حاسبة الاختبار Z - أداة إحصائية مجانية للدلالة الإحصائية

ما هو اختبار z؟

اختبار z هو اختبار إحصائي يتحقق مما إذا كان متوسط العينة يختلف اختلافًا ذا دلالة إحصائية عن متوسط مجتمع معروف، عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا مسبقًا. وينتج عددًا واحدًا، هو الدرجة المعيارية z، التي توضح عدد الانحرافات المعيارية التي يبتعد بها متوسط العينة عن متوسط المجتمع. ويستخدمه الباحثون ومفتشو الجودة والمحللون لتقييم ما إذا كان الفرق الملحوظ حقيقيًا على الأرجح أم ناتجًا عن الصدفة.

صيغة اختبار Z

يحسب اختبار z الدرجة المعيارية z بالصيغة الآتية، وهي إحصائية الاختبار عندما يكون الانحراف المعياري معروفًا كما وردت في «NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods»:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ هو متوسط العينة
• $\mu$ هو متوسط المجتمع
• $\sigma$ هو الانحراف المعياري للمجتمع
• $n$ هو حجم العينة

يُسمى الجزء السفلي من الصيغة، $\sigma / \sqrt{n}$، الخطأ المعياري. وهو يقيس مقدار التباين المتوقع في متوسطات العينات نتيجة أخذ عينات عشوائية فقط.

كيفية حساب اختبار z خطوةً بخطوة

1. احسب متوسط العينة ($\bar{x}$) من البيانات المجمعة.
2. حدّد متوسط المجتمع المعروف ($\mu$).
3. حدّد الانحراف المعياري المعروف للمجتمع ($\sigma$).
4. احسب حجم العينة ($n$).
5. اطرح $\mu$ من $\bar{x}$.
6. اقسم $\sigma$ على الجذر التربيعي لـ $n$ للحصول على الخطأ المعياري.
7. اقسم ناتج الخطوة 5 على ناتج الخطوة 6. وتكون الإجابة هي الدرجة المعيارية z.

مثال تطبيقي

يقول مصنع إن متوسط طول براغيه هو 10 سم، مع انحراف معياري للمجتمع قدره 0.2 سم. ويقيس مفتش 100 برغيًا، فيجد أن متوسط العينة هو 10.05 سم.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

الخطأ المعياري: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

الدرجة المعيارية z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

الدرجة المعيارية z هي 2.5. ويقع متوسط العينة أعلى من متوسط المجتمع بمقدار 2.5 من الأخطاء المعيارية.

كيفية تفسير الدرجة المعيارية z

تعني الدرجة المعيارية z القريبة من 0 أن متوسط العينة قريب من متوسط المجتمع. أما الدرجة المعيارية z الكبيرة الموجبة أو السالبة فتعني أن متوسط العينة بعيد عن متوسط المجتمع، مما يشير إلى وجود فرق حقيقي وليس مجرد صدفة عشوائية.

فيما يلي القيم الحرجة الشائعة للتوزيع الطبيعي في اختبار ثنائي الطرف:

• α = 0.10 (مستوى ثقة 90%): z = ±1.645
• α = 0.05 (مستوى ثقة 95%): z = ±1.96
• α = 0.01 (مستوى ثقة 99%): z = ±2.576

إذا تجاوزت الدرجة المعيارية z المحسوبة القيمة الحرجة لمستوى الدلالة المختار، تُسمى النتيجة ذات دلالة إحصائية، وتُرفض الفرضية الصفرية (أي عدم وجود فرق).

في المثال المحلول، تتجاوز z = 2.5 القيمة ±1.96، ولذلك يكون الفرق ذا دلالة إحصائية عند مستوى 0.05. وتبلغ قيمة p لاختبار ثنائي الطرف عند z = 2.5 نحو 1.24%، ما يعني أن احتمال رؤية فرق بهذا الحجم يبلغ تقريبًا 1 من 80 إذا كان متوسط طول البرغي الحقيقي هو فعلًا 10 سم.

متى يُستخدم اختبار z؟

يكون اختبار z مناسبًا عندما:

• يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا.
• يكون حجم العينة كبيرًا بدرجة معقولة، وعادةً أكبر من 30.
• تكون البيانات ناتجة عن أخذ عينات عشوائية.
• يكون المجتمع موزعًا توزيعًا طبيعيًا، أو تكون العينة كبيرة بما يكفي لانطباق مبرهنة الحد المركزي.

إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف، أو كانت العينة صغيرة، يُستخدم اختبار t بدلًا من ذلك. ويقدّر اختبار t التباين من العينة نفسها، ويأخذ في الحسبان عدم اليقين الإضافي الناتج عن ذلك.

اختبار z مقابل اختبار t

يقيس الاختباران كلاهما مدى ابتعاد متوسط العينة عن قيمة متوقعة، مقدّرًا بوحدات الخطأ المعياري. يفترض اختبار z أن الانحراف المعياري للمجتمع معروف. أما اختبار t فيقدّر هذه القيمة من العينة، ويستخدم توزيعًا أعرض يعتمد على حجم العينة ليراعي عدم اليقين الإضافي. وعمليًا يُستخدم اختبار t في أغلب الأحيان. ويصف المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST) الحالة التي يجب فيها تقدير الانحراف المعياري من البيانات بأنها الحالة الأكثر شيوعًا.

الاستخدامات العملية لاختبار z

• مراقبة الجودة: التحقق مما إذا كانت دفعة من الأجزاء المصنعة تطابق المواصفة المستهدفة.
• البحث الطبي: مقارنة متوسط نتيجة مجموعة تتلقى علاجًا بقيمة معروفة للمجتمع.
• التعليم: مقارنة درجات اختبار فصل دراسي بمتوسط وطني.
• التمويل: التحقق مما إذا كانت عوائد صندوق استثماري تختلف عن متوسط مرجعي.

التاريخ

وصف أبراهام دي مواڤر التوزيع الطبيعي الذي يقوم عليه اختبار z، إذ استخدمه في عام 1733 كتقريب للتوزيع ذي الحدين. ثم طوّر كارل فريدريش غاوس وبيير سيمون لابلاس هذه النظرية في مطلع القرن التاسع عشر، بعد عام 1800 تقريبًا. أما طرق اختبار الفرضيات الرسمية، ومنها استخدام الدرجات المعيارية والقيم الحرجة للحكم على الدلالة الإحصائية، فقد طوّرها في أوائل القرن 20 إحصائيون منهم رونالد فيشر وييرزي نيمان وإيغون بيرسون.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين اختبار z واختبار t؟

يتطلب اختبار z معرفة الانحراف المعياري للمجتمع، ويعمل على أفضل نحو مع العينات الكبيرة. ويُستخدم اختبار t عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف ويجب تقديره من العينة؛ وهو صالح للعينات الصغيرة والكبيرة على حد سواء.

ما حجم العينة الذي يحتاج إليه اختبار z؟

يُعد حجم العينة الأكبر من 30 قاعدةً تقريبية شائعة. وتصبح نتائج اختبار z غير موثوقة تحت هذا الحد، ويكون اختبار t عادةً الخيار الأفضل.

ماذا تعني درجة معيارية z مقدارها 2.5؟

تعني درجة معيارية z مقدارها 2.5 أن متوسط العينة أعلى من متوسط المجتمع بمقدار 2.5 من الأخطاء المعيارية. ويتجاوز ذلك القيمة الحرجة لاختبار ثنائي الطرف، وهي ±1.96 عند مستوى ثقة 95%، ولذلك يكون الفرق ذا دلالة إحصائية عند ذلك المستوى. وتبلغ قيمة p لاختبار ثنائي الطرف عند z = 2.5 نحو 1.24%.

ما قيمة p في اختبار z؟

قيمة p هي احتمال الحصول على نتيجة متطرفة بقدر النتيجة الملحوظة أو أكثر، إذا لم يكن هناك فعلًا أي فرق عن متوسط المجتمع. وتوفر قيمة p الأصغر دليلًا أقوى ضد الفرضية الصفرية. وعادةً ما تُعد قيمة p الأقل من 0.05 ذات دلالة إحصائية.

ما الفرضية الصفرية في اختبار z؟

تنص الفرضية الصفرية على عدم وجود فرق بين متوسط العينة ومتوسط المجتمع. ويقيس اختبار z مقدار الدليل الذي تقدمه العينة ضد هذا الادعاء.

هل يمكن استخدام اختبار z مع العينات الصغيرة؟

لا يُنصح بذلك. فعند استخدام عينة صغيرة، أو عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف، يعطي اختبار t نتائج أدق لأنه يأخذ في الحسبان عدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير التباين من بيانات محدودة.

المراجع

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, القسم 7.2.2 "Are the data consistent with the assumed process mean?". NIST e-Handbook 7.2.2 — z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N) عندما يكون الانحراف المعياري معروفًا؛ أما تقديره من البيانات فهو الحالة الأكثر شيوعًا.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, القسم 1.3.6.7.1 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution". NIST e-Handbook 1.3.6.7.1 — القيم الحرجة 1.282 و1.645 و1.960 و2.326 و2.576؛ والمساحة من 0 إلى 2.5 تساوي 0.49379.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. MacTutor: Abraham de Moivre — اشتق دي مواڤر المنحنى الطبيعي في عام 1733 كتقريب للتوزيع ذي الحدين.