حاسبة نصف قطر الدائرة: اكتشف نصف القطر من القطر والمساحة

نصف قطر الدائرة

نصف قطر الدائرة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حافتها. ويمكن إيجاده من القطر أو المحيط أو المساحة بثلاث صيغ بسيطة. وتحسب هذه الحاسبة نصف القطر من أي قيمة من هذه القيم الثلاث تكون معروفة.

ما نصف القطر؟

الدائرة خط منحنٍ يتكون من جميع النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة واحدة تُسمى المركز. وهذه المسافة الثابتة هي نصف القطر. وجميع أنصاف أقطار الدائرة الواحدة متساوية في الطول. ويحدد نصف القطر حجم الدائرة: فكلما كبر نصف القطر كبرت الدائرة.

ترتبط ثلاثة قياسات أخرى ارتباطًا مباشرًا بنصف القطر:

• القطر ($d$): خط مستقيم يصل من حافة الدائرة إلى الحافة المقابلة مارًّا بالمركز. وهو يساوي دائمًا ضعف نصف القطر.
• المحيط ($C$): المسافة حول الدائرة من الخارج.
• المساحة ($A$): مقدار الحيز الذي تحيط به الدائرة.

كيفية حساب نصف قطر الدائرة

تعتمد الصيغة المستخدمة على القياس المعروف أصلًا.

من القطر

$$r = \frac{d}{2}$$

القطر يساوي ضعف نصف القطر، لذلك تعطي قسمته على 2 نصف القطر.

من المحيط

$$r = \frac{C}{2\pi}$$

تأتي هذه الصيغة من صيغة المحيط $C = 2\pi r$ بعد حلها بالنسبة إلى $r$. والحرف اليوناني $\pi$ (باي) ثابت يساوي تقريبًا 3.14159.

من المساحة

$$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

تأتي هذه الصيغة من صيغة المساحة $A = \pi r^2$ بعد حلها بالنسبة إلى $r$.

أمثلة محلولة

المثال 1: نصف القطر من القطر

دائرة قطرها 10 وحدات.

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ وحدات}$$

المثال 2: نصف القطر من المحيط

دائرة محيطها 31.4159 وحدة.

$$r = \frac{31.4159}{2\pi} \approx \frac{31.4159}{6.2832} \approx 5 \text{ وحدات}$$

المثال 3: نصف القطر من المساحة

دائرة مساحتها 78.5398 وحدة مربعة.

$$r = \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx \sqrt{25} = 5 \text{ وحدات}$$

استخدام الحاسبة

اختر القيمة المعروفة، وهي القطر أو المحيط أو المساحة، وأدخل عددًا أكبر من الصفر. تعرض الحاسبة نصف القطر مقرّبًا إلى أربع منازل عشرية. ويؤدي إدخال الصفر أو عدد سالب أو نص بدلًا من عدد إلى ظهور رسالة خطأ، لأن الدائرة لا يمكن أن يكون قطرها أو محيطها أو مساحتها صفرًا أو أقل.

يُعطى نصف القطر بالوحدة نفسها التي أُدخلت بها القيمة. فإدخال قطر بالسنتيمترات يعطي نصف قطر بالسنتيمترات؛ وإدخال مساحة بالأمتار المربعة يعطي نصف قطر بالأمتار.

أهمية نصف القطر

نصف القطر هو القياس الوحيد الذي يمكن اشتقاق كل خصائص الدائرة الأخرى منه. ويظهر في صيغ القطر والمحيط والمساحة، وفي حجم الكرة ومساحة سطحها. ويستخدمه المهندسون لتحديد أحجام الأنابيب والتروس والعجلات، ويستخدمه المعماريون لتصميم الأقواس والقباب، ويستخدمه علماء الفلك لوصف أحجام الكواكب والنجوم والمدارات.

لمحة تاريخية موجزة

درس الرياضيون المصريون والبابليون القدماء الدوائر، وتوصلوا إلى تقريبات مبكرة للنسبة بين محيط الدائرة وقطرها. وفي نحو عام 300 قبل الميلاد، قدّم عالم الرياضيات اليوناني إقليدس تعريفًا رسميًا للدائرة ولنصف قطرها في كتابه العناصر. ثم ابتكر أرخميدس طريقة لتقدير $\pi$ بمقارنة الدائرة بمضلعات مرسومة داخلها وخارجها. وواصل علماء الرياضيات في الصين والهند وغيرهما تحسين قيمة $\pi$ خلال القرون التالية، حتى وصلوا إلى الأرقام المستخدمة في الحسابات اليوم.

الأسئلة الشائعة

ما نصف قطر الدائرة؟

نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حافتها. وهو يساوي نصف طول القطر.

كيف يُحسب نصف القطر من القطر؟

اقسم القطر على 2: $r = d/2$. فدائرة قطرها 10 وحدات نصف قطرها 5 وحدات.

كيف يُحسب نصف القطر من المحيط؟

اقسم المحيط على $2\pi$: $r = C/(2\pi)$. فدائرة محيطها نحو 31.42 وحدة نصف قطرها نحو 5 وحدات.

كيف يُحسب نصف القطر من المساحة؟

اقسم المساحة على $\pi$، ثم خذ الجذر التربيعي: $r = \sqrt{A/\pi}$. فدائرة مساحتها نحو 78.54 وحدة مربعة نصف قطرها نحو 5 وحدات.

ما الفرق بين نصف القطر والقطر؟

القطر خط مستقيم يمر بالمركز ويصل بين نقطتين على الدائرة. وهو يساوي ضعف نصف القطر تمامًا: $d = 2r$.

هل يمكن أن يكون نصف القطر سالبًا أو صفرًا؟

لا. يجب أن يكون نصف قطر الدائرة الحقيقية أكبر من الصفر. وتعرض الحاسبة رسالة خطأ إذا كان القطر أو المحيط أو المساحة المُدخلة صفرًا أو سالبة أو ليست عددًا.

المراجع

1. جامعة كلارك، قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب. Euclid's Elements, Book I, Definitions 15–18. عناصر إقليدس، الكتاب الأول، التعريف 15 — الدائرة شكل مستوٍ جميع نقاطه على بعد واحد من نقطة هي المركز؛ والقطر يمر بالمركز.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Pi history. Pi through the ages — حصر أرخميدس قيمة π بمضلعات حتى 96 ضلعًا؛ وسبقته تقريبات مصرية وأخرى من بلاد الرافدين.