Калкулатор за честота по полутонове - Транспониране на тон с полутонове и центове

Какво представлява калкулаторът за честота на полутонове?

Калкулаторът за честота на полутонове преобразува музикални интервали в звукови честоти, измерени в херци (Hz), и обратно. Той работи в две посоки. Може да приеме начална честота и да я повиши или понижи с даден брой полутонове и центове, като изведе новата честота и най-близката музикална нота. Може също да приеме две честоти и да изведе интервала между тях в полутонове и центове.

Полутонът е най-малкият интервал в стандартната западна музика — разстоянието между един клавиш на пианото и непосредствено съседния, независимо дали е черен или бял. Една октава съдържа 12 полутона. Центът е още по-малка единица: една стотна от полутона, така че една октава съдържа 1200 цента. Центът позволява на музикантите да измерват разлики във височината, твърде малки, за да се чуват като отчетлива промяна на нотата, например леко разстрояване.

Как се изчислява честотата при стъпка от един полутон

Калкулаторът използва равномерно темпериране — стандартната настройка за съвременните пиана, китари и повечето западни инструменти. При равномерното темпериране октавата е разделена на 12 равни стъпки, така че всеки полутон е точно с еднаква големина.

За да се повиши начална честота $f_0$ с $n$ полутона и $c$ цента:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Положителното значение на $n$ повишава височината на тона, а отрицателното значение на $n$ я понижава. Полето за центове е фина корекция; 100 цента са равни на един полутон, така че въвеждането на 100 цента има същия ефект като добавянето на 1 към броя полутонове.

Съотношението при равномерното темпериране

Всяка стъпка от един полутон умножава честотата по:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Умножаването на дадена честота по 1,059463 я повишава с един полутон. Ако това се направи 12 пъти, честотата се удвоява, което представлява една октава:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

Най-близката нота

Наред с честотата калкулаторът посочва най-близката нота при равномерно темпериране, като използва A4 = 440 Hz за отправна стойност. Той преобразува честотата в MIDI номер на нота, закръгля го до най-близкото цяло число и след това извежда името на нотата и октавата:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

Имената на нотите използват научна нотация за височината, при която числото обозначава октавата: A4 е камертонното ла при 440 Hz, а C4 е средното до. Тъй като стойността се закръгля, честота между две ноти се отчита като нотата, до която е по-близо.

Как се изчисляват полутоновете между две честоти

Вторият режим използва същата зависимост в обратна посока. Броят полутонове $n$ между две честоти е:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Тук $f_1$ е началната честота в Hz, а $f_2$ е крайната честота. Тъй като един полутон е равен на 100 цента, формулата в центове умножава същото съотношение по 1200:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Положителният резултат означава, че втората честота е по-висока от първата. Отрицателният резултат означава, че е по-ниска.

Защо във формулата се използва логаритъм

Човешкият слух възприема височината според отношението на честотите, а не според абсолютната разлика в Hz. Удвояването на честотата винаги звучи като един и същ скок — една октава, независимо от началната честота.

• 110 Hz до 220 Hz е една октава (12 полутона)
• 220 Hz до 440 Hz е една октава (12 полутона)
• 440 Hz до 880 Hz е една октава (12 полутона)

Всяка двойка има различна разлика в Hz, но еднакво отношение, затова е необходим логаритъм, който да преобразува това отношение в постоянна линейна скала от полутонове.

Как се използва калкулаторът

Първо изберете режим на изчисление.

Честота според полутоновете. Въведете базовата честота в Hz, броя полутонове, с които да се извърши преместването (отрицателно число за понижаване), и незадължителна корекция в центове. Калкулаторът извежда новата честота в Hz и най-близката нота.

Интервал между честоти. Въведете две честоти в Hz. Калкулаторът извежда интервала от първата до втората в полутонове и центове.

Всяка въведена честота трябва да е по-голяма от нула. Нулева или отрицателна честота няма височина на тона, затова калкулаторът извежда грешка вместо резултат.

Решен пример

Повишаване на тон с полутонове

Средното до има честота приблизително 261,63 Hz. Повишаването му с 7 полутона:

• Честота = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Най-близка нота: G4.

Седем полутона образуват чиста квинта — един от най-често срещаните интервали в музиката, така че сол над средното до е очакваният резултат.

Добавяне на корекция в центове

Започвайки от камертонното ла при 440 Hz, с 0 полутона и корекция от 50 цента:

• Честота = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Петдесет цента са половин полутон, тоест четвърт тон. Той се намира по средата между A4 и A#4, така че отчитането на най-близката нота е само приближение за тон като този.

Измерване на интервала между две честоти

Въвеждане на същите две ноти във втория режим, първо 261,63 Hz, а второ 392,00 Hz:

• Полутони = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Центове = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Резултатът е с част от цента под точно 700, защото 261,63 Hz и 392,00 Hz са закръглени стойности.

Измерване на малка грешка във височината

Центовете са полезни за откриване на малки разминавания. Да предположим, че в помещение има нежелан резонанс при 147 Hz, а инженер работи по запис, изграден около нотата D, чиято стандартна основна честота е 146,83 Hz.

• Центове = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 цента.

Резонансът е приблизително с 2 цента по-висок от D — разлика, твърде малка, за да бъде чута от повечето слушатели като различна височина, но все пак измерима и важна при акустичната обработка на помещението.

Често срещани музикални интервали

Таблицата показва стандартните имена на интервалите при равномерно темпериране, техния размер в полутонове и центове, честотното съотношение и получената височина при начална нота A440 (440 Hz).

Тези стойности се отнасят само за равномерното темпериране. При други системи за настройка същите имена на интервалите съответстват на малко различни честоти.

Алтернативни системи за настройка

Равномерното темпериране е съвременният стандарт, но не е единственият начин за настройване на музика и не е напълно съгласувано с физиката на звука.

Чистата интонация изгражда интервалите от прости отношения на цели числа, например 3:2 за чиста квинта или 5:4 за голяма терца. Тези отношения звучат напълно гладко заедно, без чувими пулсации, но се различават от равномерното темпериране с до приблизително 16 цента в зависимост от интервала. Чистата голяма терца (5:4) е с около 14 цента по-ниска от темперираната голяма терца.

Питагорейската настройка изгражда скалата изцяло от натрупани чисти квинти (съотношение 3:2). Квинтите ѝ са чисти и без пулсации, но големите терци са с около 8 цента по-високи от темперираните големи терци. В сравнение с чистата 5:4 голяма терца при чистата интонация питагорейската терца е още по-висока — с близо 22 цента, разлика, известна като синтонична кома. Питагорейската настройка е била разпространена в средновековната музика и музиката от ранния Ренесанс.

Среднотоновото темпериране стеснява леко чистите квинти, така че големите терци да станат чисти. То се е използвало широко от Ренесанса до ранния барок и е подходящо за музика, която остава в малък набор от близки тоналности.

Микротоналните системи разделят октавата на повече от 12 стъпки; често се използват 19, 24, 31 или 53 стъпки. Те се срещат в експерименталната и в някои незападни музикални традиции.

Практически приложения

• Музикална продукция: транспониране на семпли, настройване на осцилатори на синтезатори и проверка дали наслоените звуци са съгласувани по височина.
• Аудиоинженерство: свързване на честотни ленти на еквалайзери или резонанси на помещения с музикални ноти, както в примера с резонанса на помещението по-горе.
• Изработване на инструменти: производителите на китари разполагат праговете с помощта на константата 17,817, изведена от $2^{1/12}$, така че всеки праг да повишава тона с един полутон. Производителите на органи и камбани използват същата математика за планиране на дължините на тръбите и настройване на камбаните.
• Изследвания и образование: изучаване на начина, по който хората възприемат височината на тона, анализиране на животински звуци или преподаване на логаритми и физика на звука.

Често задавани въпроси

Как се изчислява честотата на разстояние от определен брой полутонове?

Умножете началната честота по 2, повдигнато на степен, равна на броя полутонове, разделен на 12: f = f₀ × 2^(n/12). За да включите корекция в центове, добавете центовете, разделени на 100, към броя полутонове, преди да разделите на 12.

Как се изчисляват полутонове от две честоти?

Разделете втората честота на първата, намерете логаритъма с основа 2 на това отношение и го умножете по 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Умножете по 1200 вместо по 12, за да получите резултата в центове.

Каква е разликата между полутон и цент?

Полутонът е стандартният интервал между съседни ноти в западната музика, например между съседни клавиши на пиано. Центът е 1/100 от полутона, така че в една октава има 1200 цента. Центовете осигуряват по-фина скала за измерване на малки разлики във височината, които се намират между полутоновете.

Колко Hz е един полутон?

Няма фиксиран брой Hz за един полутон. Полутонът е отношение, приблизително 1,059463, а не фиксирана честотна разлика, така че размерът му в Hz зависи от началната височина. Един полутон над 440 Hz е 466,16 Hz, тоест повишение с 26,16 Hz. Един полутон над 220 Hz е 233,08 Hz, тоест повишение само с 13,08 Hz.

Каква честота е 12 полутона над 440 Hz?

880 Hz. Дванадесет полутона образуват една октава, а една октава винаги означава удвояване на честотата, независимо от началната честота.

Как са свързани MIDI номерата на нотите с полутоновете?

Всеки MIDI номер на нота е на един полутон от съседните номера. Средното до е MIDI нота 60, а A440 е MIDI нота 69. Честотата се получава от MIDI номера на нотата чрез f = 440 × 2^((m − 69)/12), което е формулата, която калкулаторът обръща, за да определи най-близката нота.

Защо някои интервали при равномерното темпериране звучат леко разстроено?

Равномерното темпериране разделя октавата на 12 еднакви стъпки, за да може музиката свободно да преминава между тоналностите, но този компромис отдалечава повечето интервали леко от чистите отношения на цели числа при чистата интонация. Например темперираната голяма терца е с около 14 цента по-висока от чистата 5:4 голяма терца. Обучените слушатели понякога могат да чуят това, макар че повечето хора не го забелязват при нормално слушане.

Каква точност трябва да има измерването на честотата при настройване?

За обичайни музикални цели обикновено е достатъчна точност до около 5 цента, близка до границата на различаването на височината от средностатистическия човек. При професионално настройване на инструменти обикновено се цели точност от около 2 цента, а някои обучени музиканти могат при добри условия да откриват разлики от едва 1 цент.