Калкулатор за индекси на Милер - Преобразуване на пресечни точки на кристални равнини в (hkl)

Какво представляват индексите на Милър?

Индексите на Милър са набор от три цели числа, записвани като (h,k,l), които идентифицират равнина в кристална решетка. Кристалната решетка е повтарящо се, подредено разположение на атоми в твърд материал. Индексите на Милър показват на учените точно кой разрез през тази решетка представлява дадена равнина, без да е необходимо нейната геометрия да се описва с думи. Те са въведени от британския минералог Уилям Халоуис Милър през 1839 г. и днес остават стандартният запис в кристалографията.

Този калкулатор преобразува пресечните отрези на равнина с кристалографските оси x, y и z в нейните индекси на Милър (h,k,l).

Формула за индексите на Милър

Индексите на Милър се получават от реципрочните стойности на пресечните отрези на равнината с осите. Ако равнината пресича осите x, y и z на разстояния a, b и c от началото на координатната система, индексите удовлетворяват:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Как се изчисляват индексите на Милър от отсечките

1. Определете къде равнината пресича всяка ос, измерено в единици от дължината на ръба на елементарната клетка. Наречете тези отсечки a, b и c.
2. Вземете реципрочната стойност на всяка отсечка: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Умножете и трите реципрочни стойности по едно и също число, така че всяка да стане цяло число.
4. Разделете трите цели числа на техния най-голям общ делител, така че да не могат да се съкратят повече.

Трите получени цели числа са h, k и l. Равнина, която никога не пресича дадена ос, се приема за пресичаща я в безкрайност, а 1, разделено на безкрайност, е 0, така че индексът на Милър за тази ос е 0.

Пример с решение

Равнината пресича оста x при 2, оста y при 3, а оста z при 6.

1. Отсечки: (2, 3, 6)
2. Реципрочни стойности: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Умножаване по най-малкото общо кратно на знаменателите, 6: (3, 2, 1)
4. Най-големият общ делител на 3, 2 и 1 е 1, така че числата не могат да се съкратят повече.

Индексите на Милър са (321).

Други примери

• Равнина през (1, ∞, 2) — успоредна на оста y — има реципрочни стойности (1, 0, 1/2). Умножаването по 2 дава (2, 0, 1). 0 показва, че равнината никога не пресича оста y.
• Равнина през (-1, 2, 3) има реципрочни стойности (-1, 1/2, 1/3). Умножаването по 6 дава (-6, 3, 2), което обикновено се записва като (6̄32) с черта над отрицателния индекс.
• Равнина през (1, ∞, ∞) има реципрочни стойности (1, 0, 0), което дава (100). Това е една от шестте стени на куба.

Специални случаи

Равнина, успоредна на дадена ос, никога не я пресича, затова тази отсечка се приема за безкрайна и индексът ѝ на Милър е 0. Равнина, която пресича ос в отрицателната посока спрямо началото на координатната система, получава отрицателен индекс, записван с черта над числото във формалния запис или със знак минус в обикновен текст. Равнина, преминаваща през самото начало на координатната система, няма определени индекси на Милър, защото всяко семейство от успоредни равнини в решетката трябва да бъде отместено спрямо началото, за да му се присвоят индекси; началото трябва да се измести, преди такава равнина да може да бъде описана. Дробните отсечки се обработват по същия начин като целочислените: взема се реципрочната стойност на всяка, след което дробите се премахват.

Индексите винаги се съкращават до възможно най-малките цели числа. (622) и (311) описват едно и също семейство равнини, но кристалографите винаги записват (311).

Как се използва този калкулатор

Въведете отсечките на равнината по осите x, y и z.

• Използвайте положително число за отсечка от положителната страна на началото на координатната система и отрицателно число за отрицателната страна.
• Въведете „infinity“, „inf“ или „∞“ за равнина, която е успоредна на дадена ос.
• Нулева отсечка не се приема, защото на равнина, преминаваща през началото на координатната система, не могат да бъдат присвоени индекси на Милър чрез този метод.

Калкулаторът изчислява индексите незабавно и показва диаграма на равнината вътре в елементарната клетка.

Приложения на индексите на Милър

Рентгенова дифракция. Всяко петно или всеки пик в рентгенова дифракционна картина съответства на набор от равнини на решетката с определено (hkl). Законът на Браг свързва разстоянието между тези равнини с дифракционния ъгъл:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Тук d_hkl е разстоянието между равнините (h,k,l), λ е дължината на вълната на рентгеновото лъчение, а θ е дифракционният ъгъл. Съпоставянето на наблюдаваните пикове със стойности (hkl), процес, наречен индексиране, е основна стъпка при идентифицирането на неизвестна кристална структура.

Материалознание. Различните кристални равнини разкриват различни разположения на атомите, затова имат различни повърхностни енергии, различни скорости на химични реакции и различна роля при деформацията на металите. В лицевоцентрирани кубични метали като алуминия атомните равнини се приплъзват една спрямо друга най-лесно по равнини {111}. Силициевите пластини за компютърни чипове обикновено се изрязват по равнината (100) или (111), тъй като изборът влияе върху начина, по който протичат следващите производствени етапи.

Минералогия. Плоските повърхности, наблюдавани върху естествен кристал, и посоките, по които минералът се разцепва чисто (неговата цепителност), съответстват на определени равнини с ниски индекси. Халитът (готварската сол) се цепи по равнини {100}, а флуоритът се цепи по равнини {111}.

Индекси на Милър—Браве за хексагонални кристали

Хексагоналните кристали, като магнезий, цинк и титан, обикновено се описват със система с четири индекса (hkil), а не с три. Допълнителният индекс i не е независим; винаги е i = -(h+k). Тази форма улеснява виждането, че две равнини принадлежат към едно и също семейство от симетрично еквивалентни равнини, което не винаги е очевидно само от трииндексния запис на Милър в хексагонална решетка.

История

Индексите на Милър са въведени от Уилям Халоуис Милър в книгата му A Treatise on Crystallography от 1839 г. По-ранни системи за означаване на кристалните повърхности вече са съществували, но методът на Милър, използващ реципрочните стойности на отсечките, улеснява разглеждането на равнини, успоредни на ос, тъй като тяхната отсечка е безкрайна, а реципрочната ѝ стойност е просто 0. След като Макс фон Лауе открива рентгеновата дифракция от кристали през 1912 г., Уилям Хенри Браг и Уилям Лорънс Браг показват, че индексите на Милър точно описват равнините, отговорни за дифракционните пикове — работа, за която те поделят 1915 Нобелова награда по физика.

Често задавани въпроси

За какво се използват индексите на Милър? Те идентифицират определени равнини в кристална решетка. Използват се за индексиране на пикове при рентгенова и електронна дифракция, за описване на равнините на приплъзване в металите, за определяне на ориентацията на полупроводникови пластини и за означаване на повърхностите и цепителността на минералите.

Какво означава нула в индекс на Милър? Това означава, че равнината е успоредна на съответната ос и никога не я пресича. Например (201) е успоредна на оста y.

Какво означават отрицателните индекси на Милър? Те означават, че равнината пресича съответната ос от отрицателната страна на началото на координатната система. Отрицателният индекс се записва с черта над числото, например (2̄11), или със знак минус, например (-2,1,1).

Защо равнина, преминаваща през началото на координатната система, не може да има индекси на Милър? Индексите на Милър се получават от реципрочната стойност на отсечката. Равнина, преминаваща през началото на координатната система, пресича всяка ос при 0, а 1/0 е неопределено, така че методът не може да присвои индекси, освен ако равнината не бъде изместена.

Каква е разликата между индексите на Милър и Милър—Браве? Индексите на Милър (hkl) използват три числа и са приложими към всяка кристална система. Индексите на Милър—Браве (hkil) добавят четвърти, зависим индекс и се използват главно за хексагонални кристали, където улесняват разпознаването на симетрично еквивалентни равнини.

Как разстоянието между равнините се свързва с индексите на Милър? В кубичен кристал с дължина на ръба a разстоянието между съседни равнини (hkl) е d = a / √(h² + k² + l²). Равнините с по-високи индекси са разположени по-близо една до друга. При други кристални системи се използва подобна, но по-сложна формула, която отчита нееднаквите дължини на осите и ъглите, които не са 90°.

Източници

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4-то издание). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3-то издание). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.