Калкулатор за решетъчна енергия | Безплатен инструмент за уравнение на Борн-Ландé

Какво представлява енергията на кристалната решетка?

Енергията на кристалната решетка е енергията, която се отделя, когато отделни йони в газова фаза се съберат, за да образуват един мол твърдо йонно съединение. Калкулаторът за енергия на кристалната решетка използва уравнението на Борн–Ланде, за да оцени тази стойност по зарядите на йоните, размерите на йоните и един регулируем параметър, наречен показател на Борн.

Процесът, който описва енергията на кристалната решетка, е:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Тук $M^{n+}$ е метален катион (положително зареден йон), а $X^{n-}$ е неметален анион (отрицателно зареден йон). Енергията на кристалната решетка винаги е отрицателна, защото енергията напуска системата, когато йоните се подреждат в кристал. Химиците наричат процес, при който се отделя енергия, „екзотермичен“.

Три неща определят големината на енергията на кристалната решетка:

1. Заряд на йоните. Йони с по-големи заряди се привличат по-силно.
2. Размер на йоните. По-малките йони могат да се доближат повече един до друг, което засилва привличането.
3. Кристална структура. Геометричният модел, който йоните образуват, променя броя на съседите на всеки йон; това се отчита с число, наречено константа на Маделунг.

Формула за енергията на кристалната решетка (уравнение на Борн–Ланде)

Уравнението на Борн–Ланде, публикувано от физиците Макс Борн и Алфред Ланде през 1918 г., е:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Където:

• $U$ = енергия на кристалната решетка в килоджаули на мол (kJ/mol)
• $N_0$ = числото на Авогадро, 6,022 × 10²³ на мол
• $A$ = константа на Маделунг (този калкулатор използва 1,7476 — стойността за структурата на каменната сол, която е обща за NaCl, MgO и много други прости соли)
• $z_1$, $z_2$ = зарядите на катиона и аниона
• $e$ = зарядът на един електрон, 1,602 × 10⁻¹⁹ кулона
• $\varepsilon_0$ = диелектричната проницаемост на вакуума, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = междуйонното разстояние, тоест разстоянието между центровете на двата йона
• $n$ = показателят на Борн — число, което отчита колко силно йоните се противопоставят на притискането един към друг (обикновено между 5 и 12 и винаги по-голямо от 1)

Първата част на уравнението изчислява привличането между два противоположни заряда. Членът $(1 - 1/n)$ изважда отблъскването, което се появява, когато електронните облаци на йоните започнат да се припокриват. Този член има смисъл само за $n$, по-голямо от 1. При $n = 1$ той е нула, а под 1 става отрицателен, затова калкулаторът отхвърля тези стойности.

Междуйонно разстояние

Разстоянието между центровете на йоните, $r_0$, е просто сумата от двата йонни радиуса:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Йонните радиуси обикновено се дават в пикометри (pm), като един пикометър е една трилионна част от метъра.

Как се изчислява енергията на кристалната решетка

1. Въведете заряда на катиона като положително цяло число (1 за Na⁺, 2 за Mg²⁺).
2. Въведете заряда на аниона като отрицателно цяло число (-1 за Cl⁻, -2 за O²⁻).
3. Въведете радиуса на катиона в пикометри.
4. Въведете радиуса на аниона в пикометри.
5. Въведете показател на Борн. Стойност 9 е подходяща за много съединения. Показателят трябва да е по-голям от 1.
6. В панела с резултатите вижте междуйонното разстояние и енергията на кристалната решетка.

Пример: решетъчна енергия на натриев хлорид (NaCl)

Натриевият хлорид, обикновената готварска сол, е полезен първи пример, защото неговите йони носят единични заряди.

• Заряд на катиона: +1 (Na⁺)
• Заряд на аниона: -1 (Cl⁻)
• Радиус на катиона: 102 pm
• Радиус на аниона: 181 pm
• Показател на Борн: 9

Стъпка 1: Намерете междуйонното разстояние.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Стъпка 2: Приложете уравнението на Борн–Ланде.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Това е близо до, но не е същото като стойността, която обикновено се посочва в учебниците — около -787 кДж/mol. Тя е получена от експериментални термодинамични данни, измерени чрез цикъла на Борн–Хабер, а не от това уравнение. Разликата съществува, защото уравнението на Борн–Ланде разглежда йоните като идеални твърди сфери и използва един показател на отблъскването за целия кристал, така че то е приближение, а не точно описание на действителността.

Пример: енергия на кристалната решетка на магнезиевия оксид (MgO)

Магнезиевият оксид има двукратно заредени йони, затова е подходящ за сравнение.

• Заряд на катиона: +2 (Mg²⁺), радиус 72 pm
• Заряд на аниона: -2 (O²⁻), радиус 140 pm
• Показател на Борн: 9
• Междуйонно разстояние: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Замествайки тези числа в същото уравнение, се получава енергия на кристалната решетка около -4071 кДж/mol — повече от пет пъти по-отрицателна от тази на NaCl. Експериментално измерената стойност е около -3795 кДж/mol. Удвояването на двата йонни заряда приблизително учетворява електростатичното привличане, тъй като уравнението умножава $z_1$ по $z_2$, а по-късото междуйонно разстояние в MgO засилва привличането допълнително.

Обичайни йонни радиуси и показатели на Борн

Избрани радиуси на катиони

Избрани радиуси на аниони

Типични показатели на Борн

Това са изходни стойности. Публикуваните източници понякога посочват малко различни числа.

Какво влияе върху енергията на кристалната решетка

Енергията на кристалната решетка е свързана с няколко свойства, които химиците могат да измерят пряко.

• Температура на топене. По-силното йонно привличане обикновено означава по-висока температура на топене. Йоните на магнезиевия оксид носят два пъти по-голям заряд от йоните на натриевия хлорид и са разположени по-близо един до друг, което придава на MgO много по-отрицателна енергия на кристалната решетка. Това е една от причините MgO да се топи при около 2852 °C, докато NaCl се топи при около 801 °C.
• Твърдост. Кристалите с по-висока енергия на кристалната решетка обикновено се противопоставят по-добре на надраскване и деформация.
• Разтворимост. Съединенията с много висока енергия на кристалната решетка често се разтварят по-трудно във вода, защото за разрушаването на кристала е необходима повече енергия, отколкото водните молекули могат да осигурят, обграждайки йоните.

Енергията на кристалната решетка е и един от членовете в цикъла на Борн–Хабер — метод за проследяване на енергийния баланс, с който химиците определят енергийните промени при образуването на йонно съединение от неговите елементи.

Ограничения на уравнението на Борн–Ланде и този калкулатор

Този калкулатор винаги използва константата на Маделунг за структурата на каменната сол (1,7476). Тази стойност е правилна за съединения, които кристализират по същия начин като NaCl и MgO, но не е правилна за съединения с други структури, като цезиев хлорид или калциев флуорид, които имат различни константи на Маделунг. Уравнението на Борн–Ланде също приема, че йоните са идеални сфери и пренебрегва ефекти като ковалентния характер на връзката, затова резултатите му са близки оценки, а не точни експериментални стойности.

Често задавани въпроси

Какво представлява енергията на кристалната решетка с прости думи? Това е енергията, която се отделя, когато заредени частици, наречени йони, се съберат и се подредят в твърд кристал. По-отрицателното число означава, че йоните са свързани по-здраво.

Защо енергията на кристалната решетка винаги е отрицателна? Защото при образуването на твърдото вещество се отделя енергия, вместо да се поглъща. В някои учебници „енталпия на кристалната решетка“ се дефинира вместо това като положителната енергия, необходима за разрушаването на кристала; и двете величини описват една и съща здравина на връзката, но с противоположни знаци.

Какъв показател на Борн трябва да използвам? Девет е обичайна стойност по подразбиране, която работи сравнително добре за много йонни съединения. За конкретно съединение справочник по химия или база данни по кристалография ще посочи по-точна стойност въз основа на електронните конфигурации на неговите йони.

Защо калкулаторът не съвпада точно със стойността в учебника ми? Стойностите в учебниците често са получени от експерименти (цикъл на Борн–Хабер), докато този калкулатор използва теоретичното уравнение на Борн–Ланде. Двата метода обикновено се разминават с няколко процента, но рядко съвпадат напълно.

По-големият йон винаги ли означава по-ниска енергия на кристалната решетка? Обикновено да. По-големите йони увеличават междуйонното разстояние $r_0$, което се намира в знаменателя на уравнението, така че енергията на кристалната решетка става по-малко отрицателна с увеличаването на йоните, при равни други условия.

Може ли този калкулатор да обработва всяко йонно съединение? Той работи най-добре за прости съединения, които имат кристална структура на каменната сол, като NaCl, MgO и CaO. Надеждността му е по-ниска при съединения с различни кристални структури или със значителен ковалентен характер на връзката.

Източници

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10-о издание). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., & Sharpe, A. G. (2018). Неорганична химия (5-о изд.). Pearson.
3. Born, M., & Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Преработени ефективни йонни радиуси и систематични изследвания на междуатомните разстояния в халогениди и халкогениди. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.