Калкулатор за взаимно прости числа

Взаимнопрости числа са две или повече цели числа, чийто единствен общ положителен делител е 1. Този калкулатор проверява дали въведените числа са взаимнопрости, като намира най-големия им общ делител (НОД). Ако НОД е 1, числата са взаимнопрости.

Взаимнопростите числа се наричат също относително прости или взаимно прости числа.

Какво означава „взаимнопрости“?

Две цели числа са взаимнопрости, когато няма цяло число, по-голямо от 1, което да дели и двете. Самите числа не е необходимо да са прости. Например 8 и 15 са взаимнопрости: делителите на 8 са 1, 2, 4 и 8, а делителите на 15 са 1, 3, 5 и 15. Единственият общ делител е 1, затова те са взаимнопрости.

За разлика от тях 12 и 18 не са взаимнопрости. И двете числа се делят на 2, 3 и 6, затова най-големият им общ делител е 6.

Как се проверява дали числата са взаимнопрости

1. Намерете най-големия общ делител (НОД) на всички числа. НОД е най-голямото цяло число, което дели всяко число без остатък.
2. Сравнете НОД с 1. Ако НОД е равен на 1, числата са взаимнопрости. Ако НОД е по-голям от 1, те не са взаимнопрости.

НОД на група числа се намира, като алгоритъмът на Евклид се прилага към две числа наведнъж: НОД на три числа a, b и c е НОД(НОД(a, b), c).

Формула за взаимнопрости числа

Числата a₁, a₂, …, aₙ са взаимнопрости, когато:

НОД(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Решен пример

Проверете дали 6, 10 и 15 са взаимнопрости.

• НОД(6, 10) = 2
• НОД(2, 15) = 1

Най-големият общ делител на трите числа е 1, затова 6, 10 и 15 са взаимнопрости като множество.

Имайте предвид, че тези три числа не са взаимнопрости по двойки. 6 и 10 имат общ делител 2, 6 и 15 имат общ делител 3, а 10 и 15 имат общ делител 5. Взаимната простота на множеството (НОД на всички числа заедно е 1) е по-слабо условие от взаимната простота по двойки (НОД на всяка двойка е 1). Този калкулатор показва и двете.

Взаимнопрости по двойки и взаимнопрости като множество

Група числа е взаимнопроста като множество, когато НОД на цялата група е 1. Тя е взаимнопроста по двойки, когато всяка възможна двойка в групата има НОД 1. Числата, взаимнопрости по двойки, винаги са взаимнопрости като множество, но обратното не винаги е вярно, както показва горният пример.

Често задавани въпроси

Взаимнопрости ли са 1 и всяко друго число?

Да. Числото 1 няма общ делител, по-голям от 1, с никое цяло число, затова 1 е взаимнопросто с всяко цяло число, включително със себе си.

Трябва ли взаимнопростите числа да са прости?

Не. Взаимнопростите числа могат да бъдат съставни. 8 и 15 са съставни, но въпреки това са взаимнопрости, защото нямат общ делител освен 1.

Винаги ли са взаимнопрости две различни прости числа?

Да. Две различни прости числа нямат общ делител освен 1, затова всеки две различни прости числа са взаимнопрости.

Могат ли отрицателните числа да бъдат взаимнопрости?

Взаимната простота обикновено се определя за положителни цели числа. Този калкулатор приема положителни цели числа, равни на 1 или по-големи.

Каква е разликата между НОД и взаимната простота?

НОД е най-голямото число, което дели всички въведени числа. „Взаимнопрости“ е конкретният случай, когато този НОД е равен на 1.