حاسبة المخروط الدائري القائم لحساب المساحة والحجم

آلة حاسبة لمخروط دائري قائم

مقدمة

المخروط الدائري القائم هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يتناقص بسلاسة من قاعدة دائرية مسطحة إلى نقطة تُسمى القمة أو الرأس. يُطلق عليه "قائم" لأن القطعة المستقيمة (المحور) التي تربط القمة بمركز القاعدة عمودية على القاعدة. تساعدك هذه الآلة الحاسبة في العثور على الخصائص الرئيسية لمخروط دائري قائم:

المساحة السطحية الكلية (A): مجموع مساحة القاعدة والمساحة السطحية الجانبية.
الحجم (V): مقدار المساحة المحصورة داخل المخروط.
المساحة السطحية الجانبية (Aₗ): مساحة السطح الجانبي للمخروط.
مساحة السطح القاعدي (A_b): مساحة القاعدة الدائرية.

فهم هذه الخصائص أمر أساسي في مجالات مثل الهندسة، والعمارة، والعلوم الفيزيائية المختلفة.

الصيغة

التعريفات

لنعتبر:

r = نصف قطر القاعدة
h = ارتفاع المخروط (المسافة العمودية من القاعدة إلى القمة)
l = ارتفاع الميل للمخروط

يمكن حساب ارتفاع الميل (l) باستخدام نظرية فيثاغورس:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

الحسابات

مساحة السطح القاعدي (A_b):

تُعطى مساحة القاعدة الدائرية بـ:
$A_b = \pi r^2$
المساحة السطحية الجانبية (Aₗ):

المساحة السطحية الجانبية هي مساحة سطح المخروط الجانبي:
$Aₗ = \pi r l$
المساحة السطحية الكلية (A):

مجموع مساحة القاعدة والمساحة السطحية الجانبية:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
الحجم (V):

المساحة المحصورة داخل المخروط:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

حالات الحافة

نصف قطر صفر (r = 0): إذا كان نصف القطر صفرًا، ينهار المخروط إلى خط، مما يؤدي إلى حجم ومساحات سطحية صفرية.
ارتفاع صفر (h = 0): إذا كان الارتفاع صفرًا، يصبح المخروط قرصًا مسطحًا (القاعدة)، ويكون الحجم صفرًا. المساحة السطحية الكلية تساوي مساحة القاعدة.
قيم سالبة: القيم السالبة لنصف القطر أو الارتفاع غير فيزيائية في هذا السياق. تفرض الآلة الحاسبة أن r ≥ 0 و h ≥ 0.

حالات الاستخدام

الهندسة والتصميم

التصنيع: تصميم مكونات مخروطية مثل القمع، والأقماع الواقية، وأجزاء الآلات.
البناء: حساب المواد اللازمة للأسطح المخروطية، والأبراج، أو الهياكل الداعمة.

العلوم الفيزيائية

البصريات: فهم انتشار الضوء في الهياكل المخروطية.
الجيولوجيا: نمذجة المخاريط البركانية وحساب أحجام غرف الصهارة.

التعليم الرياضي

تدريس الهندسة: توضيح مبادئ الهندسة ثلاثية الأبعاد وحساب التفاضل والتكامل.
حل المشكلات: تقديم تطبيقات عملية للمفاهيم الرياضية.

البدائل

حسابات الأسطوانة: بالنسبة للأشكال ذات المقاطع العرضية الموحدة، قد تكون الصيغ الأسطوانية أكثر ملاءمة.
جزء مخروطي: إذا تم قطع المخروط، تكون الحسابات اللازمة لجزء مخروطي.

التاريخ

تعود دراسة المخاريط إلى الرياضيين اليونانيين القدماء مثل إقليدس وأبولونيوس من بيرغا، الذين درسوا بشكل منهجي الأقسام المخروطية. كانت المخاريط أساسية في تطوير الهندسة، وحساب التفاضل والتكامل، ولها تطبيقات في علم الفلك والفيزياء.

عناصر إقليدس: تعريفات وخصائص المخاريط المبكرة.
أبولونيوس والأقسام المخروطية: دراسة مفصلة للمنحنيات التي تتشكل من تقاطع مخروط مع مستوى.
تطوير حساب التفاضل والتكامل: حساب الأحجام والمساحات السطحية ساهم في حساب التفاضل والتكامل.

أمثلة

مثال عددي

بالنظر إلى مخروط بنصف قطر r = 5 وحدات وارتفاع h = 12 وحدة.

حساب ارتفاع الميل (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ وحدات}$
مساحة السطح القاعدي (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ وحدة}^2$
المساحة السطحية الجانبية (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ وحدة}^2$
المساحة السطحية الكلية (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ وحدة}^2$
الحجم (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ وحدة}^3$

أمثلة على الكود

إكسل

1' حساب خصائص مخروط دائري قائم في إكسل VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع غير سالبين."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "مساحة القاعدة: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "المساحة الجانبية: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "المساحة السطحية الكلية: " & A & vbCrLf & _
15                     "الحجم: " & V
16End Function
17' الاستخدام في خلية إكسل:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

بايثون

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع غير سالبين."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'مساحة القاعدة': A_b,
13        'المساحة الجانبية': A_l,
14        'المساحة السطحية الكلية': A,
15        'الحجم': V
16    }
17
18## مثال للاستخدام
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

جافا سكريبت

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع غير سالبين.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    baseArea: A_b,
12    lateralArea: A_l,
13    totalSurfaceArea: A,
14    volume: V,
15  };
16}
17
18// مثال للاستخدام
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

جافا

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع غير سالبين.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("مساحة القاعدة: %.4f\nالمساحة الجانبية: %.4f\nالمساحة السطحية الكلية: %.4f\nالحجم: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع غير سالبين.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "مساحة القاعدة: %.4f\nالمساحة الجانبية: %.4f\nالمساحة السطحية الكلية: %.4f\nالحجم: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

الرسوم البيانية

رسم بياني SVG لمخروط دائري قائم

شرح الرسم البياني

شكل المخروط: يتم تصوير المخروط مع مسار جانبي وقاعدة بيضاوية لتمثيل الشكل ثلاثي الأبعاد.
الارتفاع (h): يظهر كخط متقطع من القمة إلى مركز القاعدة.
نصف القطر (r): يظهر كخط متقطع من مركز القاعدة إلى حافتها.
التسميات: تشير إلى أبعاد المخروط.

المراجع

قطر هيدروليكي - ويكيبيديا
آلة حاسبة لتدفق القنوات المفتوحة
توماس، ج. ب.، وفيني، ر. ل. (1996). حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. أديدسون ويسلي.

ملاحظة: تفرض الآلة الحاسبة أن يكون نصف القطر (r) والارتفاع (h) أكبر من أو يساوي صفر. تعتبر المدخلات السلبية غير صالحة وستنتج رسالة خطأ.

Whiz Tools