Генератор и калкулатор за аритметична последователност - Безплатен инструмент

Какво представлява аритметична прогресия?

Аритметичната прогресия е списък от числа, в който всеки член се получава, като към предишния член се прибави една и съща величина. Тази величина се нарича разлика на прогресията. В прогресията 2, 5, 8, 11, 14 всеки член е с 3 по-голям от предишния, така че разликата е 3. Аритметичните прогресии се наричат още аритметични редици.

Генераторът на аритметични прогресии създава такъв списък от три стойности:

• Първи член (a₁): началното число.
• Разлика на прогресията (d): величината, която се прибавя към всеки член, за да се получи следващият. Положителната стойност увеличава прогресията. Отрицателната стойност я намалява.
• Брой членове (n): броят на числата в прогресията.

Изписана изцяло, една аритметична прогресия изглежда така: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d и така нататък до a₁ + (n − 1)d.

Формула за аритметична прогресия

Формулата за n-тия член на аритметична прогресия е:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ е стойността на члена на позиция n.
• a₁ е първият член.
• n е позицията на члена, като броенето започва от 1.
• d е разликата на прогресията.

(n − 1) се появява, защото към първия член все още не е добавяна разликата. Към втория член тя е добавена веднъж, към третия — два пъти и така нататък. При n-тия член разликата е добавена (n − 1) пъти.

Формула за сумата на аритметична прогресия

Сумата на първите n члена на аритметична прогресия е:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ е сумата на първите n члена, а aₙ е последният член, включен в сумата. Формулата работи, защото сборът на първия и последния член, на втория и предпоследния член и така нататък винаги е един и същ. Умножаването на този сбор по половината от броя на членовете дава общата сума.

Еквивалентна форма, при която не е необходимо последният член да е известен предварително, е:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Тази формула се приписва на математика Карл Фридрих Гаус, за когото се смята, че като дете е използвал метода на сдвояването, за да събере числата от 1 до 100 за секунди: 50 двойки, всяка със сбор 101, дават общо 5 050.

Решен пример

Нека първият член е 5, разликата на прогресията е 3, а броят на членовете е 6.

Прогресията е 5, 8, 11, 14, 17, 20. Сумата ѝ е (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

Как се използва калкулаторът за аритметични прогресии

1. Въведете първия член (a₁). Той може да бъде положителен, отрицателен или нула и може да включва десетични дроби.
2. Въведете разликата на прогресията (d). Тя също може да бъде положителна, отрицателна, нула или десетична дроб.
3. Въведете броя на членовете (n). Той трябва да бъде цяло число от 1 до 10 000. Десетична стойност се закръгля до най-близкото цяло число.
4. Прогресията, броят на членовете и сумата ѝ се показват веднага след попълването и на трите полета. Няма отделен бутон, който да натиснете.
5. Изберете Копиране на прогресията, за да копирате пълния списък от членове.
6. Изберете Изчистване, за да изпразните и трите полета и да започнете отначало.

Правила за въвеждане

Първият член и разликата на прогресията приемат всяко реално число, включително десетични и отрицателни числа. Броят на членовете се състои от цели елементи, така че една прогресия не може да има половин член. Полето закръгля десетична стойност до най-близкото цяло число: въвеждането на 10,5 дава 11 члена. След това броят трябва да е между 1 и 10 000. Нула, отрицателен брой или брой над 10 000 показва грешка вместо прогресия. Ограничението от 10 000 съществува, защото създаването и показването на по-дълъг списък може да забави уеб браузъра.

Приложения на аритметичните прогресии

Аритметичните прогресии описват всичко, което се променя с една и съща величина на равни стъпки. Спестовен план, който започва от 100 щ.д. и добавя 25 щ.д. всеки месец, следва аритметична прогресия: 100, 125, 150, 175 и така нататък. Таймер за обратно броене, набор от равномерно разпределени часове за срещи, както и индексите на редовете и колоните в компютърните програми следват същия модел. Учениците често използват аритметични прогресии за изучаване на закономерности в началната алгебра, тъй като постоянната разлика прави правилото зад списъка лесно за разбиране и проверка.

Свързан модел е геометричната прогресия, при която всеки член се получава чрез умножение по постоянен коефициент, вместо чрез прибавяне на постоянна величина, например 2, 6, 18, 54. Геометричните прогресии моделират растеж, който се ускорява с времето, например сложната лихва, вместо равномерната линейна промяна на аритметичната прогресия.

История

Аритметичните прогресии са сред най-старите изучавани закономерности в математиката. Папирусът на Ринд, египетски документ от около 1650 г. пр.н.е., съдържа задачи, в които аритметични прогресии се използват за разделяне на стоки. Древни вавилонски текстове показват подобни закономерности още по-рано. Гръцки математици, включително Евклид около 300 г. пр.н.е., по-късно дават формални доказателства за тези прогресии, които се преподават и днес.

Често задавани въпроси

Какво представлява аритметичната прогресия с прости думи?

Това е списък от числа, при който всеки път към дадено число се добавя една и съща величина, за да се получи следващото. В 2, 5, 8, 11 тази величина е 3.

Как може да се намери n-тият член, без да се изписват всички предходни членове?

Формулата aₙ = a₁ + (n − 1) × d дава всеки член директно. При прогресия, започваща от 3 с разлика 7, 50-ият член е 3 + (49 × 7) = 346.

Каква е разликата между аритметична и геометрична прогресия?

При аритметична прогресия всеки път се добавя една и съща стойност, например 2, 5, 8, 11. При геометрична прогресия всеки път се умножава по една и съща стойност, например 2, 6, 18, 54.

Може ли в аритметична прогресия да се използват отрицателни числа?

Да. Първият член, разликата на прогресията или и двете могат да бъдат отрицателни. Прогресията -10, -6, -2, 2, 6 има разлика 4. Обратно броене като 100, 90, 80, 70 има разлика -10.

Как се намира разликата на прогресията по списък от числа?

Извадете произволен член от следващия го: d = a₂ − a₁. При 7, 12, 17, 22 това е 12 − 7 = 5, а 17 − 12 също е равно на 5, което потвърждава, че прогресията е аритметична.

Какъв е максималният брой членове, който този калкулатор може да генерира?

До 10 000 члена. Ограничението съществува, защото визуализирането на много по-дълъг списък може да забави уеб браузъра.