حاسبة المؤشرات الميلرية - تحويل تقاطعات المستوى البلوري إلى (hkl)

ما هي مؤشرات ميلر؟

مؤشرات ميلر هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة، تُكتب (h,k,l)، وتحدد مستوى في الشبكة البلورية. والشبكة البلورية هي الترتيب المتكرر والمنظم للذرات في مادة صلبة. وتوضح مؤشرات ميلر للعلماء بدقة أي مقطع عبر تلك الشبكة يمثله المستوى، من دون الحاجة إلى وصف هندسته بالكلمات. وقد قدمها عالم المعادن البريطاني ويليام هالوز ميلر في 1839، ولا تزال حتى اليوم طريقة الترميز القياسية في علم البلورات.

تحوّل هذه الحاسبة مقاطع المستوى على المحاور البلورية x وy وz إلى مؤشرات ميلر الخاصة به (h,k,l).

صيغة مؤشرات ميلر

تُشتق مؤشرات ميلر من مقلوبات مقاطع المستوى على المحاور. فإذا قطع مستوى المحاور x وy وz على مسافات a وb وc من نقطة الأصل، فإن المؤشرات تحقق ما يلي:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

كيفية حساب مؤشرات ميلر من المقاطع

1. حدّد موضع تقاطع المستوى مع كل محور، مقاسًا بوحدات طول حافة الخلية الوحدية. سمِّ هذه المقاطع a وb وc.
2. خذ مقلوب كل مقطع: 1/a و1/b و1/c.
3. اضرب المقلوبات الثلاثة كلها في العدد نفسه بحيث يصبح كل منها عددًا صحيحًا.
4. اقسم الأعداد الصحيحة الثلاثة على أكبر قاسم مشترك لها، بحيث لا يمكن اختزالها أكثر.

الأعداد الصحيحة الثلاثة الناتجة هي h وk وl. ويُعامل المستوى الذي لا يقطع محورًا ما على أنه يقطعه عند اللانهاية، و1 مقسومًا على اللانهاية يساوي 0، ولذلك يحصل ذلك المحور على مؤشر ميلر مقداره 0.

مثال محلول

يقطع مستوى ما المحور x عند 2، والمحور y عند 3، والمحور z عند 6.

1. المقاطع: (2، 3، 6)
2. المقلوبات: (1/2، 1/3، 1/6)
3. اضرب في أصغر مضاعف مشترك للمقامات، 6: (3، 2، 1)
4. أكبر قاسم مشترك للأعداد 3 و2 و1 هو 1، ولذلك لا يمكن اختزال الأعداد أكثر.

مؤشرات ميلر هي (321).

أمثلة أخرى

• المستوى المار بالنقاط (1، ∞، 2) — والموازي للمحور y — له المقلوبات (1، 0، 1/2). ويعطي الضرب في 2 (2، 0، 1). وتوضح 0 أن المستوى لا يقطع المحور y مطلقًا.
• المستوى المار بالنقاط (-1، 2، 3) له المقلوبات (-1، 1/2، 1/3). ويعطي الضرب في 6 (-6، 3، 2)، ويُكتب عادةً (6̄32) مع وضع شَرطة فوق المؤشر السالب.
• المستوى المار بالنقاط (1، ∞، ∞) له المقلوبات (1، 0، 0)، مما يعطي (100). وهذا أحد الأوجه الستة للمكعب.

حالات خاصة

المستوى الموازي لمحور لا يقطعه مطلقًا، ولذلك يُعامل ذلك المقطع على أنه لا نهائي، ويكون مؤشر ميلر هو 0. أما المستوى الذي يقطع محورًا في الجانب السالب من نقطة الأصل فيحصل على مؤشر سالب، ويُكتب في الترميز الرسمي مع وضع شَرطة فوق العدد، أو بإشارة ناقص في النص العادي. وليس للمستوى المار بنقطة الأصل نفسها مؤشرات ميلر محددة، لأن كل مجموعة من المستويات المتوازية في الشبكة يجب أن تكون مزاحة عن نقطة الأصل حتى يمكن ترميزها؛ لذلك يجب إزاحة نقطة الأصل قبل وصف مثل هذا المستوى. وتُعالج المقاطع الكسرية بالطريقة نفسها التي تُعالج بها المقاطع ذات الأعداد الصحيحة: خذ مقلوب كل منها، ثم أزل الكسور.

تُختزل المؤشرات دائمًا إلى أصغر أعداد صحيحة ممكنة. يصف كل من (622) و(311) العائلة نفسها من المستويات، لكن علماء البلورات يكتبون دائمًا (311).

كيفية استخدام هذه الحاسبة

أدخل مقاطع المستوى على المحاور x وy وz.

• استخدم عددًا موجبًا للمقطع الواقع في الجانب الموجب من نقطة الأصل، وعددًا سالبًا للمقطع الواقع في الجانب السالب.
• اكتب "infinity" أو "inf" أو "∞" للمستوى الموازي لمحور.
• لا يُقبل المقطع الصفري، لأن المستوى المار بنقطة الأصل لا يمكن إسناد مؤشرات ميلر إليه بهذه الطريقة.

تحسب الحاسبة المؤشرات فورًا وتعرض مخططًا للمستوى داخل الخلية الوحدية.

تطبيقات مؤشرات ميلر

حيود الأشعة السينية. تتوافق كل بقعة أو قمة في نمط حيود الأشعة السينية مع مجموعة من مستويات الشبكة البلورية ذات (hkl) محدد. ويربط قانون براج المسافة بين تلك المستويات بزاوية الحيود:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

هنا تمثل d_hkl المسافة بين المستويات (h,k,l)، وتمثل λ الطول الموجي للأشعة السينية، وتمثل θ زاوية الحيود. وتُعد مطابقة القمم المرصودة بقيم (hkl)، وهي عملية تُسمى الفهرسة، خطوة أساسية في تحديد البنية البلورية المجهولة.

علم المواد. تكشف المستويات البلورية المختلفة ترتيبات مختلفة للذرات، ولذلك تختلف طاقاتها السطحية ومعدلات تفاعلاتها الكيميائية وأدوارها في تشوه المعادن. ففي المعادن ذات البنية المكعبة متمركزة الوجوه، مثل الألومنيوم، تنزلق المستويات الذرية متجاوزة بعضها بعضًا بأكبر سهولة على طول مستويات {111}. وتُقطع رقائق السيليكون المستخدمة في الشرائح الحاسوبية عادةً على طول المستوى (100) أو (111)، لأن هذا الاختيار يؤثر في سلوك خطوات التصنيع اللاحقة.

علم المعادن. تتوافق الأوجه المسطحة الظاهرة على البلورة الطبيعية، والاتجاهات التي ينفصل فيها المعدن بسهولة، أي انفصامه، مع مستويات محددة منخفضة المؤشر. ينفصم الهاليت، أي ملح الطعام، على طول مستويات {100}، وينفصم الفلوريت على طول مستويات {111}.

مؤشرات ميلر–برافيه للبلورات السداسية

توصف البلورات السداسية، مثل المغنيسيوم والزنك والتيتانيوم، عادةً بنظام ذي أربعة مؤشرات (hkil) بدلًا من ثلاثة. والمؤشر الإضافي i ليس مستقلًا؛ إذ إن i = -(h+k) دائمًا. وتسهّل هذه الصيغة معرفة أن مستويين ينتميان إلى العائلة نفسها المتكافئة تناظريًا، وهو أمر لا يكون واضحًا دائمًا من ترميز ميلر ذي المؤشرات الثلاثة وحده في الشبكة السداسية.

التاريخ

قدم ويليام هالوز ميلر مؤشرات ميلر في كتابه A Treatise on Crystallography الصادر عام 1839. وكانت توجد من قبل أنظمة لتسمية أوجه البلورات، لكن طريقة ميلر القائمة على مقلوبات المقاطع جعلت التعامل مع المستويات الموازية لمحور ما أمرًا سهلًا، لأن مقطعها لا نهائي ومقلوبه يساوي ببساطة 0. وبعد أن اكتشف ماكس فون لاوه حيود الأشعة السينية بواسطة البلورات في 1912، أظهر ويليام هنري براج وويليام لورنس براج أن مؤشرات ميلر تصف بدقة المستويات المسؤولة عن قمم الحيود، وهو العمل الذي تقاسما عنه جائزة نوبل في الفيزياء لعام 1915.

الأسئلة الشائعة

فيم تُستخدم مؤشرات ميلر؟ تحدد مؤشرات ميلر مستويات محددة في الشبكة البلورية. وتُستخدم لفهرسة قمم حيود الأشعة السينية والإلكترونات، ووصف مستويات الانزلاق في المعادن، وتحديد اتجاه رقائق أشباه الموصلات، وتسمية أوجه المعادن وانفصامها.

ماذا يعني الصفر في مؤشر ميلر؟ يعني أن المستوى يوازي ذلك المحور ولا يقطعه مطلقًا. فعلى سبيل المثال، يوازي (201) المحور y.

ماذا تعني مؤشرات ميلر السالبة؟ تعني أن المستوى يقطع ذلك المحور في الجانب السالب من نقطة الأصل. ويُكتب المؤشر السالب مع وضع شَرطة فوق العدد، مثل (2̄11)، أو بإشارة ناقص، مثل (-2،1،1).

لماذا لا يمكن أن تكون للمستوى المار بنقطة الأصل مؤشرات ميلر؟ تُشتق مؤشرات ميلر من مقلوب المقطع. ويقطع المستوى المار بنقطة الأصل كل محور عند 0، كما أن 1/0 غير معرّف، ولذلك لا تستطيع الطريقة إسناد مؤشرات إلا إذا أُزيح المستوى.

ما الفرق بين مؤشرات ميلر ومؤشرات ميلر–برافيه؟ تستخدم مؤشرات ميلر (hkl) ثلاثة أعداد، وتعمل مع أي نظام بلوري. أما مؤشرات ميلر–برافيه (hkil) فتضيف مؤشرًا رابعًا تابعًا، وتُستخدم أساسًا للبلورات السداسية، حيث تجعل التعرف على المستويات المتكافئة تناظريًا أسهل.

كيف ترتبط المسافة بين المستويات بمؤشرات ميلر؟ في بلورة مكعبة طول حافتها a، تكون المسافة بين المستويات المتجاورة (hkl) هي d = a / √(h² + k² + l²). وتكون المستويات ذات المؤشرات الأكبر متقاربة المسافات أكثر. وتستخدم الأنظمة البلورية الأخرى صيغة مشابهة لكنها أكثر تعقيدًا، وتأخذ في الحسبان اختلاف أطوال المحاور والزوايا غير القائمة التي تساوي 90°.

المراجع

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. كامبريدج: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (الطبعة 4). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (الطبعة 3). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.