Z-тест калкулатор - Безплатен статистически инструмент за значимост

Какво представлява z-тестът?

Z-тестът е статистически тест, който проверява дали средната стойност на извадка се различава значимо от известната средна стойност на генералната съвкупност, когато стандартното отклонение на генералната съвкупност вече е известно. Той дава едно число — z-стойност, което показва на колко стандартни отклонения се намира средната стойност на извадката от средната стойност на генералната съвкупност. Изследователи, инспектори по качеството и анализатори го използват, за да преценят дали наблюдаваната разлика вероятно е реална, или е просто резултат от случайността.

Формула за Z-теста

Z-тестът изчислява z-стойност по следната формула:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ е средната стойност на извадката
$\mu$ е средната стойност на генералната съвкупност
$\sigma$ е стандартното отклонение на генералната съвкупност
$n$ е размерът на извадката

Долната част на формулата, $\sigma / \sqrt{n}$ , се нарича стандартна грешка. Тя измерва доколко се очаква средните стойности на извадките да варират само поради случайното извадково набиране.

Как се изчислява z-тест стъпка по стъпка

Намерете средната стойност на извадката ( $\bar{x}$ ) от събраните данни.
Определете известната средна стойност на генералната съвкупност ( $\mu$ ).
Определете известното стандартно отклонение на генералната съвкупност ( $\sigma$ ).
Пребройте елементите в извадката ( $n$ ).
Извадете $\mu$ от $\bar{x}$ .
Разделете $\sigma$ на квадратния корен от $n$ , за да получите стандартната грешка.
Разделете резултата от стъпка 5 на резултата от стъпка 6. Отговорът е z-стойността.

Решен пример

Фабрика твърди, че нейните болтове са със средна дължина 10 cm и стандартно отклонение на генералната съвкупност 0,2 cm. Инспектор измерва 100 болта и установява средна дължина на извадката 10,05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Стандартна грешка: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z-стойност: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z-стойността е 2,5. Средната стойност на извадката е на 2,5 стандартни грешки над средната стойност на генералната съвкупност.

Как се интерпретира z-стойност

Z-стойност, близка до 0, означава, че средната стойност на извадката е близка до средната стойност на генералната съвкупност. Голяма положителна или отрицателна z-стойност означава, че средната стойност на извадката е далеч от средната стойност на генералната съвкупност, което насочва към реална разлика, а не към случайност.

Обичайни критични стойности за двустранен тест:

α = 0,10 (90% доверителна вероятност): z = ±1,645
α = 0,05 (95% доверителна вероятност): z = ±1,96
α = 0,01 (99% доверителна вероятност): z = ±2,58

Ако изчислената z-стойност надхвърля критичната стойност за избраното ниво на значимост, резултатът се нарича статистически значим и нулевата хипотеза (че няма разлика) се отхвърля.

В примерното изчисление z = 2,5 надхвърля ±1,96, така че разликата е статистически значима на ниво 0,05. Двустранната p-стойност за z = 2,5 е приблизително 1,24%, което означава, че вероятността да се наблюдава толкова голяма разлика, ако действителната средна дължина на болтовете наистина е 10 cm, е приблизително 1 към 80.

Кога се използва z-тест

Z-тестът е подходящ, когато:

Стандартното отклонение на генералната съвкупност е известно.
Размерът на извадката е достатъчно голям, обикновено повече от 30.
Данните са получени чрез случайно извадково набиране.
Генералната съвкупност има нормално разпределение или извадката е достатъчно голяма, за да се приложи централната пределна теорема.

Ако стандартното отклонение на генералната съвкупност е неизвестно или извадката е малка, вместо това се използва t-тест. T-тестът оценява вариацията от самата извадка и отчита допълнителната несигурност, която това създава.

Z-тест и t-тест

И двата теста измерват колко далеч се намира средната стойност на извадката от очакваната стойност, изразено в единици стандартна грешка. Z-тестът приема, че стандартното отклонение на генералната съвкупност е известно. T-тестът оценява тази стойност от извадката и използва по-широко разпределение, зависещо от размера на извадката, за да отчете допълнителната несигурност. На практика t-тестът се използва много по-често, тъй като истинското стандартно отклонение на генералната съвкупност рядко е известно.

Практически приложения на z-теста

Контрол на качеството: проверка дали партида произведени детайли отговаря на целевата спецификация.
Медицински изследвания: сравняване на средния резултат на група, получила лечение, с известна стойност за генералната съвкупност.
Образование: сравняване на резултатите от тестове на даден клас с националната средна стойност.
Финанси: проверка дали доходността на фонд се различава от средната доходност на референтен показател.

История

Нормалното разпределение, на което се основава z-тестът, е описано от Ейбрахам дьо Моавър през 1733 г. като приближение на биномиалното разпределение. Карл Фридрих Гаус и Пиер-Симон Лаплас развиват теорията допълнително в началото на 1800-те години. Формалните методи за проверка на хипотези, включително използването на z-стойности и критични стойности за оценка на статистическата значимост, са разработени в началото на 20-и век от статистици, сред които Роналд Фишър, Йежи Нейман и Егон Пиърсън.

Какво показва този калкулатор

Калкулаторът изисква четири числа: средната стойност на извадката, средната стойност на генералната съвкупност, стандартното отклонение на генералната съвкупност и размера на извадката. Той показва z-стойността, закръглена до четири знака след десетичната запетая. Под резултата изчертава стандартната нормална крива и отбелязва z-стойността с вертикална линия, така че положението на резултата в разпределението да се вижда. Кривата е плътността на стандартното нормално разпределение, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

За входните данни се прилагат две ограничения. Размерът на извадката трябва да е по-голям от 0. Стандартното отклонение на генералната съвкупност трябва да е поне 0,0001; по-малкото разсейване тласка z-стойността към огромна стойност, която няма практичен смисъл. Калкулаторът не показва p-стойност, затова използвайте посочените по-горе критични стойности или таблица на стандартното нормално разпределение, за да прецените дали резултатът е значим.

Често задавани въпроси

Каква е разликата между z-тест и t-тест?

Z-тестът изисква известно стандартно отклонение на генералната съвкупност и работи най-добре при големи извадки. T-тестът се използва, когато стандартното отклонение на генералната съвкупност е неизвестно и трябва да бъде оценено от извадката; той работи както при малки, така и при големи извадки.

Какъв размер на извадката е необходим за z-тест?

Размер на извадката над 30 е обичайното практическо правило. Под тази стойност резултатите от z-теста стават ненадеждни и t-тестът обикновено е по-добрият избор.

Какво означава z-стойност 2,5?

Z-стойност 2,5 означава, че средната стойност на извадката е на 2,5 стандартни грешки над средната стойност на генералната съвкупност. Това надхвърля двустранната критична стойност ±1,96 при 95% доверителна вероятност, така че разликата е статистически значима на това ниво. Двустранната p-стойност за z = 2,5 е приблизително 1,24%.

Какво представлява p-стойността в z-тест?

P-стойността е вероятността да се получи резултат, поне толкова екстремен, колкото наблюдаваният, ако действително няма разлика спрямо средната стойност на генералната съвкупност. По-малка p-стойност е по-силно доказателство срещу нулевата хипотеза. P-стойност под 0,05 обикновено се приема за статистически значима.

Каква е нулевата хипотеза в z-тест?

Нулевата хипотеза гласи, че няма разлика между средната стойност на извадката и средната стойност на генералната съвкупност. Z-тестът измерва доколко извадката предоставя доказателства срещу това твърдение.

Може ли z-тест да се използва при малки извадки?

Не се препоръчва. При малка извадка или неизвестно стандартно отклонение на генералната съвкупност t-тестът дава по-точни резултати, защото отчита допълнителната несигурност при оценяването на вариацията от ограничен набор данни.