Прескочи към съдържанието
🛠️
Whiz Tools

Калкулатор на единичната окръжност: точни стойности

Въведете ъгъл в градуси или радиани, за да получите точката му върху единичната окръжност, синуса, косинуса, тангенса, референтния ъгъл и квадранта. Точни стойности за стандартни ъгли.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Калкулатор за зареждане...
📚

Документация

Калкулатор на единичната окръжност

Единичната окръжност е окръжност с радиус 1, начертана около началото на координатна система. Калкулаторът на единичната окръжност приема един ъгъл и показва къде този ъгъл пресича окръжността: точката (x, y), синуса, косинуса и тангенса, референтния ъгъл и квадранта. Тази страница приема ъгъл в градуси или радиани и дава точни стойности като √3/2 при шестнадесетте стандартни ъгъла.

Какво прави калкулаторът

Потребителят въвежда един ъгъл и избира градуси или радиани. Страницата показва:

  • точката (x, y), в която лъчът, образуващ ъгъла, пресича окръжността
  • cos θ, sin θ и tan θ
  • свързания ъгъл в градуси и радиани
  • квадранта или оста, когато ъгълът попада върху нея
  • ъгъла и в двете единици, както и същия ъгъл, сведен до едно завъртане

При шестнадесетте стандартни ъгъла отговорите се изписват като точни затворени форми, а под тях са показани десетичните стойности. Всеки друг ъгъл се показва с осем значими цифри. Закръглено е само показването.

Формула на единичната окръжност

Ъглите се измерват обратно на часовниковата стрелка от положителната x-ос. Лъч, начертан под ъгъл θ, пресича окръжността в една точка, а двете координати на тази точка са косинусът и синусът:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

където xx е хоризонталната координата, yy е вертикалната координата, а θ\theta е ъгълът.

Радиусът е 1, така че координатите и двете функционални стойности са една и съща двойка числа под две имена. Затова окръжността е начертана с радиус 1, а не с друг размер. Тангенсът се получава от същата двойка:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Всяка точка от окръжността също удовлетворява теоремата на Питагор, приложена към правоъгълния триъгълник със страни xx и yy и хипотенуза 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Градуси и радиани

Страницата приема която и да е от двете единици и показва и двете. Те са свързани чрез равенството, че половин завъртане е π радиана:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ където $\theta_{\mathrm{deg}}$ е ъгълът в градуси, а $\theta_{\mathrm{rad}}$ е същият ъгъл в радиани. ### Сведение до едно завъртане Ъгълът може да бъде отрицателен и може да надхвърли едно пълно завъртане. Точката върху окръжността се повтаря на всеки 360°, затова страницата първо свежда ъгъла до интервала от 0° до, но без да включва, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ където $\theta$ е въведеният ъгъл в градуси, а $\theta_0$ е същата посока, записана в рамките на едно завъртане. 750° се свежда до 30°, а −30° се свежда до 330°. Сведението се извършва в градуси, при което остатъкът е точен. ### Свързан ъгъл и квадрант Свързаният ъгъл е острият ъгъл между лъча и x-оста. Той никога не е по-голям от 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{в противен случай} \end{cases}$$ където $\theta_0$ е сведеният ъгъл в градуси. Големината на синуса, косинуса и тангенса зависи само от свързания ъгъл. Квадрантът определя знаците. | Квадрант | Сгънат ъгъл | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | от 0° до 90° | + | + | + | | II | от 90° до 180° | − | + | − | | III | от 180° до 270° | − | − | + | | IV | от 270° до 360° | + | − | − | Ъглите 0°, 90°, 180° и 270° лежат върху ос. Квадрантът е отворената област между две оси, така че нито един от тези четири ъгъла не се намира в квадрант и страницата посочва оста, вместо да избира съседен квадрант. ### Шестнадесетте стандартни ъгъла Пет свързани ъгъла имат точни затворени форми. | Свързан ъгъл | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | неопределен | Отразяването на тези редове в останалите три квадранта дава шестнадесет ъгъла: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 и 330 градуса. Страницата ги генерира чрез завъртане на точките от първия квадрант с последователни завъртания на четвърт оборот, вместо да преписва таблицата четири пъти, защото именно при преписването може да се появи грешен знак. 15°, 75° и 105° също имат затворени форми, но те са с два члена, например 2 − √3. Те са извън това семейство и се дават като десетични стойности. За 15° се получават cos 0,96592583, sin 0,25881905 и tan 0,26794919. ### Пример: 210 градуса 210° е по-голям от 180° и по-малък от 270°, затова попада в квадрант III. Като извадим 180, остава свързан ъгъл 30°. При свързан ъгъл 30° трите големини са √3/2, 1/2 и √3/3. Квадрант III прави и двете координати отрицателни, така че точката е (−√3/2, −1/2). Тангенсът е отрицателно число, разделено на отрицателно число, затова остава положителен и е равен на √3/3. В радиани ъгълът е 7π/6, а свързаният ъгъл е π/6. Като десетични стойности страницата показва cos −0,8660254, sin −0,5 и tan 0,57735027. 570° и −150° дават същите отговори, защото и двата се свеждат до 210°. ### Кои константи са точни | Константа | Стойност | Точна ли е? | Източник | |---|---|---|---| | Градуси в едно завъртане | 360 | точна по дефиниция | ISO 80000-3 | | Радиани в едно завъртане | 2π | точна по дефиниция | ISO 80000-3; брошура на SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | точно | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | няма стойност | точен, полюс | NIST DLMF §4,15 | π е ирационално число, затова няма точна десетична или двоична форма и всяка съхранена негова стойност е закръглена. Страницата не допуска това закръгляне в отговорите си по два начина. Сведението се извършва в градуси, където 360 се дели без остатък. А стандартните ъгли се вземат от таблицата със затворени форми по-горе, а не от синус с плаваща запетая. ### Въвеждане на ъгъл в радиани Въведената стойност в радиани вече е закръглена десетична стойност. π/2 се въвежда като 1,5707963267948966, а обратното преобразуване дава ъгъл, който се различава от 90 с около една десеттрилионна от градуса, вместо да е точно 90. Затова страницата приема всеки ъгъл, който е на по-малко от една милионна от градуса от стандартен ъгъл, за този стандартен ъгъл. Допускът избира коя таблица да се използва; той никога не разширява отговора. 30,001° не се превръща в 30°. Ъгли над един милиард градуса се отхвърлят. Това е ограничение на аритметиката, а не на геометрията: разликата между числата, които компютърът може да съхранява, нараства с размера им и след приблизително четири и половина милиарда градуса тази разлика е по-голяма от допуска от една милионна от градуса, така че свеждането вече не запазва достатъчно подробности, за да се определи ъгълът. Един милиард оставя запас под тази граница. ### Често задавани въпроси **За какво се използва единичната окръжност?** Тя превръща синуса и косинуса в координати. Отчитането на една точка от окръжността дава и двете стойности едновременно, а изображението илюстрира повтарянето им при всяко пълно завъртане и промяната на знаците им от един квадрант към друг. **Каква е точната стойност на sin 30°?** Една втора. cos 30° е √3/2, приблизително 0,8660254, а tan 30° е √3/3, приблизително 0,57735027. **Защо tan 90° е неопределен?** Тангенсът е синусът, разделен на косинуса, а cos 90° е 0. Делението на нула няма отговор. Страницата намира полюса, като посочва ъгъла, а не като проверява дали изчисленият тангенс е станал голям, защото стръмният тангенс непосредствено преди 90° е обикновено число. **Какво е свързан ъгъл?** Това е острият ъгъл между лъча и x-оста, затова винаги се намира между 0° и 90°. 150°, 210° и 330° имат свързан ъгъл 30°, поради което синусът и косинусът имат едни и същи три големини и се различават само по знак. **Работи ли отрицателен ъгъл?** Да. Отрицателният ъгъл се завърта по часовниковата стрелка. −30° сочи в същата посока като 330°, така че страницата връща точката (√3/2, −1/2) и квадрант IV. **Защо страницата показва ъгъла два пъти?** 750° и 30° пресичат окръжността в една и съща точка, но не представляват едно и също завъртане. Страницата показва въведения ъгъл, преобразуван в другата единица, и поставя до него сведения ъгъл.