حاسبة ارتفاع المخروط - احسب ارتفاع المخروط عبر الإنترنت

تجد حاسبة ارتفاع المخروط الارتفاع العمودي لمخروط دائري قائم من قياسين: نصف قطر قاعدته وارتفاعه المائل. وتستخدم نظرية فيثاغورس، لأن الارتفاع ونصف القطر والارتفاع المائل تشكّل مثلثًا قائمًا داخل المخروط.

ما ارتفاع المخروط؟

ارتفاع المخروط هو المسافة المستقيمة من القمة (الطرف المدبب) نزولًا إلى مركز القاعدة الدائرية، مقيسة بزاوية قائمة على القاعدة. ويسمى أحيانًا «الارتفاع العمودي» أو «الارتفاع الرأسي» للتمييز بينه وبين الارتفاع المائل.

أما الارتفاع المائل فمختلف. وهو المسافة من القمة إلى نقطة على حافة القاعدة، مقيسة على طول السطح الخارجي للمخروط. ولأن الارتفاع المائل يسير بزاوية ولا ينزل مستقيمًا، فهو أطول دائمًا من الارتفاع العمودي.

صيغة ارتفاع المخروط

في المخروط الدائري القائم، يشكّل نصف القطر (r) والارتفاع (h) والارتفاع المائل (l) مثلثًا قائمًا. والارتفاع المائل هو الوتر، ولذلك فإن l = √(r² + h²). ويعني هذا أنه يمكن إيجاد الارتفاع بنظرية فيثاغورس:

h = √(l² − r²)

حيث:

• h هو ارتفاع المخروط
• l هو الارتفاع المائل
• r هو نصف قطر القاعدة

تقرّب الحاسبة الارتفاع إلى منزلتين عشريتين. ولا تصلح الصيغة إلا إذا كان الارتفاع المائل أكبر من نصف القطر. فإن لم يكن كذلك، فلا يمكن أن يوجد مخروط حقيقي بهذه القياسات، لأن وتر المثلث القائم يجب أن يكون أطول من كل من ضلعيه الآخرين.

كيفية حساب ارتفاع المخروط

1. قِس نصف قطر قاعدة المخروط أو دوّنه.
2. قِس الارتفاع المائل أو دوّنه، وهو المسافة على طول السطح الخارجي للمخروط من القمة إلى حافة القاعدة.
3. ربّع العددين، ثم اطرح مربع نصف القطر من مربع الارتفاع المائل، وخذ الجذر التربيعي للناتج.
4. تأكد من أن القياسين بالوحدة نفسها، كالسنتيمترات أو البوصات. وسيكون الناتج بالوحدة نفسها.

أمثلة محلولة

المثال 1. مخروط نصف قطره 3 وحدات وارتفاعه المائل 5 وحدات.

h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 وحدات

المثال 2. مخروط نصف قطره 5 وحدات وارتفاعه المائل 13 وحدة.

h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 وحدة

المثال 3. مخروط نصف قطره 8 وحدات وارتفاعه المائل 10 وحدات.

h = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 وحدات

حين لا يوجد ارتفاع صالح

إذا كان الارتفاع المائل مساويًا لنصف القطر أو أصغر منه، فلا تستطيع الحاسبة إرجاع ارتفاع. فلا يمكن أن يساوي الارتفاع المائل للمخروط نصف قطره، لأن ذلك يقتضي ارتفاعًا يساوي صفرًا أو عددًا تخيليًا. فمثلًا، نصف قطر 5 وارتفاع مائل 5 يصفان قرصًا مسطحًا لا مخروطًا، ولذلك تعدّ الحاسبة هذا الإدخال غير صالح بدلًا من عرض نتيجة.

أين يُستخدم ارتفاع المخروط

يُستخدم ارتفاع المخروط مع نصف القطر في حساب حجم المخروط (V = ⅓πr²h) ومساحة سطحه. ويستخدمه المعماريون عند تصميم الأسقف المخروطية. ويستخدمه المصنّعون لمعرفة كمية المادة التي يحتاجها جزء مخروطي. كما يظهر في دروس الهندسة، لأن المخروط أحد الأشكال ثلاثية الأبعاد الأساسية التي تُدرَّس مع الأسطوانة والكرة.

الأسئلة الشائعة

كيف تجد ارتفاع المخروط من نصف قطره وارتفاعه المائل؟ ربّع الارتفاع المائل، وربّع نصف القطر، واطرح الناتج الثاني من الأول، ثم خذ الجذر التربيعي: h = √(l² − r²).

ما صيغة ارتفاع المخروط؟ h = √(l² − r²)، حيث h هو الارتفاع، وl هو الارتفاع المائل، وr هو نصف قطر القاعدة. وهي تأتي مباشرة من نظرية فيثاغورس.

هل يمكن أن يكون ارتفاع المخروط أكبر من ارتفاعه المائل؟ لا. الارتفاع المائل هو وتر المثلث القائم الذي يشكّله الارتفاع ونصف القطر، والوتر هو دائمًا أطول أضلاع المثلث القائم.

ماذا يحدث إذا ساوى نصف القطر الارتفاع المائل؟ لا يوجد مخروط صالح. فنصف قطر يساوي الارتفاع المائل (أو يزيد عليه) يعطي ارتفاعًا يساوي صفرًا أو أقل، وهذا غير ممكن في مخروط حقيقي.

ما الفرق بين الارتفاع المائل والارتفاع؟ يُقاس الارتفاع نزولًا مستقيمًا من القمة إلى مركز القاعدة. ويُقاس الارتفاع المائل على السطح الخارجي، من القمة إلى حافة القاعدة. والارتفاع المائل هو الأطول دائمًا بين الاثنين.

ما الوحدات التي تستخدمها النتيجة؟ تستخدم النتيجة الوحدة نفسها التي أُدخل بها نصف القطر والارتفاع المائل. فإذا كان كلاهما بالسنتيمترات، فسيكون الارتفاع بالسنتيمترات.

المراجع

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld، Wolfram Research. MathWorld: Cone — في المخروط الدائري القائم يكون الارتفاع المائل s = √(r² + h²)، والحجم V = ⅓πr²h.