حاسبة الاختبار التائي - أداة تحليل إحصائي مجانية عبر الإنترنت

ما هو اختبار t؟

اختبار t طريقة إحصائية تتحقق مما إذا كان متوسط مجموعة من الأعداد يختلف اختلافًا ذا دلالة عن متوسط آخر أو عن قيمة ثابتة. ويُعرف أيضًا باسم اختبار ستيودنت t. ويستخدمه الباحثون للمقارنة بين مجموعتين، مثل مجموعة العلاج والمجموعة الضابطة، أو لمقارنة مجموعة واحدة بمعيار معروف.

يُنتج الاختبار عددًا يسمى إحصاءة t. وتشير إحصاءة t البعيدة عن الصفر إلى أن المتوسطين مختلفان فعلًا. أما إحصاءة t القريبة من الصفر فتشير إلى أن أي فرق قد يكون مجرد ضوضاء عشوائية.

أنواع اختبارات t

تدعم هذه الحاسبة ثلاثة أنواع من اختبار t.

• اختبار t لعينة واحدة: يقارن متوسط عينة واحدة بقيمة معروفة أو مفترضة.
• اختبار t لعينتين: يقارن متوسطي عينتين مستقلتين، مثل مجموعتين منفصلتين من الأشخاص. وتستخدم هذه الحاسبة اختبار ويلش t، الذي لا يفترض أن المجموعتين متساويتان في مقدار التشتت.
• اختبار t المزدوج: يقارن مجموعتين من القياسات أُخذتا من الأفراد أنفسهم، مثل الدرجات قبل العلاج وبعده.

كيفية استخدام حاسبة اختبار t هذه

1. اختر نوع الاختبار: عينة واحدة، أو عينتان، أو مزدوج.
2. أدخل البيانات.
   • عينة واحدة: أدخل قيم العينة مفصولة بفواصل، ومتوسط المجتمع الذي يُختبر مقابله.
   • عينتان: أدخل العينتين في قائمتين منفصلتين مفصولتين بفواصل.
   • مزدوج: أدخل الأزواج بالصيغة (x1,y1)، (x2,y2)، وهكذا.
3. حدّد مستوى الدلالة، ويكون شائعًا 0.05.
4. اختر «احسب» لعرض إحصاءة t ودرجات الحرية وقيمة p.

لتقدير الدلالة، قارن قيمة p بمستوى الدلالة. وإذا كانت قيمة p أقل من مستوى الدلالة أو تساويه، يُعدّ الفرق ذا دلالة إحصائية.

صيغة اختبار t

صيغة اختبار t لعينة واحدة

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ هو متوسط العينة، و$\mu_0$ هي القيمة التي يُختبر مقابلها، و$s$ هو الانحراف المعياري للعينة، و$n$ هو حجم العينة. درجات الحرية: $df = n - 1$.

صيغة اختبار t لعينتين (اختبار ويلش)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

تُحسب درجات الحرية من معادلة ويلش-ساترثويت:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

تعطي هذه الصيغة عادةً درجات حرية ليست عددًا صحيحًا.

صيغة اختبار t المزدوج

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ هو متوسط الفروق بين كل زوج، و$s_d$ هو الانحراف المعياري لتلك الفروق، و$n$ هو عدد الأزواج. درجات الحرية: $df = n - 1$.

كيفية حساب اختبار t: مثال تطبيقي

تزعم شركة مصنِّعة أن عمر البطارية يبلغ في المتوسط 50 ساعة. يفحص مختبِر تسع بطاريات ويسجل أعمارها بالساعات كما يلي:

51، 49، 52، 48، 50، 47، 53، 49، 51

الخطوة 1: صياغة الفرضيات. الفرضية الصفرية: المتوسط الحقيقي هو 50 ساعة. الفرضية البديلة: المتوسط الحقيقي لا يساوي 50 ساعة.

الخطوة 2: إيجاد متوسط العينة.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

الخطوة 3: إيجاد الانحراف المعياري للعينة. الانحرافات عن المتوسط هي 1 و-1 و2 و-2 و0 و-3 و3 و-1 و1. وبعد تربيعها تصبح 1 و1 و4 و4 و0 و9 و9 و1 و1، ومجموعها 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

الخطوة 4: إيجاد إحصاءة t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

الخطوة 5: إيجاد درجات الحرية.

$$df = 9 - 1 = 8$$

الخطوة 6: إيجاد قيمة p. عند $t = 0$ و$df = 8$، تكون قيمة p ثنائية الذيل 1.00.

الخطوة 7: استخلاص النتيجة. بما أن 1.00 أكبر من 0.05، لا توجد أدلة كافية على أن متوسط عمر البطارية يختلف عن 50 ساعة.

افتراضات اختبار t

يعطي اختبار t نتائج موثوقة فقط عندما تتحقق بضعة شروط تقريبًا.

• التوزيع الطبيعي: ينبغي أن تكون البيانات على شكل جرس تقريبًا، خصوصًا في العينات الصغيرة.
• الاستقلال: ينبغي ألا تؤثر أي مشاهدة في أي مشاهدة أخرى.
• العينة العشوائية: ينبغي أن تأتي البيانات من عينة عشوائية من المجتمع قيد الدراسة.

في اختبار t المزدوج، تنطبق هذه الشروط على الفروق بين الأزواج لا على الدرجات الخام. وفي العينات الأكبر، التي تزيد تقريبًا على 30، يبقى اختبار t دقيقًا في الغالب حتى لو لم تكن البيانات على شكل جرس تام، بسبب خاصية إحصائية تسمى نظرية النهاية المركزية.

بدائل اختبار t

عندما لا تتحقق الافتراضات المذكورة أعلاه، يمكن استخدام اختبارات أخرى بدلًا منه.

• اختبار مان-ويتني U: بديل لا معلمي لاختبار t لعينتين.
• اختبار ويلكوكسون للرتب الموقَّعة: بديل لا معلمي لاختبار t المزدوج.
• تحليل التباين (ANOVA): يقارن متوسطات ثلاث مجموعات أو أكثر في آن واحد، لا مجموعتين فقط.

تاريخ اختبار t

طوّر ويليام سيلي غوسيت اختبار t عام 1908 حين كان يعمل كيميائيًا في مصنع جعة غينيس في دبلن. ولم تكن غينيس تسمح لموظفيها بنشر أبحاثهم بأسمائهم، فاستخدم غوسيت الاسم المستعار «ستيودنت». ولذلك كثيرًا ما تُسمى الطريقة اختبار ستيودنت t. وقد ابتكرها ليحكم على مطابقة دفعات صغيرة من مكونات التخمير لمعايير الجودة، مستخدمًا عددًا قليلًا من العينات في كل مرة.

الأسئلة الشائعة

فيمَ يُستخدم اختبار t؟

يتحقق اختبار t مما إذا كان متوسط عينة يختلف اختلافًا ذا دلالة عن متوسط آخر أو عن قيمة ثابتة. وهو شائع في أبحاث الطب وعلم النفس والتعليم والأعمال.

متى أستخدم اختبار t لعينة واحدة أو لعينتين أو المزدوج؟

استخدم اختبار t لعينة واحدة لمقارنة متوسط عينة بقيمة معروفة. واستخدم اختبار t لعينتين للمقارنة بين مجموعتين منفصلتين لا صلة بينهما. واستخدم اختبار t المزدوج عندما يُقاس الأفراد أنفسهم مرتين، مثل قبل العلاج وبعده.

ما الفرق بين اختبار t واختبار z؟

يُستخدم اختبار t عندما تكون العينة صغيرة أو يكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا. ويُستخدم اختبار z مع العينات الكبيرة عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معلومًا. وفي التطبيق العملي يُستخدم اختبار t في أغلب الأحيان، لأن الانحراف المعياري للمجتمع نادرًا ما يكون معلومًا مسبقًا.

كيف أفسّر قيمة p في اختبار t؟

قيمة p هي احتمال ملاحظة فرق بهذا الحجم أو أكبر لو لم يكن هناك فرق حقيقي فعلًا. وتشير قيمة p الصغيرة، وهي عادةً 0.05 أو أقل، إلى أن الفرق الملاحَظ من غير المرجح أن يكون ناتجًا عن الصدفة وحدها.

ما هو اختبار ويلش t؟

اختبار ويلش t نسخة من اختبار t لعينتين لا تشترط تساوي تباين المجموعتين. وتستخدم هذه الحاسبة طريقة ويلش دائمًا في اختبارات العينتين، لأنها تبقى دقيقة سواء تساوى تباين المجموعتين أم اختلف.

ما هي درجات الحرية في اختبار t؟

درجات الحرية عدد يعتمد على حجم العينة ويحدد الشكل الدقيق لتوزيع t المستخدم لإيجاد قيمة p. وفي اختبار t لعينة واحدة أو المزدوج، تساوي درجات الحرية حجم العينة ناقص 1. أما اختبار ويلش t لعينتين فيستخدم صيغة تعطي عادةً قيمة ليست عددًا صحيحًا.

المراجع

1. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.2 Confidence Limits for the Mean. NIST e-Handbook 1.3.5.2 — إحصاءة الاختبار لعينة واحدة T = (Ȳ − μ₀)/(s/√N)، بدرجات حرية N − 1.
2. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means. NIST e-Handbook 1.3.5.3 — إحصاءة الاختبار عند اختلاف التباينين ودرجات حرية ويلش-ساترثويت.
3. جامعة سانت أندروز، MacTutor History of Mathematics. Gosset, William Sealy [pseud. Student]. MacTutor: Gosset — عمل غوسيت لدى غينيس، ولم يكن يستطيع النشر باسمه، ونشر عمله عن الخطأ المحتمل للمتوسط في مجلة Biometrika عام 1908 باسم ستيودنت.