Калкулатор за разпределение на Поасон - Изчисляване на вероятности за събития

Какво представлява калкулаторът за разпределението на Поасон?

Калкулаторът за разпределението на Поасон намира вероятността определен брой събития да се случат във фиксиран период от време или пространство, като се има предвид колко често средно се случват събитията. Той се използва, когато събитията се случват едно по едно, независимо едно от друго, с постоянна средна честота. Типични примери са броят на телефонните обаждания, които колцентърът получава за час, или броят на печатните грешки на една страница.

Формула за разпределението на Поасон

Разпределението на Поасон дава вероятността да се случат точно k събития, когато средната честота е λ (гръцката буква ламбда):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Всеки символ означава:

• λ (ламбда) — средният брой събития за интервал. Това е единственият параметър на разпределението.
• k — точният брой събития, чиято вероятност се изчислява. Той трябва да бъде цяло число, 0 или по-голямо.
• e — числото на Ойлер, фиксирана константа, равна приблизително на 2,71828.
• k! — „факториел на k“, произведението на всички цели числа от 1 до k. Например 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. По определение 0! = 1.

За формулата са нужни само λ и k. Не е необходим общ брой изпитвания, за разлика от биномиалното разпределение.

Как се изчислява вероятност по разпределението на Поасон

1. Изберете λ — средния брой събития в разглеждания интервал.
2. Изберете k — точния брой събития, за който трябва да се намери вероятността.
3. Повдигнете e на степен отрицателно λ: това дава e^(−λ).
4. Повдигнете λ на степен k: това дава λ^k.
5. Намерете k! — факториела на k.
6. Умножете резултатите от стъпки 3 и 4, след което разделете на резултата от стъпка 5.

Полученото число е вероятност между 0 и 1. Умножете го по 100, за да го изразите като процент.

Пример с решение

Един колцентър получава средно 5 обаждания на час (λ = 5). Каква е вероятността да получи точно 3 обаждания за даден час (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Умножение: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Деление на 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Вероятността за точно 3 обаждания през този час е приблизително 0,140, или 14%.

Още примери

Къде се използва разпределението на Поасон

Разпределението на Поасон моделира броя на редки, независими събития. Обичайните приложения включват:

• Колцентрове и обслужване на клиенти: прогнозиране на броя обаждания или чатове, които постъпват на час.
• Производство: оценяване на броя дефекти в партида продукти.
• Застраховане: оценяване на броя щети, които ще бъдат заявени за даден период.
• Биология и медицина: моделиране на броя мутации или разпространението на редки заболявания.
• Физика: описание на радиоактивния разпад, при който всеки атом се разпада независимо с постоянна средна честота.
• Трафик и мрежово инженерство: оценяване на пристигащите превозни средства на кръстовище или заявките към сървър.

Условия за използване на разпределението на Поасон

Разпределението на Поасон е подходящо за дадена ситуация само ако са изпълнени всички следни условия:

• Събитията се случват едно по едно; две събития не могат да се случат точно в един и същ момент.
• Събитията се случват независимо — едно събитие не прави следващото по- или по-малко вероятно.
• Средната честота λ остава постоянна в изследвания интервал.

Ако честотата се променя с времето или събитията са склонни да се групират, обикновеното разпределение на Поасон няма да опише добре данните.

Разпределението на Поасон и свързани разпределения

• Биномно разпределение: използва се, когато има фиксиран брой изпитвания и известна вероятност за успех при всяко от тях, например при хвърляне на монета 20 пъти. Разпределението на Поасон се получава от биномното разпределение, когато броят на изпитванията стане много голям, а вероятността за успех при едно изпитване се стреми към нула, докато произведението им остава приблизително равно на λ.
• Нормално разпределение: при голямо λ, приблизително над 20, разпределението на Поасон е близко до камбановидно нормално разпределение с математическо очакване λ и дисперсия λ.
• Експоненциално разпределение: докато разпределението на Поасон брои колко събития се случват във фиксиран интервал, експоненциалното разпределение описва времето на изчакване между тези събития.

Бележка за историята

Френският математик Симеон Дени Поасон въвежда разпределението през 1837 г. в книга за приложението на теорията на вероятностите към съдебни решения. Първоначално то привлича малко внимание. Употребата му нараства в началото на 20 век, след като статистици като Ладислав Борткевич и Роналд Фишър го прилагат към реални данни за броеве, включително в прочуто изследване на пруски войници, убити от ритници на коне.

Често задавани въпроси

Какво означава ламбда (λ) в разпределението на Поасон? Ламбда е средният брой събития, очаквани в изследвания интервал. Тя е и дисперсията на разпределението, така че по-голямо λ означава както по-голям среден брой, така и по-голямо разсейване на възможните резултати.

Могат ли k или λ да бъдат отрицателни или дробни? λ трябва да е по-голямо от 0, но може да бъде десетично число, например 2,5 събития на час. k трябва да бъде цяло число 0 или по-голямо, тъй като брои действителни събития; то не може да бъде отрицателно или дробно.

По какво разпределението на Поасон се различава от биномното разпределение? Биномното разпределение изисква фиксиран брой изпитвания и фиксирана вероятност за успех при всяко изпитване. За разпределението на Поасон е необходима само средна честота и то се прилага за събития, които по принцип могат да се случат произволен брой пъти.

Кога вместо него трябва да се използва нормалното разпределение? При голямо λ, обикновено над около 20, нормално разпределение със същите средна стойност и дисперсия апроксимира разпределението на Поасон достатъчно добре и често е по-лесно за изчисляване на ръка.

Защо калкулаторът понякога показва число в научен запис? Резултатите обикновено се показват с шест знака след десетичната запетая. Когато вероятността е по-малка от 0,0001, закръгляването до шест знака след десетичната запетая би я превърнало в 0,000000 и би скрило колко е малка в действителност, затова калкулаторът преминава към научен запис. Когато λ = 20 и k = 1, калкулаторът показва 4.122307e-8, което означава 0,00000004122307.

Има ли ограничения за стойностите, които калкулаторът приема? Да. λ трябва да е по-голямо от 0 и не по-голямо от 700, а k трябва да е цяло число между 0 и 1000. Извън тези граници калкулаторът показва грешка. Ограниченията запазват резултата в диапазона от числа, които компютърът може да съхранява, и поддържат графиката с четлив брой стълбове.

Допуска ли разпределението на Поасон повече от едно събитие едновременно? Не. Моделът приема, че събитията се случват едно по едно. Ако две събития редовно се случват едновременно, друго разпределение ще опише данните по-добре.

Източници

1. Поасон, Симеон Дени. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Париж, 1837.
2. Хайт, Франк А. Handbook of the Poisson Distribution. Ню Йорк: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, раздел 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Джонсън, Норман Л., Ейдриън У. Кемп и Самюъл Коц. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.