Калкулатор за гама разпределение - Статистически инструмент за анализ

Какво представлява калкулаторът за гама-разпределение?

Калкулаторът за гама-разпределение намира средната стойност, дисперсията, асиметрията, ексцеса и модата на гама-разпределение по два входни параметъра: параметър на формата и параметър на мащаба. Той също начертава кривата на функцията на плътността на вероятността на разпределението.

Какво представлява гама-разпределението?

Гама-разпределението е непрекъснато разпределение на вероятностите за положителни стойности. То се определя от два параметъра: параметър на формата, обикновено означаван с k, и параметър на мащаба, обикновено означаван с θ (тета). И двата трябва да са по-големи от нула. Гама-разпределението се използва за моделиране на величини, които не могат да бъдат отрицателни, като общи количества валежи, размери на застрахователни искове и времето до отказ на машинна част.

Формула на гама-разпределението

Функцията на плътността на вероятността (PDF) на гама-разпределението е:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Тук x е стойността, при която се измерва плътността, а Γ(k) е гама-функцията — обобщение на факториела за нецелочислени числа. Формулата е валидна само за x > 0; навсякъде другаде плътността е нула.

Как се изчисляват характеристиките на гама-разпределението

По параметъра на формата k и параметъра на мащаба θ калкулаторът намира:

• Средна стойност: k × θ
• Дисперсия: k × θ²
• Асиметрия: 2 / √k
• Ексцес: 3 + 6 / k
• Мода: (k − 1) × θ, когато k ≥ 1, а в противен случай 0

Асиметрията измерва доколко кривата е несиметрична. По-малка стойност на k води до по-дълга дясна опашка. Ексцесът измерва колко тежки са опашките в сравнение с нормалното разпределение, което има ексцес 3. Модата е стойността на x, при която кривата достига своя максимум. Когато k е под 1, плътността продължава да нараства, докато x се приближава към 0, така че няма вътрешен максимум и калкулаторът отчита мода 0.

Пример с решение

Нека параметърът на формата е k = 2, а параметърът на мащаба — θ = 3.

• Средна стойност = 2 × 3 = 6
• Дисперсия = 2 × 3² = 18
• Асиметрия = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Ексцес = 3 + 6 / 2 = 6
• Мода = (2 − 1) × 3 = 3

При модата, x = 3, плътността се изчислява като f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Калкулаторът начертава автоматично цялата крива, след като бъдат въведени и двата параметъра.

Как се използва калкулаторът за гама-разпределение

1. Въведете параметъра на формата (k), който трябва да е положително число.
2. Въведете параметъра на мащаба (θ), който трябва да е положително число.
3. Средната стойност, дисперсията, асиметрията, ексцесът и модата се появяват веднага щом и двете полета съдържат валидни числа. Няма отделен бутон за изчисляване; резултатите се актуализират при въвеждането на числата.
4. Графиката под резултатите показва функцията на плътността на вероятността. Тя се начертава от стойност малко над x = 0 до по-голямата от следните стойности: три пъти средната стойност или пет пъти параметъра на мащаба.

И двата параметъра трябва да са крайни числа, по-големи от 0, и нито един от тях не може да е по-голям от 1000. Стойности, по-малки от приблизително 2 × 10⁻¹⁶, също се отхвърлят, тъй като при такава големина обобщените числа вече не са смислени. Стойност извън допустимия диапазон поражда съобщение за грешка вместо резултати.

Къде се използва гама-разпределението

Гама-разпределението моделира много реални величини, които винаги са положителни и често са дясно асиметрични:

• Застраховане: размери на искове и суми на изплащания
• Метеорология: общи количества валежи за фиксиран период
• Инженерни науки: времето до отказ на компонент
• Теория на опашките: времена на изчакване, съставени от няколко експоненциални етапа
• Биология: нива на генна експресия и данни за броя на видовете

Свързани разпределения

Две добре познати разпределения са частни случаи на гама-разпределението:

• Експоненциално разпределение: гама-разпределение с k = 1
• Хи-квадрат разпределение: гама-разпределение с k = n/2 и θ = 2, където n е броят на степените на свобода

Разпределенията на Weibull и логнормалното разпределение са често използвани алтернативи за моделиране на положителни, асиметрични данни.

Често задавани въпроси

За какво се използва гама-разпределението? То моделира непрекъснати положителни величини, като времена на изчакване, количества валежи и застрахователни искове, особено когато данните са изместени към големи стойности.

Как се намира средната стойност на гама-разпределение? Параметърът на формата се умножава по параметъра на мащаба: средна стойност = k × θ. При k = 2 и θ = 3 средната стойност е 6.

Каква е разликата между параметрите на формата и на мащаба? Параметърът на формата (k) определя вида на кривата, включително нейната асиметрия. Параметърът на мащаба (θ) разтяга или свива кривата по оста x, без да променя основната ѝ форма.

Как е свързано гама-разпределението с експоненциалното разпределение? Експоненциалното разпределение е гама-разпределението с параметър на формата k = 1.

Може ли гама-разпределението да приема отрицателни стойности? Не. То е дефинирано само за x > 0. За данни, които могат да бъдат отрицателни, е необходимо друго разпределение, например нормалното разпределение.

Изчислява ли този калкулатор кумулативната функция на разпределение? Не. Той изчислява средната стойност, дисперсията, асиметрията, ексцеса и модата и начертава функцията на плътността на вероятността. Не извежда стойности на кумулативната вероятност.

Източници

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Фондация Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, том 1. John Wiley & Sons.