حاسبة القيمة المعيارية (Z-Score) - أداة الدرجة المعيارية والاحتمالية

ما الدرجة المعيارية z؟

الدرجة z، وتُسمّى أيضًا الدرجة المعيارية، تقيس عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها نقطة بيانات عن المتوسط في مجموعة بيانات. وتعني الدرجة المعيارية 0 أن القيمة تساوي المتوسط. وتعني الدرجة الموجبة أن القيمة أعلى من المتوسط، وتعني الدرجة السالبة أنها أدنى منه.

صيغة الدرجة المعيارية z

تُحسب الدرجة المعيارية لنقطة بيانات بهذه الصيغة:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

حيث:

• $z$ هي الدرجة المعيارية
• $x$ هي نقطة البيانات
• $\mu$ هو متوسط مجموعة البيانات
• $\sigma$ هو الانحراف المعياري لمجموعة البيانات

لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري صفرًا، لأن القسمة على صفر ليس لها ناتج معرّف. ولا يمكن أن يكون سالبًا أيضًا، لأن الانحراف المعياري يكون بحكم تعريفه صفرًا أو موجبًا دائمًا.

كيف تُحسب الدرجة المعيارية z

1. أوجد متوسط مجموعة البيانات بجمع كل القيم وقسمة المجموع على عدد القيم $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. أوجد الانحراف المعياري. احسب أولًا التباين، وهو متوسط مربعات الفروق عن المتوسط، ثم خذ جذره التربيعي.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. اطرح المتوسط من نقطة البيانات واقسم الناتج على الانحراف المعياري.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

مثال تطبيقي

يحصل طالب على 85 في اختبار. متوسط درجات الصف 75، والانحراف المعياري لدرجات الصف 10.

• نقطة البيانات: $x = 85$
• المتوسط: $\mu = 75$
• الانحراف المعياري: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

الدرجة المعيارية للطالب هي 1.0. أي أن درجته أعلى من متوسط الصف بانحراف معياري واحد.

الدرجة المعيارية والاحتمال التراكمي

يمكن تحويل الدرجة المعيارية إلى احتمال تراكمي، وهو احتمال أن تقع قيمة مختارة عشوائيًا من توزيع طبيعي عند تلك النقطة أو دونها. وهو المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يسار $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

بالنسبة للدرجة المعيارية للطالب 1.0، يبلغ الاحتمال التراكمي نحو 0.8413، أي 84.1%. تعرض الحاسبة الدرجة المعيارية بأربع منازل عشرية والاحتمال بنسبة مئوية بمنزلتين عشريتين، فيظهر في هذا المثال 1.0000 و84.13%. ويعني ذلك أن الطالب تفوّق على نحو 84% من الصف، بافتراض أن الدرجات تتبع توزيعًا طبيعيًا.

بعض النقاط المرجعية:

تفسير الدرجة المعيارية z

في التوزيع الطبيعي، تقع نحو 95% من القيم ضمن 2 من الانحرافات المعيارية عن المتوسط، ونحو 99.7% منها ضمن 3 من الانحرافات المعيارية. وتُسمّى هذه القاعدة التجريبية، أو قاعدة 68-95-99.7. لذلك تُعد الدرجات المعيارية التي تتجاوز +3 أو -3 نادرة، وكثيرًا ما تُفحص بوصفها قيمًا شاذة محتملة، أي قيمًا تختلف اختلافًا حادًا عن باقي البيانات.

تتيح الدرجات المعيارية أيضًا مقارنة قيم مقيسة بمقاييس مختلفة. لا يمكن مقارنة درجة اختبار بقياس طول مباشرة، لكن يمكن مقارنة درجتيهما المعياريتين، لأن كلتيهما تصف البعد عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري نفسها.

الدرجة z مقابل الدرجة t

تستخدم الدرجة المعيارية z الانحراف المعياري للمجتمع، فتفترض أن هذه القيمة معروفة. أما الدرجة t فتُستخدم حين يكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا، ويُستخدم بدلًا منه الانحراف المعياري للعينة. وكانت قاعدة تقريبية أقدم تقصر توزيع t على العينات التي حجمها 30 أو أقل، لكن الممارسة الحالية هي استخدامه كلما قُدّرت قيمة المجتمع بالانحراف المعياري للعينة. ولتوزيع t ذيلان أثقل من ذيلي المنحنى الطبيعي، وهذا يراعي عدم اليقين الإضافي.

الاستخدامات الشائعة للدرجات المعيارية

• الاختبارات الموحدة. مقارنة الدرجة الخام لطالب بالتوزيع الكلي للدرجات.
• اكتشاف القيم الشاذة. تمييز نقاط البيانات البعيدة عن المتوسط في مجموعة بيانات.
• ضبط الجودة. التحقق مما إذا كان منتج مصنّع يقع ضمن نطاق مقبول.
• اختبار الفرضيات. تستخدم اختبارات z الدرجات المعيارية للحكم على ما إذا كان متوسط العينة يختلف اختلافًا ذا معنى عن متوسط مجتمع معروف.

التاريخ

تقوم الدرجة المعيارية على التوزيع الطبيعي. فقد اشتق أبراهام دي مواڤر المنحنى الطبيعي في عام 1733 كتقريب للتوزيع ذي الحدين. ثم طوّره كارل فريدريش غاوس وبيير سيمون لابلاس.

الأسئلة الشائعة

ما الدرجة المعيارية z في الإحصاء؟ الدرجة المعيارية هي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها نقطة بيانات عن متوسط مجموعة بياناتها. وتُحسب بالصيغة z = (x − μ) / σ.

كيف تُفسَّر نتيجة الدرجة المعيارية؟ تعني الدرجة المعيارية 0 أن القيمة تساوي المتوسط. وتدل القيمة الموجبة على أنها أعلى من المتوسط، وتدل القيمة السالبة على أنها أدنى منه. أما القيم التي تتجاوز +3 أو -3 فهي غير معتادة.

هل يمكن أن تكون الدرجة المعيارية سالبة؟ نعم، يمكن ذلك. فالدرجة المعيارية السالبة تعني ببساطة أن نقطة البيانات أدنى من المتوسط. وتعني الدرجة -2 أن القيمة تقع 2 من الانحرافات المعيارية دون المتوسط.

ما الفرق بين الدرجة z والدرجة t؟ تُستخدم الدرجة z حين يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا. وتُستخدم الدرجة t حين يكون مجهولًا ويُستخدم بدلًا منه الانحراف المعياري للعينة، مهما كان حجم العينة.

ماذا يعني الاحتمال التراكمي للدرجة المعيارية؟ هو احتمال أن تكون قيمة مختارة عشوائيًا من توزيع طبيعي أقل من الدرجة المعيارية المعطاة أو مساوية لها. ويساوي المساحة تحت المنحنى الطبيعي إلى يسار تلك النقطة.

ماذا يحدث إذا كان الانحراف المعياري صفرًا؟ تكون الدرجة المعيارية غير معرّفة، لأن الصيغة تتطلب القسمة على صفر. ويعني الانحراف المعياري الصفري أن كل القيم في مجموعة البيانات متطابقة.

المراجع

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. التوزيع الطبيعي المعياري — صيغة الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ والقاعدة التجريبية 68-95-99.7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. جدول التوزيع الطبيعي المعياري — المساحة تحت المنحنى الطبيعي من 0 إلى z (0.34134 عند z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. توزيع t لستيودنت — متى يُستخدم t بدلًا من z، وسبب ثقل ذيليه.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. سيرة أبراهام دي مواڤر — اشتقاق دي مواڤر للمنحنى الطبيعي عام 1733.