Калкулатор за биномно разпределение

Какво представлява калкулаторът за биномиално разпределение?

Калкулаторът за биномиално разпределение намира вероятността за получаване на точно определен брой успехи при фиксиран брой независими опити, когато всеки опит има еднаква вероятност за успех. Използва се в статистиката, контрола на качеството, медицината и всяка област, която изследва повтарящи се събития с отговор „да“ или „не“.

Основната идея е биномиалното разпределение — вероятностен модел за броене на успехите при повтарящи се опити, всеки от които има само два изхода, обикновено наричани успех и неуспех.

Формула на биномиалното разпределение

Вероятността да се получат точно k успеха при n опита е:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Всеки символ означава:

n — броят на опитите.
k — броят на успехите, за които се изчислява вероятността.
p — вероятността за успех при един опит, число между 0 и 1.
$\binom{n}{k}$ — биномен коефициент, броят на различните начини за избор на k успеха от n опита. Той е равен на $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Всеки опит трябва да е независим, което означава, че изходът от един опит не променя вероятността за изхода от друг, а вероятността за успех p трябва да остане една и съща при всички опити. Един опит с два възможни изхода, например едно хвърляне на монета, се нарича изпитание на Бернули. Биномното разпределение се получава чрез сумиране на n изпитания на Бернули.

Как се изчислява биномиалната вероятност

Запишете n, k и p.
Изчислете биномен коефициент $\binom{n}{k}$ — броя на начините за подреждане на k успеха сред n опита.
Повдигнете p на степен k.
Повдигнете (1 − p) на степен (n − k).
Умножете трите числа.

Калкулаторът на тази страница изпълнява тези стъпки автоматично. Въведете n, p и k, за да получите P(X = k), както и стълбовидна диаграма, показваща вероятността за всеки възможен изход от 0 до n успеха.

Пример с решение

Пример 1: хвърляния на монета

Хвърлете честна монета 10 пъти. Каква е вероятността да се паднат точно 3 ези?

n = 10, p = 0,5, k = 3
$\binom{10}{3} = 120$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{7} = 0.0078125$
Резултат: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, или приблизително 11,72%

Пример 2: контрол на качеството

Фабрика проверява 100 изделия. За всяко изделие вероятността да е дефектно е 2%. Каква е вероятността нито едно от 100 изделия да не е дефектно?

n = 100, p = 0,02, k = 0
Тъй като k = 0, формулата се свежда до $(1-p)^n = 0.98^{100}$
Резултат: ≈ 0,1326, или приблизително 13,26%

Пример 3: изследване за заболяване

В един град се изследват 1 000 души за заболяване, което засяга 0,1% от населението (p = 0,001). Каква е вероятността точно 5 от 1 000 души да са заразени?

n = 1000, p = 0,001, k = 5
$\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
$0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
$0.999^{995} \approx 0.3695$
Резултат: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, или приблизително 0,30% (точна стойност 0,0030488, т.е. 0,30488%)

Средна стойност и дисперсия

За биномиално разпределение с параметри n и p:

Средна стойност (математическо очакване): E(X) = np
Дисперсия: Var(X) = np(1 − p)
Стандартно отклонение: σ = √[np(1 − p)]

Средната стойност показва средния очакван брой успехи при много повторения. В Пример 1 средната стойност е 10 × 0,5 = 5 пъти ези.

Какви данни приема калкулаторът

n трябва да е цяло число 1 или по-голямо. Десетичният запис се закръгля до най-близкото цяло число на опитите, така че 10,9 се приема за 11.
p трябва да е между 0 и 1, включително крайните стойности.
k трябва да е цяло число 0 или по-голямо и не може да е по-голямо от n. Получаването на 8 успеха при 5 опита е невъзможно, затова калкулаторът показва грешка вместо число.

Ако някое поле остане празно, калкулаторът не показва нито резултат, нито диаграма, вместо да предполага стойност.

Кога се прилага биномиалното разпределение

Биномиалното разпределение е подходящо само когато са изпълнени и четирите условия:

Броят на опитите n е фиксиран предварително.
Всеки опит има само два изхода: успех или неуспех.
Вероятността за успех p е една и съща при всеки опит.
Опитите са независими един от друг.

Изтеглянето на карти от тесте без връщане нарушава условието за независимост, защото изваждането на карта променя вероятностите при следващото теглене. В този случай вместо него се използва хипергеометричното разпределение.

Свързани разпределения

Разпределение на Поасон: използва се за приближение на биномиалното разпределение, когато n е голямо, а p е малко, така че средният брой успехи (np) остава умерен. То често се използва за моделиране на редки събития, като случая на заболяване в Пример 3.
Нормално разпределение: при голямо n и когато p не е твърде близко до 0 или 1 биномиалното разпределение има приблизително камбановидна форма и може да се апроксимира с нормално разпределение със средна стойност np и дисперсия np(1 − p).
Хипергеометрично разпределение: използва се вместо биномиалното разпределение, когато извадката се взема без връщане от крайна генерална съвкупност.

Често задавани въпроси

Какво прави калкулаторът за биномиално разпределение?

Той изчислява вероятността за точно k успеха при n независими опита, всеки от които има вероятност за успех p, като използва формулата P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Каква е разликата между биномиалното и нормалното разпределение?

Биномиалното разпределение е дискретно, което означава, че дава само целочислен брой успехи. Нормалното разпределение е непрекъснато. При голямо n биномиалното разпределение може да се апроксимира с нормална крива със средна стойност np и дисперсия np(1 − p).

Може ли p да бъде 0 или 1?

Да. Ако p = 0, нито един опит не може да завърши с успех, така че P(X = 0) = 1. Ако p = 1, всеки опит завършва с успех, така че P(X = n) = 1. В тези случаи всички други стойности на k имат вероятност 0.

Каква е връзката между биномиалното и разпределението на Бернули?

Разпределението на Бернули описва един опит с два изхода (n = 1). Биномиалното разпределение е сумата на n независими изпитания на Бернули, така че разпределението на Бернули е просто биномиално разпределение с n = 1.

Колко голямо може да бъде n, преди калкулаторът да стане неточен?

Калкулаторът работи със стандартна аритметика с двойна точност. Той умножава директно трите части на формулата и преминава към логаритми, когато биномният коефициент надхвърли най-голямото число, което може да се съхрани като число с двойна точност; това се случва близо до n = 1 000, когато k е близо до n/2. Резултатите остават коректни и над тази граница. Вероятност, по-малка от приблизително 1e-308, се отчита като 0, защото никое число с двойна точност не може да я съхрани.

Как се изчислява биномиалният коефициент?

Биномният коефициент C(n, k) брои броя на начините за избор на k елемента от n елемента независимо от реда. Той е равен на n! / (k! × (n − k)!). Калкулаторът го изгражда стъпка по стъпка, като умножава по един множител и дели на следващия, така че не е необходимо да съхранява цял факториел. При много голямо n вместо това сумира логаритмите на тези множители.

Източници

"Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
Johnson, Norman L. и др. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.

Калкулатор за биномно разпределение - Безплатен инструмент за вероятности

Визуализация на биномно разпределение

Документация