مولد وحاسبة المتتابعة الحسابية - أداة مجانية
حاسبة المتتابعة الحسابية تسرد حدود التسلسل من الحد الأول والفرق المشترك وعدد الحدود، وتحسب مجموعها تلقائياً. أداة مفيدة للرياضيات والتخطيط المالي.
مولد المتتابعة الحسابية
التوثيق
ما المتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية هي قائمة من الأعداد يُحصل فيها على كل حد بإضافة مقدار ثابت إلى الحد الذي يسبقه. يُسمّى ذلك المقدار الثابت الفرق المشترك. في المتتالية 2، 5، 8، 11، 14، كل حد أكبر بمقدار 3 من الحد الذي يسبقه، لذا فإن الفرق المشترك هو 3. وتُسمّى المتتاليات الحسابية أيضًا المتواليات الحسابية.
ينشئ مولّد المتتالية الحسابية هذا النوع من القوائم باستخدام ثلاث قيم:
- الحد الأول (a₁): العدد الذي تبدأ به المتتالية.
- الفرق المشترك (d): المقدار الثابت المضاف إلى كل حد للحصول على الحد التالي. تجعل القيمة الموجبة المتتالية متزايدة، بينما تجعلها القيمة السالبة متناقصة.
- عدد الحدود (n): عدد الأعداد التي تظهر في المتتالية.
عند كتابتها، تبدو المتتالية الحسابية هكذا: a₁، a₁ + d، a₁ + 2d، a₁ + 3d، وهكذا، حتى a₁ + (n − 1)d.
صيغة المتتالية الحسابية
صيغة الحد النوني في المتتالية الحسابية هي:
aₙ = a₁ + (n − 1) × d
- aₙ هي قيمة الحد الواقع في الموضع n.
- a₁ هو الحد الأول.
- n هو موضع الحد، بدءًا من 1.
- d هو الأساس المشترك.
يظهر (n − 1) لأن الحد الأول لم يُضف إليه الأساس المشترك بعد. أُضيف الأساس إلى الحد الثاني مرة واحدة، وإلى الحد الثالث مرتين، وهكذا. وبحلول الحد النوني، يكون الأساس المشترك قد أُضيف (n − 1) مرة.
صيغة مجموع المتتالية الحسابية
مجموع الحدود n الأولى في المتتالية الحسابية هو:
Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)
Sₙ هو مجموع الحدود n الأولى، وaₙ هو آخر حد مُدرج في ذلك المجموع. تعمل هذه الصيغة لأن جمع الحد الأول والأخير، والحد الثاني وما قبل الأخير، وهكذا، يعطي دائمًا المجموع نفسه لكل زوج. ويؤدي ضرب مجموع الزوج في نصف عدد الحدود إلى الحصول على المجموع الكلي.
توجد صيغة مكافئة لا تتطلب معرفة الحد الأخير مسبقًا:
Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)
تُنسب هذه الصيغة إلى عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس، الذي يُقال إنه استخدم طريقة الاقتران عندما كان طفلًا لجمع الأعداد من 1 إلى 100 خلال ثوانٍ: 50 زوجًا، مجموع كل منها 101، ليكون المجموع 5,050.
مثال تطبيقي
لنأخذ حدًا أول قيمته 5، وأساسًا مشتركًا قيمته 3، و6 حدود.
| الموضع (n) | العملية الحسابية | الحد |
|---|---|---|
| 1 | 5 + (1 − 1) × 3 | 5 |
| 2 | 5 + (2 − 1) × 3 | 8 |
| 3 | 5 + (3 − 1) × 3 | 11 |
| 4 | 5 + (4 − 1) × 3 | 14 |
| 5 | 5 + (5 − 1) × 3 | 17 |
| 6 | 5 + (6 − 1) × 3 | 20 |
المتتالية هي 5، 8، 11، 14، 17، 20. ومجموعها هو (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.
كيفية استخدام حاسبة المتتالية الحسابية
- أدخل الحد الأول (a₁). ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، كما يمكن أن يتضمن أعدادًا عشرية.
- أدخل الأساس المشترك (d). ويمكن أن يكون أيضًا موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، أو عددًا عشريًا.
- أدخل عدد الحدود (n). يجب أن يكون عددًا صحيحًا من 1 إلى 10,000. ويُقرَّب العدد العشري إلى أقرب عدد صحيح.
- تظهر المتتالية وعدد حدودها ومجموعها بمجرد ملء الحقول الثلاثة. ولا يوجد زر منفصل للضغط عليه.
- اختر نسخ المتتالية لنسخ قائمة الحدود كاملة.
- اختر مسح لإفراغ الحقول الثلاثة والبدء من جديد.
قواعد الإدخال
يقبل الحد الأول والأساس المشترك أي عدد حقيقي، بما في ذلك الأعداد العشرية والسالبة. ويشير عدد الحدود إلى عناصر كاملة، لذلك لا يمكن أن تحتوي المتتالية على نصف حد. ويقرّب الحقل الإدخال العشري إلى أقرب عدد صحيح: فكتابة 10.5 تعطي 11 حدًا. ويجب أن يقع العدد بعد ذلك بين 1 و10,000. ويؤدي إدخال الصفر أو عدد سالب أو عدد يتجاوز 10,000 إلى ظهور خطأ بدلًا من المتتالية. وُضع حد 10,000 لأن إنشاء قائمة أطول وعرضها قد يبطئ متصفح الويب.
استخدامات المتتاليات الحسابية
تصف المتتاليات الحسابية أي شيء يتغير بمقدار ثابت على خطوات منتظمة. فخطة ادخار تبدأ بمبلغ 100 US$ وتضيف 25 US$ كل شهر تتبع متتالية حسابية: 100، 125، 150، 175، وهكذا. ويتبع النمط نفسه مؤقت العد التنازلي، ومجموعة من أوقات الاجتماعات المتباعدة بالتساوي، وفهارس الصفوف والأعمدة المستخدمة في برامج الحاسوب. ويستخدم الطلاب المتتاليات الحسابية عادةً لدراسة الأنماط في الجبر التمهيدي، إذ يجعل الفرق الثابت القاعدة الكامنة وراء القائمة سهلة الملاحظة والتحقق.
من الأنماط المرتبطة بها المتتالية الهندسية، حيث يُحصل على كل حد بالضرب في نسبة ثابتة بدلًا من إضافة مقدار ثابت، مثل 2، 6، 18، 54. وتُمثّل المتتاليات الهندسية نموًا يتسارع بمرور الوقت، مثل الفائدة المركبة، بدلًا من التغير المنتظم الخطي في المتتالية الحسابية.
التاريخ
المتتاليات الحسابية من أقدم الأنماط التي دُرست في الرياضيات. وتحتوي بردية ريند الرياضية، وهي وثيقة مصرية تعود إلى نحو 1650 قبل الميلاد، على مسائل تستخدم المتتاليات الحسابية لتوزيع السلع. وتُظهر النصوص البابلية القديمة أنماطًا مماثلة في وقت أسبق. وقدّم علماء الرياضيات اليونانيون، ومنهم إقليدس نحو 300 قبل الميلاد، براهين رسمية لاحقة حول هذه المتتاليات، ولا تزال تُدرَّس حتى اليوم.
الأسئلة الشائعة
ما المتتالية الحسابية بعبارات بسيطة؟
هي قائمة من الأعداد يُضاف فيها المقدار نفسه كل مرة للحصول على العدد التالي. في 2، 5، 8، 11، ذلك المقدار هو 3.
كيف يمكن إيجاد الحد النوني دون سرد كل الحدود التي تسبقه؟
تعطي الصيغة aₙ = a₁ + (n − 1) × d أي حد مباشرة. ففي متتالية تبدأ بـ 3 ولها أساس مشترك قدره 7، يكون الحد رقم 50 هو 3 + (49 × 7) = 346.
ما الفرق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية؟
تضيف المتتالية الحسابية القيمة نفسها كل مرة، مثل 2، 5، 8، 11. أما المتتالية الهندسية فتضرب في القيمة نفسها كل مرة، مثل 2، 6، 18، 54.
هل يمكن أن تستخدم المتتالية الحسابية أعدادًا سالبة؟
نعم. يمكن أن يكون الحد الأول أو الأساس المشترك أو كلاهما سالبًا. المتتالية -10، -6، -2، 2، 6 لها أساس مشترك قدره 4. أما العد التنازلي مثل 100، 90، 80، 70 فله أساس مشترك قدره -10.
كيف يُوجد الأساس المشترك من قائمة أعداد؟
اطرح أي حد من الحد الذي يليه: d = a₂ − a₁. في 7، 12، 17، 22، يكون ذلك 12 − 7 = 5، كما أن 17 − 12 يساوي أيضًا 5، مما يؤكد أن المتتالية حسابية.
ما الحد الأقصى لعدد الحدود التي يمكن لهذه الحاسبة توليدها؟
ما يصل إلى 10,000 حد. وُضع هذا الحد لأن عرض قائمة أطول بكثير قد يبطئ متصفح الويب.