حاسبة الاختبار التائي - أداة تحليل إحصائي مجانية عبر الإنترنت

ما هو اختبار t؟

اختبار t هو أسلوب إحصائي يتحقق مما إذا كان متوسط مجموعة من الأعداد يختلف اختلافًا ذا دلالة عن متوسط آخر، أو عن قيمة ثابتة. ويُسمى أيضًا اختبار t لستودنت. يستخدمه الباحثون لمقارنة مجموعتين، مثل مجموعة المعالجة ومجموعة الضبط، أو لمقارنة مجموعة واحدة بمعيار معروف.

ينتج الاختبار عددًا يسمى إحصاء t. يشير إحصاء t البعيد عن الصفر إلى أن المتوسطين يختلفان فعلًا. أما إحصاء t القريب من الصفر، فيشير إلى أن الفرق قد يكون مجرد ضوضاء عشوائية.

أنواع اختبارات t

تدعم هذه الحاسبة ثلاثة أنواع من اختبار t.

• اختبار t لعينة واحدة: يقارن متوسط عينة واحدة بقيمة معروفة أو مفترضة.
• اختبار t لعينتين: يقارن متوسطي عينتين مستقلتين، مثل مجموعتين منفصلتين من الأشخاص. تستخدم هذه الحاسبة اختبار t لويلش، الذي لا يفترض أن تشتت المجموعتين متساوٍ.
• اختبار t للعينات المترابطة: يقارن مجموعتين من القياسات المأخوذة من الأشخاص أنفسهم، مثل الدرجات قبل المعالجة وبعدها.

كيفية استخدام حاسبة اختبار t هذه

1. اختر نوع الاختبار: عينة واحدة، أو عينتان، أو عينات مترابطة.
2. أدخل البيانات.
   • العينة الواحدة: أدخل قيم العينة، مفصولة بفواصل، ومتوسط المجتمع المراد الاختبار في مقابلته.
   • العينتان: أدخل العينتين في قائمتين منفصلتين مفصولتين بفواصل.
   • العينات المترابطة: أدخل الأزواج بالصيغة (x1,y1)، (x2,y2)، وهكذا.
3. حدد مستوى الدلالة، وهو عادةً 0.05. لا تستخدم الحاسبة هذه القيمة؛ بل تعرض قيمة p وتترك القرار لك.
4. يظهر إحصاء t ودرجات الحرية وقيمة p فور توفر بيانات كافية. ولا يوجد زر يجب الضغط عليه.

للحكم على الدلالة، قارن قيمة p بمستوى الدلالة. إذا كانت قيمة p أقل من مستوى الدلالة أو مساوية له، يُعد الفرق ذا دلالة إحصائية.

صيغة اختبار t

صيغة اختبار t لعينة واحدة

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

تمثل $\bar{x}$ متوسط العينة، وتمثل $\mu_0$ القيمة التي يجري الاختبار في مقابلتها، ويمثل $s$ الانحراف المعياري للعينة، ويمثل $n$ حجم العينة. درجات الحرية: $df = n - 1$.

صيغة اختبار t لعينتين (اختبار ويلش)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

تُستخرج درجات الحرية من معادلة ويلش–ساترثويت:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

تعطي هذه الصيغة عادةً قيمة لـ df ليست عددًا صحيحًا.

صيغة اختبار t للعينات المترابطة

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

تمثل $\bar{d}$ متوسط الفروق بين كل زوج، ويمثل $s_d$ الانحراف المعياري لتلك الفروق، ويمثل $n$ عدد الأزواج. درجات الحرية: $df = n - 1$.

كيفية حساب اختبار t: مثال محلول

تدعي شركة مصنّعة أن البطارية تدوم 50 ساعة في المتوسط. يفحص مختبِر تسع بطاريات ويسجل مدد التشغيل هذه، بالساعات:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

الخطوة 1: صياغة الفرضيات. الفرضية الصفرية: المتوسط الحقيقي هو 50 ساعة. الفرضية البديلة: المتوسط الحقيقي ليس 50 ساعة.

الخطوة 2: إيجاد متوسط العينة.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

الخطوة 3: إيجاد الانحراف المعياري للعينة. الفروق عن المتوسط هي 1، -1، 2، -2، 0، -3، 3، -1، 1. ومربعاتها هي 1، 1، 4، 4، 0، 9، 9، 1، 1، ومجموعها 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

الخطوة 4: إيجاد إحصاء t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

الخطوة 5: إيجاد درجات الحرية.

$$df = 9 - 1 = 8$$

الخطوة 6: إيجاد قيمة p. عند $t = 0$ و$df = 8$، تكون قيمة p لاختبار ثنائي الطرف 1.00.

الخطوة 7: استخلاص النتيجة. بما أن 1.00 أكبر من 0.05، فلا توجد أدلة كافية على أن متوسط عمر البطارية يختلف عن 50 ساعة.

افتراضات اختبار t

يعطي اختبار t نتائج موثوقة فقط عندما تتحقق بعض الشروط بصورة تقريبية.

• التوزيع الطبيعي: ينبغي أن تكون البيانات ذات شكل جرسي تقريبًا، ولا سيما في العينات الصغيرة.
• الاستقلالية: ينبغي ألا يؤثر كل رصد في أي رصد آخر.
• أخذ العينات العشوائي: ينبغي أن تأتي البيانات من عينة عشوائية من المجتمع محل الدراسة.

في اختبار t للعينات المترابطة، تنطبق هذه الشروط على الفروق بين الأزواج، لا على الدرجات الأولية. أما في العينات الأكبر، التي تزيد تقريبًا على 30، فيميل اختبار t إلى الحفاظ على دقته حتى عندما لا تكون البيانات ذات شكل جرسي مثالي، بسبب خاصية إحصائية تسمى مبرهنة الحد المركزي.

بدائل اختبار t

عندما لا تتحقق الافتراضات المذكورة أعلاه، يمكن استخدام اختبارات أخرى بدلًا منه.

• اختبار مان–ويتني U: بديل لا معلمي لاختبار t لعينتين.
• اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة: بديل لا معلمي لاختبار t للعينات المترابطة.
• تحليل التباين ANOVA: يقارن متوسطات ثلاث مجموعات أو أكثر في وقت واحد، بدلًا من مقارنة مجموعتين فقط.

تاريخ اختبار t

طوّر ويليام سيلي غوسيت اختبار t عام 1908 أثناء عمله كيميائيًا في مصنع غينيس للجعة في دبلن. لم تكن غينيس تسمح للموظفين بنشر الأبحاث بأسمائهم الحقيقية، لذلك استخدم غوسيت الاسم المستعار «ستودنت». ولهذا السبب يُسمى الأسلوب غالبًا اختبار t لستودنت. وقد ابتكره للحكم على ما إذا كانت الدفعات الصغيرة من مكونات التخمير تستوفي معايير الجودة، باستخدام عدد قليل من العينات في كل مرة.

الأسئلة الشائعة

فيمَ يُستخدم اختبار t؟

يتحقق اختبار t مما إذا كان متوسط عينة يختلف اختلافًا ذا دلالة عن متوسط آخر أو عن قيمة ثابتة. وهو شائع في أبحاث الطب وعلم النفس والتعليم والأعمال.

متى ينبغي استخدام اختبار t لعينة واحدة أو لعينتين أو للعينات المترابطة؟

استخدم اختبار t لعينة واحدة لمقارنة متوسط عينة بقيمة معروفة. واستخدم اختبار t لعينتين لمقارنة مجموعتين منفصلتين وغير مرتبطتين. واستخدم اختبار t للعينات المترابطة عندما يُقاس الأشخاص أنفسهم مرتين، مثل القياس قبل المعالجة وبعدها.

ما الفرق بين اختبار t واختبار z؟

يُستخدم اختبار t عندما تكون العينة صغيرة أو عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف. أما اختبار z فيُستخدم للعينات الكبيرة عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا. وعمليًا، يُستخدم اختبار t بدرجة أكبر بكثير، لأن الانحراف المعياري للمجتمع نادرًا ما يكون معروفًا مسبقًا.

كيف أفسر قيمة p الناتجة عن اختبار t؟

قيمة p هي احتمال ملاحظة فرق بهذا الحجم أو أكبر منه إذا لم يكن هناك في الواقع فرق حقيقي. وتشير قيمة p الصغيرة، التي تكون عادةً عند 0.05 أو أقل، إلى أن الفرق الملاحظ من غير المرجح أن يكون ناتجًا عن الصدفة وحدها.

ما اختبار t لويلش؟

اختبار t لويلش هو نسخة من اختبار t لعينتين لا تشترط أن يكون تباين المجموعتين متساويًا. تستخدم هذه الحاسبة دائمًا طريقة ويلش لاختبارات العينتين، لأنها تحافظ على دقتها سواء اختلف مقدار تباين المجموعتين أم لم يختلف.

ما المقصود بدرجات الحرية في اختبار t؟

درجات الحرية هي عدد يعتمد على حجم العينة، ويحدد الشكل الدقيق لتوزيع t المستخدم لإيجاد قيمة p. في اختبار t لعينة واحدة أو للعينات المترابطة، تساوي درجات الحرية حجم العينة ناقص 1. ويستخدم اختبار t لويلش لعينتين صيغةً تنتج عادةً قيمة ليست عددًا صحيحًا.

المراجع

1. غوسيت، W. S. (1908). «الخطأ المحتمل للمتوسط». Biometrika، 6(1)، 1–25.
2. الدليل الإلكتروني لأساليب الإحصاء الصادر عن NIST/SEMATECH، القسم 1.3.6.7.2، «القيم الحرجة لتوزيع t لستودنت».