حاسبة المخطط الصندوقي - مولد مخطط الصندوق والشارب المجاني

ما هو المخطط الصندوقي؟

المخطط الصندوقي، الذي يُسمى أيضًا مخطط الصندوق والشاربين، هو رسم بياني يلخص مجموعة من الأعداد باستخدام خمس قيم: الحد الأدنى، والربيع الأول، والوسيط، والربيع الثالث، والحد الأقصى. ويوضح أين تتركز معظم البيانات، ويشير إلى أي قيم غير معتادة، تُسمى القيم الشاذة، من دون عرض كل نقطة بيانات.

تُستخدم المخططات الصندوقية على نطاق واسع في الإحصاء والعلوم وتقارير الأعمال، لأنها تتيح مقارنة عدة مجموعات من الأعداد بنظرة واحدة.

الملخص الخماسي

يُبنى المخطط الصندوقي من خمسة أعداد، تُحسب بعد ترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر.

• الحد الأدنى: أصغر قيمة ليست قيمة شاذة.
• الربيع الأول (Q1): القيمة التي تقع دونها نحو ربع البيانات.
• الوسيط (Q2): القيمة الوسطى في مجموعة البيانات.
• الربيع الثالث (Q3): القيمة التي تقع دونها نحو ثلاثة أرباع البيانات.
• الحد الأقصى: أكبر قيمة ليست قيمة شاذة.

يمتد الصندوق في الرسم من Q1 إلى Q3. ويحدد خط داخل الصندوق موضع الوسيط. وتمتد خطوط رفيعة تُسمى الشاربين من الصندوق باتجاه الحدين الأدنى والأقصى. وتُرسم القيم الشاذة كنقاط منفصلة خارج الشاربين.

صيغة المخطط الصندوقي

لمجموعة بيانات مرتبة ترتيبًا تصاعديًا وتضم n قيمة:

الوسيط

$$\text{الوسيط} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ فردي} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ زوجي} \end{cases}$$

الربيعات. تُقسَّم البيانات المرتبة إلى نصف أدنى ونصف أعلى. وإذا كان n فرديًا، يُستبعد الوسيط نفسه من كلا النصفين. ثم:

$$Q_1 = \text{وسيط النصف الأدنى}, \qquad Q_3 = \text{وسيط النصف الأعلى}$$

تُسمى هذه الطريقة غالبًا الطريقة الاستبعادية. وتوجد طرق أخرى قد تعطي قيمًا مختلفة قليلًا لـ Q1 وQ3 في مجموعات البيانات الصغيرة، لكن هذه الحاسبة تستخدم الطريقة الاستبعادية.

المدى الربيعي (IQR)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

الأسوار والشاربان. تحدد الأسوار حدود القيم الشاذة. وهي تقع على بعد 1.5 مرة من المدى الربيعي خارج الربيعات:

$$\text{السور الأدنى} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{السور الأعلى} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

لا يتوقف الشارب عند السور تمامًا، بل يتوقف عند أبعد نقطة بيانات لا تزال داخل الأسوار:

$$\text{الشارب الأدنى} = \min\{x_i : x_i \geq \text{السور الأدنى}\}, \qquad \text{الشارب الأعلى} = \max\{x_i : x_i \leq \text{السور الأعلى}\}$$

القيم الشاذة. كل قيمة تقع تحت السور الأدنى أو فوق السور الأعلى تُعد قيمة شاذة، وتُرسم كنقطة مستقلة بدلًا من إدراجها ضمن الشارب.

كيفية حساب المخطط الصندوقي خطوة بخطوة

1. رتّب البيانات من الأصغر إلى الأكبر.
2. أوجد الوسيط. عند وجود عدد فردي من القيم، يكون هو القيمة الوسطى. وعند وجود عدد زوجي، يكون متوسط القيمتين الوسطيتين.
3. أوجد Q1: وسيط النصف الأدنى من البيانات، مع استبعاد الوسيط نفسه عندما يكون العدد فرديًا.
4. أوجد Q3: وسيط النصف الأعلى من البيانات، باستخدام القاعدة نفسها.
5. احسب IQR بطرح Q1 من Q3.
6. احسب الحدين الأدنى والأعلى باستخدام 1.5 مضروبًا في IQR.
7. حدّد أي قيمة تقع خارج الحدود باعتبارها قيمة شاذة.
8. اجعل الشاربين عند أصغر وأكبر قيمتين تبقيان داخل الحدود.

مثال

خذ مجموعة البيانات هذه التي تضم 11 قيمة: 6، 7، 15، 36، 39، 40، 41، 42، 43، 47، 49. وهي مرتبة أصلًا.

مع 11 قيمة (عدد فردي)، يكون الوسيط هو القيمة رقم 6: 40.

النصف الأدنى هو 6، 7، 15، 36، 39 (خمس قيم، مع استبعاد الوسيط). ووسيطه هو القيمة الوسطى: Q1 = 15.

النصف الأعلى هو 41، 42، 43، 47، 49. ووسيطه هو القيمة الوسطى: Q3 = 43.

المدى الربيعي = 43 − 15 = 28.

السور الأدنى = 15 − 1.5 × 28 = −27. السور الأعلى = 43 + 1.5 × 28 = 85. تقع كل قيمة في مجموعة البيانات بين −27 و85، لذلك لا توجد قيم شاذة، ويمتد الشاربان إلى الحدين الأدنى والأقصى الفعليين: الحد الأدنى = 6، والحد الأقصى = 49.

والآن قارن مجموعة بيانات تحتوي على قيمة شاذة: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 50. هنا Q1 = 3.5، وQ3 = 9.5، وIQR = 6، ما يعطي سورًا أعلى مقداره 9.5 + 1.5 × 6 = 18.5. تقع القيمة 50 فوق ذلك السور، ولذلك تُرسم قيمة شاذة، ويتوقف الشارب الأعلى عند 11، وهي أكبر قيمة لا تزال داخل السور، بدلًا من توقفه عند 50.

كيفية قراءة المخطط الصندوقي

يغطي الصندوق النصف الأوسط البالغ 50% من البيانات، لذا يعني الصندوق العريض أن وسط البيانات متشتت، بينما يعني الصندوق الضيق أنها متقاربة. وإذا كان خط الوسيط أقرب إلى إحدى حافتي الصندوق، فإن البيانات تميل أو تنحرف نحو الجانب الأطول. ويشير الشارب الأطول بكثير من الآخر إلى أن البيانات تمتد أكثر في ذلك الجانب. أما النقاط الواقعة خارج الشاربين فهي قيم شاذة، وغالبًا ما تستحق فحصًا أدق، لأنها قد تكون قيمًا متطرفة حقيقية أو أخطاء في البيانات.

الاستخدامات الشائعة

تُستخدم المخططات الصندوقية لمقارنة المجموعات جنبًا إلى جنب، مثل درجات الاختبارات في عدة صفوف، أو أوقات التسليم لدى مورّدين اثنين، أو قياسات تجربة مقارنةً بمجموعة ضابطة. ولأن المخطط الصندوقي يختزل توزيعًا كاملًا في خمس قيم، يمكن ترتيب عدة مخططات على رسم واحد، مما يسهل مقارنة التشتت والقيم النموذجية بين المجموعات أكثر مما يسهله جدول الأعداد الخام.

مقارنة المخططات الصندوقية بالرسوم البيانية الأخرى

يعرض المدرج التكراري الشكل الكامل للتوزيع بمزيد من التفصيل، لكنه أصعب استخدامًا عند مقارنة مجموعات كثيرة في آن واحد. ويضيف مخطط الكمان منحنى كثافة حول الصندوق، موضحًا بدقة أكبر المواضع التي تتجمع فيها القيم. أما مخطط التشتت فيعرض العلاقة بين متغيرين، وهو أمر لا يستطيع المخطط الصندوقي فعله. ويعتمد الاختيار المناسب على الهدف: مقارنة المجموعات (مخطط صندوقي)، أو رؤية شكل توزيع واحد بالتفصيل (مدرج تكراري أو مخطط كمان)، أو دراسة علاقة (مخطط تشتت).

التاريخ

قدّم عالم الإحصاء جون توكي المخطط الصندوقي عام 1970، في طبعة أولية من كتابه Exploratory Data Analysis. وانتشر على نطاق واسع بعد نشر الكتاب رسميًا عام 1977. وسمّى توكي نسخته المخطط التخطيطي. وكانت تستخدم بالفعل أسوارًا تبعد مسافة تساوي 1.5 من أضعاف انتشار النصف الأوسط من البيانات، وترسم النقاط الواقعة خلفها منفصلةً بوصفها قيمًا شاذة. وفي عام 1978 وصف علماء الإحصاء ماكجيل وتوكي ولارسن نسخة محزَّزة تعرض فترة ثقة حول الوسيط.

الأسئلة الشائعة

ما استخدام المخطط الصندوقي؟ يوضح مدى تشتت مجموعة من الأعداد، ويشير إلى القيم الشاذة المحتملة باستخدام الحد الأدنى وQ1 والوسيط وQ3 والحد الأقصى. وهو مفيد بصفة خاصة لمقارنة عدة مجموعات في رسم واحد.

كيف تُقرأ المخططات الصندوقية؟ يمتد الصندوق من Q1 إلى Q3، ويغطي النصف الأوسط من البيانات. والخط داخل الصندوق هو الوسيط. وتمتد الشوارب إلى أبعد القيم التي ليست شاذة، بينما تُرسم أي قيم تتجاوز الشاربين كنقاط منفصلة.

كيف تُحدَّد القيم الشاذة في المخطط الصندوقي؟ تكون القيمة شاذة إذا وقعت تحت Q1 − 1.5 × IQR أو فوق Q3 + 1.5 × IQR.

ما الفرق بين المخطط الصندوقي والمدرج التكراري؟ يختزل المخطط الصندوقي التوزيع في خمس قيم والقيم الشاذة، مما يجعله موجزًا ومناسبًا لمقارنة المجموعات. أما المدرج التكراري فيعرض تكرار القيم ضمن نطاقات، موفرًا تفاصيل أكثر عن شكل توزيع واحد.

هل تستطيع هذه الحاسبة التعامل مع مجموعات البيانات الصغيرة؟ تحتاج هذه الحاسبة إلى خمسة أعداد على الأقل لإنتاج ملخص خماسي. وتكون المخططات الصندوقية أكثر إفادة مع مجموعات البيانات الأكبر، إذ إن عددًا قليلًا من القيم لا يعطي تصورًا كافيًا عن التشتت أو القيم الشاذة.

ماذا يعني أن يبدو المخطط الصندوقي منحرفًا؟ إذا كان الوسيط أقرب إلى Q1، فتمتلك البيانات ذيلًا أطول عند الطرف الأعلى. وإذا كان أقرب إلى Q3، فتمتلك البيانات ذيلًا أطول عند الطرف الأدنى.

المراجع

1. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. الدليل الإلكتروني للمعهد: المخطط الصندوقي — يغطي الصندوق نسبة 50% الوسطى من البيانات؛ وعند وجود أسوار، ينتهي الشاربان عند أبعد نقطتين تقعان داخل الأسوار الداخلية.
2. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. الدليل الإلكتروني للمعهد: القيم الشاذة — الأسوار الداخلية عند Q1 − 1.5 × IQR وQ3 + 1.5 × IQR؛ والنقاط الواقعة خلفها قيم شاذة.
3. Wickham, H. and Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 سنة من المخططات الصندوقية (PDF) — قدّم توكي المخطط الصندوقي عام 1970 ونشره رسميًا عام 1977؛ واستخدم مخططه التخطيطي أسوارًا قدرها 1.5 ×؛ ويعرض المخطط الصندوقي المحزَّز الذي وصفه ماكجيل وتوكي ولارسن عام 1978 فترات الثقة حول الوسيط.