Калкулатор за взаимно прости числа

Взаимно простите числа са две или повече цели числа, чийто единствен общ положителен делител е 1. Този калкулатор проверява дали въведените от вас числа са взаимно прости, като намира най-големия им общ делител (НОД). Ако НОД е 1, числата са взаимно прости.

Взаимно простите числа се наричат още относително прости или помежду си прости числа.

Какво означава взаимно прости?

Две цели числа са взаимно прости, когато нито едно цяло число, по-голямо от 1, не дели и двете. Самите числа не е задължително да са прости. Например 8 и 15 са взаимно прости: делителите на 8 са 1, 2, 4 и 8, докато делителите на 15 са 1, 3, 5 и 15. Единственият общ делител е 1, така че числата са взаимно прости.

За разлика от тях, 12 и 18 не са взаимно прости. И двете могат да се делят на 2, 3 и 6, така че най-големият им общ делител е 6.

Как да проверите дали числа са взаимно прости

1. Намерете най-големия общ делител (НОД) на всички числа. НОД е най-голямото цяло число, което дели всяко число без остатък.
2. Сравнете НОД с 1. Ако НОД е равен на 1, числата са взаимно прости. Ако НОД е по-голям от 1, те не са.

НОД на група числа се намира, като се прилага алгоритъмът на Евклид върху две числа наведнъж: НОД на три числа a, b и c е НОД(НОД(a, b), c).

Формула за взаимна простота

Числата a₁, a₂, …, aₙ са взаимно прости, когато:

НОД(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Пример

Проверете дали 6, 10 и 15 са взаимно прости.

• НОД(6, 10) = 2
• НОД(2, 15) = 1

Най-големият общ делител на всичките три числа е 1, така че 6, 10 и 15 са взаимно прости като множество.

Трябва да се отбележи, че тези три числа не са двойно взаимно прости. 6 и 10 имат общ делител 2, 6 и 15 имат общ делител 3, а 10 и 15 имат общ делител 5. Взаимната простота като множество (НОД на всички числа заедно е 1) е по-слабо условие от двойната взаимна простота (всяка двойка има НОД 1). Този калкулатор показва и двете.

Двойна взаимна простота срещу взаимна простота като множество

Група числа е взаимно проста като множество, когато НОД на цялата група е 1. Тя е двойно взаимно проста, когато всяка възможна двойка в групата има НОД 1. Двойно взаимно простите числа винаги са взаимно прости като множество, но обратното не винаги важи, както показва примерът по-горе.

Често задавани въпроси

1 взаимно просто ли е с всяко число?

Да. Числото 1 няма общ делител, по-голям от 1, с никое цяло число, така че 1 е взаимно просто с всяко цяло число, включително със себе си.

Трябва ли взаимно простите числа да са прости?

Не. Взаимно простите числа могат да са съставни. 8 и 15 са и двете съставни числа, но въпреки това са взаимно прости, защото нямат общ делител освен 1.

Две различни прости числа винаги ли са взаимно прости?

Да. Две различни прости числа нямат общ делител освен 1, така че всеки две различни прости числа са взаимно прости.

Могат ли отрицателни числа да са взаимно прости?

Взаимната простота обикновено се дефинира за положителни цели числа. Този калкулатор приема положителни цели числа от 1 нагоре.

Каква е разликата между НОД и взаимна простота?

НОД е най-голямото число, което дели всички въведени стойности. „Взаимно прости" е конкретният случай, когато този НОД е равен на 1.