ورأس متمركز فوق القاعدة. أما المخروط المقطوع من أعلاه، الذي يُسمّى الجذع المخروطي، فيحتاج إلى مجموعة مختلفة من الصيغ لأنه يحتوي على نصفي قطر بدلًا من نصف قطر واحد.

التاريخ

درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء المخاريط منذ نحو 300 قبل الميلاد. وعرّفت العناصر لإقليدس المخروط بأنه المجسّم الناتج عن تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعيه القائمين. وفي وقت لاحق، درس أبولونيوس البرغاوي المنحنيات الناتجة عن قطع المخروط بزوايا مختلفة، وتُسمّى الآن القطوع المخروطية: الدائرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد. وقد أثبت أرخميدس صيغة الحجم V = (1/3)πr²h باستخدام طريقة الاستنفاد، وهي تقنية هندسية سبقت حساب التكامل بنحو 2,000 عام.

الأسئلة الشائعة

ما الذي يجعل المخروط «دائريًا قائمًا»؟

تعني كلمة «قائم» أن الرأس يقع مباشرة فوق مركز القاعدة، ولذلك يكون المحور عموديًا على القاعدة. أما في المخروط المائل، فيقع الرأس إلى أحد الجانبين. وتعني كلمة «دائري» أن القاعدة دائرة وليست قطعًا ناقصًا أو شكلًا آخر.

ما صيغة حجم المخروط؟

V = (1/3)πr²h، حيث r هو نصف قطر القاعدة وh هو الارتفاع العمودي. ولا يتطلب حساب الحجم الارتفاع المائل.

ما صيغة مساحة سطح المخروط؟

مساحة السطح الكلية هي A = πr² + πrl، حيث r هو نصف القطر وl هو الارتفاع المائل. يمثل الحد الأول مساحة القاعدة، ويمثل الحد الثاني المساحة الجانبية (المنحنية). ويُحذف الحد الأول إذا لم يكن للمخروط قاعدة، مثل القمع المفتوح.

ما الارتفاع المائل، وكيف يختلف عن الارتفاع؟

الارتفاع هو المسافة الرأسية المستقيمة من القاعدة إلى الرأس، ويُقاس عبر داخل المخروط. أما الارتفاع المائل فهو المسافة على طول السطح الخارجي من الرأس إلى حافة القاعدة. وترتبط القيمتان بالعلاقة l = √(r² + h²)، ويكون الارتفاع المائل دائمًا أطول من الارتفاع عندما يكون نصف القطر أكبر من الصفر.

كيف أجد حجم مخروط انطلاقًا من قطره؟

اقسم القطر على 2 لتحصل على نصف القطر، ثم استخدم V = (1/3)πr²h. فمثلًا، مخروط قطره 10 سم وارتفاعه 15 سم له نصف قطر مقداره 5 سم، ولذلك V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392.7 cm³.

هل تعمل هذه الحاسبة مع المخاريط المقطوعة (الجذوع المخروطية)؟

لا. الجذع المخروطي هو مخروط قُطع جزؤه العلوي، ولذلك له نصفا قطر بدلًا من نصف قطر واحد، ويحتاج إلى صيغ خاصة به لحساب الحجم ومساحة السطح.