مولد تسلسل موسر-دي بروين | حاسبة قوى الأربعة

ما متتالية موزر-دي بروين؟

متتالية موزر-دي بروين هي قائمة من الأعداد الصحيحة التي يمكن كتابة كل منها على شكل مجموع قوى متميزة للعدد 4. تبدأ بـ 0، 1، 4، 5، 16، 17، 20، 21، 64، 65، 68، 69، 80، 81، 84، 85، وتستمر بلا نهاية. سُمّيت نسبةً إلى عالمَي الرياضيات ليو موزر ونيكولاس خوفرْت دي بروين. وهي مفهرسة في موسوعة متتاليات الأعداد الصحيحة على الإنترنت بالرمز A000695.

ينتمي العدد إلى المتتالية إذا وفقط إذا كان تمثيله بالأساس 4 يستخدم الرقمين 0 و1 فقط، ولا يستخدم 2 أو 3 مطلقًا. فمثلًا، العدد 21 بالأساس 4 يُكتب 111، ولذلك ينتمي إلى المتتالية. أما العدد 22 بالأساس 4 فيُكتب 112، ولذلك لا ينتمي إليها.

صيغة متتالية موزر-دي بروين

يمكن تعريف المتتالية بثلاث طرق متكافئة.

مجموع قوى متميزة للعدد 4

يكون العدد n في المتتالية إذا أمكن كتابته على شكل

$n = \sum_{i \in S} 4^i$

لمجموعة S من الأعداد الصحيحة غير السالبة، بحيث تُستخدم كل قوة للعدد 4 مرة واحدة على الأكثر.

اختبار أرقام الأساس 4

اكتب العدد بالأساس 4. إذا كان كل رقم هو 0 أو 1، فالعدد ينتمي إلى المتتالية. وإذا كان أي رقم هو 2 أو 3، فلا ينتمي إليها.

الاستبدال من الثنائي إلى الأساس 4

عند عدّ الحدود بدءًا من n = 0، يكون الحد ذو الفهرس n هو

$M(n) = \sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 4^i$

حيث إن $b_i$ هي الأرقام الثنائية للعدد n. بعبارة أخرى: اكتب n بالنظام الثنائي، ثم اقرأ كل رقم ثنائي باعتباره رقمًا في الأساس 4 في الموضع نفسه. هذه هي الطريقة التي يستخدمها المولّد، لأنها لا تحتاج إلا إلى فحص البتات وإجراء عمليات جمع للأعداد.

كيفية حساب الحد ذي الترتيب N

لإيجاد M(n)، ينفّذ المولّد الخطوات التالية لكل فهرس n، بدءًا من n = 0:

1. انظر إلى التمثيل الثنائي للعدد n.
2. لكل بت يساوي 1 في الموضع j، أضف 4^j إلى المجموع الجاري.
3. تجاهل البتات التي تساوي 0.
4. المجموع الجاري هو M(n).

مثال محلول: M(5)

• العدد 5 بالنظام الثنائي هو 101.
• البت 0 (الأيمن) يساوي 1، لذا نضيف 4⁰ = 1.
• البت 1 يساوي 0، لذا لا نضيف شيئًا.
• البت 2 يساوي 1، لذا نضيف 4² = 16.
• المجموع: 1 + 16 = 17.

إذن M(5) = 17. وهو القيمة السادسة التي ينتجها المولّد، لأن العد يبدأ عند M(0).

مثال: أول 32 حدًا

كيفية التحقق من انتماء عدد إلى المتتالية

حوّل العدد إلى الأساس 4 واقرأ أرقامه.

• 85: بالأساس 4، العدد 85 هو 1111 (64 + 16 + 4 + 1). لا يظهر إلا الرقمان 0 و1، لذا فإن 85 ينتمي إلى المتتالية.
• 90: بالأساس 4، العدد 90 هو 1122. ويتضمن الرقم 2، لذا فإن 90 لا ينتمي إلى المتتالية.

معدل النمو

تنمو المتتالية بسرعة، لأن كل بت إضافي في الفهرس يمكن أن يضاعف تقريبًا قيمة العدد الذي يضيفه أربع مرات. M(19) يساوي 261. وM(99) يساوي 5,125. أما M(999)، فهو أكبر حد يمكن لهذا المولّد إنتاجه، ويساوي 349,205. تتباعد الحدود أكثر فأكثر مع ازدياد الفهرس، مما يجعل المتتالية متفرقة؛ فمعظم الأعداد الصحيحة لا تظهر فيها، رغم أن لها عددًا لا نهائيًا من الحدود.

كيفية استخدام مولّد متتالية موزر-دي بروين

1. أدخل عدد الحدود المراد توليدها. تكون القيمة الافتراضية للحقل 20 إذا تُرك فارغًا.
2. تُحدَّث قائمة الحدود تلقائيًا، بدءًا من M(0).
3. انسخ القائمة كاملة باستخدام زر «نسخ النتيجة».

تقبل الأداة أعدادًا صحيحة من 1 إلى 1000. وتُرفض الأعداد العشرية والسالبة والإدخالات غير الرقمية. يؤدي طلب 20 حدًا إلى إرجاع القيم من M(0) حتى M(19)، وتكون آخر قيمة معروضة هي 261. تُجرى جميع الحسابات في المتصفح، لذلك تظهر النتائج فورًا ولا تُرسل أي بيانات إلى خادم.

المتتاليات ذات الصلة

• قوى العدد 2 (OEIS A000079): 1، 2، 4، 8، 16، 32، وهكذا. وهي اللبنات الأساسية للأعداد الثنائية العادية.
• مجاميع القوى المتميزة للعدد 3 (OEIS A005836): 0، 1، 3، 4، 9، 10، 12، 13، وهكذا. وهي الفكرة نفسها لمتتالية موزر-دي بروين، لكنها مبنية من الأساس 3 بدلًا من الأساس 4.
• أعداد فيبوناتشي الثنائية (OEIS A003714): 0، 1، 2، 4، 5، 8، 9، 10، وهكذا. وهي الأعداد التي لا يتضمن تمثيلها الثنائي رقمين متتاليين يساويان 1.

التاريخ

كان ليو موزر (1921-1970) عالم رياضيات نمساويًا كنديًا عمل في نظرية الأعداد والتوافقيات والهندسة. أما نيكولاس خوفرْت دي بروين (1918-2012) فكان عالم رياضيات هولنديًا عُرف بأعماله في التوافقيات ونظرية الرسوم وعلوم الحاسوب؛ وتُستخدم متتاليات دي بروين غير المرتبطة بهذه المتتالية على نطاق واسع في نظرية الترميز. درس كلاهما القواعد الجمعيّة: وهي مجموعات من الأعداد الصحيحة، مثل قوى العدد 4، بحيث يمتلك كل عدد قابل للتمثيل تمثيلًا جمعيًا واحدًا بالضبط. والمتتالية التي تحمل اسميهما مثال على هذه القواعد.

الأسئلة الشائعة

فيمَ تُستخدم متتالية موزر-دي بروين؟

تظهر في نظرية الأعداد الجمعيّة والتوافقيات، ولا سيما في دراسة المجموعات الخالية من المجاميع والقواعد الجمعيّة. كما تُستخدم لتعليم تحويل الأساس والعمليات على مستوى البتات في علوم الحاسوب.

كيف تُولَّد متتالية موزر-دي بروين؟

اكتب الفهرس n بالنظام الثنائي، ثم اقرأ كل رقم ثنائي باعتباره رقمًا في الأساس 4 في الموضع نفسه. عند n = 5 (ثنائيًا 101)، نحصل على 4² + 4⁰ = 17.

كيف يمكنني التحقق من انتماء عدد إلى المتتالية؟

حوّله إلى الأساس 4. إذا كان كل رقم هو 0 أو 1، فالعدد ينتمي إلى المتتالية. وإذا كان أي رقم هو 2 أو 3، فلا ينتمي إليها.

ما صيغة الحد ذي الرتبة n؟

M(n) = مجموع $b_i \cdot 4^i$ على جميع i، حيث إن $b_i$ هي الأرقام الثنائية للعدد n.

هل المتتالية لا نهائية؟

نعم. لها عدد لا نهائي من الحدود، رغم أنها تصبح أكثر تباعدًا مع ازدياد n.

كيف تختلف هذه المتتالية عن النظام الثنائي؟

يمكن للنظام الثنائي، أي مجاميع القوى المتميزة للعدد 2، تمثيل كل عدد صحيح غير سالب. أما متتالية موزر-دي بروين فتستخدم قوى العدد 4 بدلًا من ذلك، ولذلك تُستبعد معظم الأعداد الصحيحة.