КАЛКУЛАТОР ЗА ГАМА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Въведение

Гамата разпределение е непрекъсната вероятностна разпределение, което се използва широко в различни области на науката, инженерството и финансите. То се характеризира с два параметъра: параметър на форма (k или α) и параметър на мащаб (θ или β). Този калкулатор ви позволява да изчислите различни свойства на гамата разпределение на базата на тези входни параметри.

Формула

Функцията на плътността на вероятността (PDF) на гамата разпределение е дадена от:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Където:

• x > 0 е случайната променлива
• k > 0 е параметърът на форма
• θ > 0 е параметърът на мащаб
• Γ(k) е гамата функция

Функцията на кумулативната вероятност (CDF) е:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Където γ(k, x/θ) е долната непълна гама функция.

Ключовите свойства на гамата разпределение включват:

1. Средно: $E[X] = k\theta$
2. Дисперсия: $Var[X] = k\theta^2$
3. Скенност: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Куртоза: $3 + \frac{6}{k}$

Как да използвате този калкулатор

1. Въведете параметъра на форма (k или α)
2. Въведете параметъра на мащаб (θ или β)
3. Щракнете "Изчисли", за да изчислите различни свойства на гамата разпределение
4. Резултатите ще покажат средно, дисперсия, скенност, куртоза и друга релевантна информация
5. Ще бъде показана визуализация на функцията на плътността на вероятността

Изчисление

Калкулаторът използва формулите, споменати по-горе, за да изчисли различни свойства на гамата разпределение. Ето стъпка по стъпка обяснение:

1. Валидирайте входните параметри (и k, и θ трябва да бъдат положителни)
2. Изчислете средното: $k\theta$
3. Изчислете дисперсията: $k\theta^2$
4. Изчислете скенността: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Изчислете куртозата: $3 + \frac{6}{k}$
6. Изчислете модата: $(k-1)\theta$ за k ≥ 1, в противен случай 0
7. Генерирайте точки за кривата на PDF с помощта на горната формула
8. Начертайте кривата на PDF

Числени съображения

При реализиране на изчисленията на гамата разпределение, няколко числени съображения трябва да бъдат взети под внимание:

1. За много малки параметри на форма (k < 1), PDF може да се приближи до безкрайност, когато x приближава 0, което може да предизвика числена нестабилност.
2. За големи параметри на форма, гамата функция Γ(k) може да стане много голяма, потенциално причинявайки преливане. В такива случаи е препоръчително да се работи с логаритъма на гамата функция.
3. При изчисляване на CDF, често е по-числено стабилно да се използват специализирани алгоритми за непълната гама функция, вместо директна интеграция на PDF.
4. За екстремни стойности на параметрите, може да е необходимо да се използва разширена прецизна аритметика, за да се поддържа точност.

Приложения

Гамата разпределение има множество приложения в различни области:

1. Финанси: Моделиране на разпределения на доходи, суми на застрахователни искове и възвръщаемост на активи
2. Метеорология: Анализ на дъждопадни модели и други свързани с времето явления
3. Инженерство: Анализ на надеждност и моделиране на време до повреда
4. Физика: Описание на времето на чакане между радиоактивни разпадни събития
5. Биология: Моделиране на изобилието на видове и нива на експресия на гени
6. Операционни изследвания: Теория на опашките и управление на инвентара

Алтернативи

Докато гамата разпределение е универсално, има свързани разпределения, които могат да бъдат по-подходящи в определени ситуации:

1. Експоненциално разпределение: Специален случай на гамата разпределение, когато k = 1
2. Хи-квадрат разпределение: Специален случай на гамата разпределение с k = n/2 и θ = 2
3. Вейбулово разпределение: Често използвано като алтернатива в анализа на надеждността
4. Лог-нормално разпределение: Друго обичайно избрано разпределение за моделиране на наклонени, положителни данни

Оценка на параметрите

Когато работите с реални данни, често е необходимо да оцените параметрите на гамата разпределение. Обичайни методи включват:

1. Метод на моментите: Уравняване на моментите на пробата с теоретичните моменти
2. Оценка на максималната вероятност (MLE): Намиране на параметри, които максимизират вероятността за наблюдаване на данните
3. Байесова оценка: Включване на предварителни знания за параметрите

Тестове на хипотези

Гамата разпределение може да се използва в различни тестове на хипотези, включително:

1. Тестове за доброта на съвпадение, за да се определи дали данните следват гамата разпределение
2. Тестове за равенство на параметрите на мащаб между две гамови разпределения
3. Тестове за равенство на параметрите на форма между две гамови разпределения

История

Гамата разпределение има богата история в математиката и статистиката:

• 18-ти век: Леонард Ойлер въвежда гамата функция, която е тясно свързана с гамата разпределение
• 1836: Симон Дени Поасон използва специален случай на гамата разпределение в своята работа по теория на вероятностите
• 1920-те: Роналд Фишър популяризира използването на гамата разпределение в статистическия анализ
• Средата на 20-ти век: Гамата разпределение става широко използвано в анализа на надеждността и тестовете на живот
• Края на 20-ти век до настоящето: Напредъкът в изчислителната мощ е направил по-лесно работата с гамови разпределения в различни приложения

Примери

Ето някои примери на код за изчисляване на свойства на гамата разпределение:

1' Excel VBA Функция за PDF на гамата разпределение
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Използване:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Гама разпределение (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Плътност на вероятността')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Пример за използване:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Изчислете свойства
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Средно: {mean}")
29print(f"Дисперсия: {variance}")
30print(f"Скенност: {skewness}")
31print(f"Куртоза: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Средно: ${mean}`);
19    console.log(`Дисперсия: ${variance}`);
20    console.log(`Скенност: ${skewness}`);
21    console.log(`Куртоза: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Пример за използване:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Начертайте PDF (използвайки хипотетична библиотека за чертане)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Тези примери демонстрират как да се изчислят свойства на гамата разпределение и да се визуализира функцията на плътността на вероятността, използвайки различни програмни езици. Можете да адаптирате тези функции към вашите специфични нужди или да ги интегрирате в по-големи системи за статистически анализ.

Източници

1. "Гама разпределение." Уикипедия, Фондация Уикимедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Достъпно на 2 авг. 2024.
2. Джонсън, Н. Л., Котц, С., & Балакришнан, Н. (1994). Непрекъснати унивариантни разпределения, том 1 (Том 1). John Wiley & Sons.
3. Форбс, С., Еванс, М., Хейстингс, Н., & Пийкок, Б. (2011). Статистически разпределения. John Wiley & Sons.
4. Том, Х. С. (1958). Бележка за гамата разпределение. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Стейси, Е. У. (1962). Обобщение на гамата разпределение. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.