حاسبة القيمة المعيارية (Z-Score) - أداة الدرجة المعيارية والاحتمالية

ما هي الدرجة المعيارية؟

تقيس الدرجة المعيارية، التي تُسمى أيضًا درجة z، عدد الانحرافات المعيارية التي تفصل نقطة بيانات عن متوسط مجموعة بيانات. وتعني الدرجة المعيارية 0 أن القيمة تساوي المتوسط. وتشير الدرجة المعيارية الموجبة إلى أن القيمة أعلى من المتوسط، بينما تشير الدرجة المعيارية السالبة إلى أنها أدنى منه.

صيغة الدرجة المعيارية

تُحسب الدرجة المعيارية لنقطة بيانات باستخدام الصيغة التالية:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

حيث:

• $z$ هي الدرجة المعيارية
• $x$ هي نقطة البيانات
• $\mu$ هو متوسط مجموعة البيانات
• $\sigma$ هو الانحراف المعياري لمجموعة البيانات

لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري صفرًا، لأن القسمة على الصفر ليس لها نتيجة محددة. ولا يمكن أن يكون سالبًا أيضًا، إذ إن الانحراف المعياري يكون دائمًا صفرًا أو موجبًا بحكم التعريف.

كيفية حساب الدرجة المعيارية

1. احسب متوسط مجموعة البيانات بجمع جميع القيم وقسمتها على عدد القيم، $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. احسب الانحراف المعياري. احسب أولًا التباين، وهو متوسط مربعات الفروق عن المتوسط، ثم احسب جذره التربيعي.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

هذا هو الانحراف المعياري للمجتمع، إذ يقسم على $n$. وعندما تكون الأعداد عينة مأخوذة من مجموعة أكبر، اقسم على $n - 1$ بدلًا من ذلك.

3. اطرح المتوسط من نقطة البيانات، ثم اقسم الناتج على الانحراف المعياري.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

مثال محلول

حصل طالب على 85 في اختبار. وكان متوسط الصف 75، والانحراف المعياري لدرجات الصف 10.

• نقطة البيانات: $x = 85$
• المتوسط: $\mu = 75$
• الانحراف المعياري: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

الدرجة المعيارية للطالب هي 1.0. وتزيد درجته بمقدار انحراف معياري واحد على متوسط الصف.

الدرجة المعيارية والاحتمال التراكمي

يمكن تحويل الدرجة المعيارية إلى احتمال تراكمي، أي احتمال أن تقع قيمة مختارة عشوائيًا من توزيع طبيعي عند تلك النقطة أو دونها. ويمثل ذلك المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يسار $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

بالنسبة إلى الدرجة المعيارية للطالب، وهي 1.0، يبلغ الاحتمال التراكمي نحو 0.8413، أو 84.13%. وهذا يعني أن الطالب حصل على درجة أفضل من نحو 84% من الصف، بافتراض أن الدرجات تتبع توزيعًا طبيعيًا. تعرض الآلة الحاسبة الدرجة المعيارية حتى أربعة منازل عشرية، والاحتمال التراكمي كنسبة مئوية حتى منزلتين عشريتين.

بعض القيم المرجعية:

تفسير الدرجة المعيارية

تقع معظم القيم في التوزيع الطبيعي ضمن انحرافين معياريين من المتوسط. وتُعد الدرجات المعيارية التي تتجاوز +3 أو -3 نادرة، وغالبًا ما تُعامل بوصفها قيمًا شاذة، أي قيمًا تختلف اختلافًا كبيرًا عن بقية البيانات.

تتيح الدرجات المعيارية أيضًا مقارنة القيم المقاسة على مقاييس مختلفة. فلا يمكن مقارنة درجة اختبار وقياس طول مباشرة، لكن يمكن مقارنة درجتيهما المعياريتين، لأن كلتيهما تصفان البعد عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري نفسها.

الدرجة المعيارية z مقابل الدرجة المعيارية t

تفترض الدرجة المعيارية z أن الانحراف المعياري للمجتمع معلوم، وتعمل بصورة أفضل مع العينات الكبيرة. وتُستخدم الدرجة المعيارية t بدلًا منها عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معلوم وتكون العينة صغيرة، وعادةً ما تكون أقل من 30 مشاهدة. تصف كلتا الدرجتين البعد عن المتوسط، لكن الدرجة المعيارية t تأتي من توزيع t، الذي يمتلك ذيولًا أثقل لمراعاة عدم اليقين الإضافي في العينة الصغيرة.

الاستخدامات الشائعة للدرجات المعيارية

• الاختبارات المعيارية. مقارنة الدرجة الخام للطالب بالتوزيع العام للدرجات.
• اكتشاف القيم الشاذة. تحديد نقاط البيانات البعيدة عن المتوسط في مجموعة بيانات.
• مراقبة الجودة. التحقق من وقوع أحد المنتجات المصنّعة ضمن نطاق مقبول.
• اختبار الفرضيات. تستخدم اختبارات z الدرجات المعيارية للحكم على ما إذا كان متوسط العينة يختلف اختلافًا ذا دلالة عن متوسط مجتمع معلوم.

التاريخ

تستند الدرجة المعيارية z إلى التوزيع الطبيعي، الذي وصفه أبراهام دو موافر عام 1733، وطوّره لاحقًا كارل فريدريش غاوس وبيير-سيمون لابلاس في أوائل القرن 19. وأصبح توحيد القيم في وحدات الانحراف المعياري ممارسة شائعة في الاختبارات النفسية ومراقبة الجودة خلال القرن 20.

الأسئلة الشائعة

ما الدرجة المعيارية z في الإحصاء؟
الدرجة المعيارية z هي عدد الانحرافات المعيارية التي تفصل نقطة بيانات عن متوسط مجموعة بياناتها. وتُحسب باستخدام الصيغة z = (x − μ) / σ.

كيف أفسر نتيجة الدرجة المعيارية z؟
تعني الدرجة المعيارية z البالغة 0 أن القيمة تساوي المتوسط. وتشير القيمة الموجبة إلى أن القيمة أعلى من المتوسط، بينما تشير القيمة السالبة إلى أنها أدنى منه. وتُعد القيم التي تتجاوز +3 أو -3 غير معتادة.

هل يمكن أن تكون الدرجة المعيارية z سالبة؟
نعم. تعني الدرجة المعيارية z السالبة ببساطة أن نقطة البيانات تقع تحت المتوسط. وتعني الدرجة المعيارية z البالغة -2 أن القيمة تقل عن المتوسط بمقدار انحرافين معياريين.

ما الفرق بين الدرجة المعيارية z والدرجة المعيارية t؟
تُستخدم الدرجة المعيارية z مع العينات الكبيرة عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معلومًا. أما الدرجة المعيارية t فتُستخدم مع العينات الصغيرة، التي تكون عمومًا أقل من 30، عندما لا يكون الانحراف المعياري معلومًا.

ماذا يعني الاحتمال التراكمي بالنسبة إلى الدرجة المعيارية z؟
هو احتمال أن تكون قيمة مختارة عشوائيًا من توزيع طبيعي أقل من الدرجة المعيارية z المعطاة أو مساوية لها. ويساوي المساحة الواقعة تحت المنحنى الطبيعي إلى يسار تلك النقطة.

ماذا يحدث إذا كان الانحراف المعياري صفرًا؟
تكون الدرجة المعيارية z غير معرّفة، لأن الصيغة تتطلب القسمة على الصفر. ويعني الانحراف المعياري البالغ صفرًا أن كل قيمة في مجموعة البيانات متطابقة.

المراجع

1. الدرجة المعيارية، ويكيبيديا: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. التوزيع الطبيعي والدرجات المعيارية z، أكاديمية خان: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review