Калкулатор за активационна енергия (Уравнение на Арениус)

Какво прави този калкулатор

Реакциите се ускоряват, когато ги загрявате. Този инструмент превръща това всекидневно наблюдение в число: измерете колко бързо протича реакция при две температури и той ви казва активационната енергия (Ea) на реакцията — размера на енергийния "хълм", който молекулите трябва да преодолеят, за да реагират.

Имате нужда от четири стойности: две константи на скорост (k₁, k₂) и двете температури, при които са измерени (T₁, T₂). Въведете температури в Келвин, Целзий или Фаренхайт — калкулаторът ги преобразува за вас. Резултатът е в kJ/mol, стандартната единица в химията.

Активационна енергия в прости думи

Представете си топка, разположена в долина. За да я преместите в следващата долина, първо трябва да я тласнете нагоре през един билог. Активационната енергия е височината на този билог. Дори реакциите, които отделят енергия в целост, все още имат нужда от този първоначален тласък, за да разкъсат началните връзки.

Загряването на реакция не понижава билога — то дава повече молекули достатъчно енергия, за да го преодолеят, така че повече от тях реагират всяка секунда. Това е причината, поради която повишението от 10 °C може забележимо да ускори процеса.

Формулата

Уравнението на Арениус свързва константа на скорост k с температурата:

$k = A \cdot e^{-E_a/RT}$

където A е предекспоненциалният фактор, R = 8.314 J/(mol·K) е газовата константа, и T е абсолютната температура в Келвин.

Измерете k при две температури и неизвестното A се анулира, когато вземете съотношението:

$\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \quad\Longrightarrow\quad E_a = \frac{R\,\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{1}{T_2}}$

Това е точно това, което калкулаторът оценява (след което дели на 1000, за да докладва kJ/mol). Геометрично, това е наклонът на права линия на Арениусов график на ln k спрямо 1/T: наклонът е равен на −Ea/R. Инструментът чертае този график от вашите две точки.

Работен пример

С k₁ = 0.0025 s⁻¹ при 300 K и k₂ = 0.035 s⁻¹ при 350 K:

$E_a = \frac{8.314 \cdot \ln(0.035/0.0025)}{\tfrac{1}{300} - \tfrac{1}{350}} = \frac{8.314 \cdot 2.639}{4.76\times10^{-4}} \approx 46\,100 \text{ J/mol} = 46.1 \text{ kJ/mol}$

Получаване на надежден отговор

• Използвайте Келвин вътрешно. Целзий или Фаренхайт са добре да въведете — инструментът преобразува — но математиката работи само с абсолютна температура. Забравянето на това е най-честата грешка.
• Разделете вашите температури. Разлика от 20–50 °C дава стабилни резултати. Точки, които са твърде близо (съотношение k₂/k₁ близо до 1), разнасят грешката, защото вземате логаритъм на число близо до 1.
• Поддържайте единиците последователни. Защото използвате съотношението k₂/k₁, единиците на k се анулират — s⁻¹, M⁻¹s⁻¹, всичко — докато и двете константи използват същата единица и идват от същия кинетичен анализ.

Четене на резултата

Катализаторите и ензимите работят, като предлагат път с по-нисък барен. Например каталаза намалява барена за разлагане на водородния пероксид от ~75 kJ/mol до около 8 kJ/mol. Активационната енергия е свойство на пътя, не на температурата — загряването променя колко молекули преодолеят барена, не височината на барена.

Отвъд метода на две точки

Формулата на две точки предполага перфектно поведение на Арениус между вашите точки. Когато това не е линейно:

• Кривина, не-Арениус се появява при денатуриране на ензими, квантово тунелиране при ниска температура или реакции, ограничени от дифузия. Крива графика ln k спрямо 1/T е показателят — тогава стойността на две точки е ефективна средна стойност, не фиксирана преграда.
• Отрицателна Ea е невъзможна за елементарна стъпка. Ако изчислите такава, механизмът има няколко стъпки с чувствителна към температура пред-равновесие.
• За строгост, теорията на преходното състояние използва уравнението на Айринг $k = \frac{k_B T}{h}\,e^{-\Delta G^{\ddagger}/RT}$, разделяйки барена на принос от енталпия и ентропия. За най-добра експериментална точност, измерете k при 4–5 температури и напасвайте наклона на графиката на Арениус чрез линейна регресия, вместо да използвате само две точки.

Реализации на код

Ядрото е един ред аритметика. Подредени Excel → Python → JavaScript → Java → C# → C++ → Go → Rust → PHP → Ruby → R.

1' Cells: A1=k1, A2=T1(K), A3=k2, A4=T2(K); result in kJ/mol
2=8.314*LN(A3/A1)/((1/A2)-(1/A4))/1000
3

1import math
2
3def activation_energy(k1, T1, k2, T2):
4    """Ea in kJ/mol from two rate constants at Kelvin temperatures T1, T2."""
5    return 8.314 * math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000
6
7print(f"{activation_energy(0.0025, 300, 0.035, 350):.2f} kJ/mol")
8

1function activationEnergy(k1, T1, k2, T2) {
2  // Ea in kJ/mol; T1, T2 in Kelvin
3  return (8.314 * Math.log(k2 / k1)) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000;
4}
5
6console.log(activationEnergy(0.0025, 300, 0.035, 350).toFixed(2), "kJ/mol");
7

1public class ActivationEnergy {
2    static double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
3        return 8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
4    }
5
6    public static void main(String[] args) {
7        System.out.printf("%.2f kJ/mol%n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
8    }
9}
10

1using System;
2
3class ActivationEnergy {
4    static double Ea(double k1, double T1, double k2, double T2) =>
5        8.314 * Math.Log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6
7    static void Main() =>
8        Console.WriteLine($"{Ea(0.0025, 300, 0.035, 350):F2} kJ/mol");
9}
10

1#include <cmath>
2#include <cstdio>
3
4double ea(double k1, double T1, double k2, double T2) {
5    return 8.314 * std::log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000; // kJ/mol
6}
7
8int main() {
9    std::printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
10}
11

1package main
2
3import (
4	"fmt"
5	"math"
6)
7
8func ea(k1, T1, k2, T2 float64) float64 {
9	return 8.314 * math.Log(k2/k1) / (1/T1 - 1/T2) / 1000 // kJ/mol
10}
11
12func main() {
13	fmt.Printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
14}
15

1fn ea(k1: f64, t1: f64, k2: f64, t2: f64) -> f64 {
2    8.314 * (k2 / k1).ln() / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000.0 // kJ/mol
3}
4
5fn main() {
6    println!("{:.2} kJ/mol", ea(0.0025, 300.0, 0.035, 350.0));
7}
8

1<?php
2function ea($k1, $T1, $k2, $T2) {
3    return 8.314 * log($k2 / $k1) / (1 / $T1 - 1 / $T2) / 1000; // kJ/mol
4}
5
6printf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350));
7

1def ea(k1, t1, k2, t2)
2  8.314 * Math.log(k2 / k1) / (1.0 / t1 - 1.0 / t2) / 1000 # kJ/mol
3end
4
5puts format("%.2f kJ/mol", ea(0.0025, 300, 0.035, 350))
6

1ea <- function(k1, T1, k2, T2) {
2  8.314 * log(k2 / k1) / (1 / T1 - 1 / T2) / 1000  # kJ/mol
3}
4
5cat(sprintf("%.2f kJ/mol\n", ea(0.0025, 300, 0.035, 350)))
6

ЧЗВ

Температурата променя ли активационната енергия? Не. Ea е фиксирана за даден път. Повишаването на температурата увеличава дела на молекулите, които преодолеят барена, което е причината скоростта да се повишава.

Как се различава Ea от ΔH? Ea е височината на хълма, който трябва да преодолеете, за да реагирате; ΔH е нетната промяна на височина от реактанти до продукти. Реакция може да има висок барен (голяма Ea), но да завърши по-нисък, отколкото е започнала (отрицателен ΔH, екзотермна).

Защо имам нужда от две температури? Едно измерение дава едно уравнение с две неизвестни (Ea и A). Второ измерение позволява на A да се анулира, така че можете да решите директно за Ea.

Колко точна е методът на две точки? Обикновено в рамките на 5–10% в умерен температурен диапазон, ако приемаме линейно поведение на Арениус. За повече точност, напасвайте ln k спрямо 1/T в 4–5 температури.

Препратки

1. Laidler, K. J. (1984). "The development of the Arrhenius equation." J. Chem. Educ. 61(6), 494. https://doi.org/10.1021/ed061p494
2. Eyring, H. (1935). "The Activated Complex in Chemical Reactions." J. Chem. Phys. 3(2), 107. https://doi.org/10.1063/1.1749604
3. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10th ed.). Oxford University Press.
4. IUPAC. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), "activation energy." https://goldbook.iupac.org/terms/view/A00102
5. NIST. Fundamental Physical Constants — molar gas constant. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r