Calculadora d'Índexs de Miller - Convertir Interseccions de Plans Cristal·lins a (hkl)

Què són els índexs de Miller?

Els índexs de Miller són un conjunt de tres enters, escrits (h,k,l), que identifiquen un pla en una xarxa cristal·lina. Una xarxa cristal·lina és la disposició repetitiva i ordenada dels àtoms que es troben en un material sòlid. Els índexs de Miller indiquen als científics exactament quina secció d’aquesta xarxa representa un pla, sense necessitat de descriure’n la geometria amb paraules. Van ser introduïts pel mineralogista britànic William Hallowes Miller l’any 1839 i continuen sent la notació estàndard de la cristal·lografia actual.

Aquesta calculadora converteix els interceptes d’un pla amb els eixos cristal·logràfics x, y i z en els seus índexs de Miller (h,k,l).

Fórmula dels índexs de Miller

Els índexs de Miller provenen dels recíprocs dels interceptes dels eixos d’un pla. Si un pla talla els eixos x, y i z a distàncies a, b i c de l’origen, els índexs compleixen:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Com calcular els índexs de Miller a partir de les interseccions

1. Determineu on el pla talla cada eix, mesurat en unitats de la longitud de l’aresta de la cel·la unitat. Denomineu aquests interceptes a, b i c.
2. Calculeu el recíproc de cada intersecció: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multipliqueu els tres recíprocs pel mateix nombre perquè cadascun esdevingui un nombre enter.
4. Dividiu els tres nombres enters pel seu màxim comú divisor, de manera que no es puguin reduir més.

Els tres enters resultants són h, k i l. Un pla que no talla mai un eix es considera que el talla a l’infinit, i 1 dividit per infinit és 0, de manera que aquest eix té un índex de Miller 0.

Exemple resolt

Un pla talla l’eix x a 2, l’eix y a 3 i l’eix z a 6.

1. Interceptes: (2, 3, 6)
2. Recíprocs: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multipliqueu pel mínim comú múltiple dels denominadors, 6: (3, 2, 1)
4. El màxim comú divisor de 3, 2 i 1 és 1, de manera que els nombres no es poden reduir més.

Els índexs de Miller són (321).

Altres exemples

• Un pla que passa per (1, ∞, 2) —paral·lel a l’eix y— té els recíprocs (1, 0, 1/2). En multiplicar-los per 2 s’obté (2, 0, 1). El 0 indica que el pla no talla mai l’eix y.
• Un pla que passa per (-1, 2, 3) té els recíprocs (-1, 1/2, 1/3). En multiplicar-los per 6 s’obté (-6, 3, 2), que normalment s’escriu (6̄32), amb una barra damunt de l’índex negatiu.
• Un pla que passa per (1, ∞, ∞) té els recíprocs (1, 0, 0), que donen (100). Aquesta és una de les sis cares d’un cub.

Casos especials

Un pla paral·lel a un eix no el talla mai, de manera que aquest intercept es considera infinit i el seu índex de Miller és 0. Un pla que talla un eix al costat negatiu de l’origen obté un índex negatiu, que en la notació formal s’escriu amb una barra damunt del nombre, o amb un signe menys en text pla. Un pla que passa pel mateix origen no té índexs de Miller definits, perquè qualsevol família de plans paral·lels d’una xarxa ha d’estar desplaçada respecte de l’origen per poder ser indexada; cal desplaçar l’origen abans de poder descriure aquest pla. Els interceptes fraccionaris es tracten igual que els interceptes enters: se’n calcula el recíproc i després s’eliminen les fraccions.

Els índexs sempre es redueixen als enters més petits possibles. (622) i (311) descriuen la mateixa família de plans, però els cristal·lògrafs sempre escriuen (311).

Com s’utilitza aquesta calculadora

Introduïu les interseccions del pla amb els eixos x, y i z.

• Utilitzeu un nombre positiu per a un intercept situat al costat positiu de l’origen i un nombre negatiu per al costat negatiu.
• Escriviu «infinity», «inf» o «∞» per a un pla paral·lel a un eix.
• No s’accepta un intercept igual a zero, perquè no es poden assignar índexs de Miller amb aquest mètode a un pla que passa per l’origen.

La calculadora calcula els índexs a l’instant i mostra un diagrama del pla dins de la cel·la unitat.

Aplicacions dels índexs de Miller

Difracció de raigs X. Cada taca o pic d’un patró de difracció de raigs X correspon a un conjunt de plans de la xarxa amb uns (hkl) específics. La llei de Bragg relaciona la separació d’aquests plans amb l’angle de difracció:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Aquí, d_hkl és la separació entre els plans (h,k,l), λ és la longitud d’ona dels raigs X i θ és l’angle de difracció. Fer correspondre els pics observats amb valors (hkl), un procés anomenat indexació, és un pas bàsic per identificar una estructura cristal·lina desconeguda.

Ciència dels materials. Els diferents plans cristal·lins exposen disposicions diferents d’àtoms, de manera que tenen energies superficials diferents, velocitats de reacció química diferents i funcions diferents en la deformació d’un metall. En metalls cúbics centrats en les cares, com l’alumini, els plans atòmics llisquen els uns sobre els altres amb més facilitat al llarg dels plans {111}. Les hòsties de silici per a xips d’ordinador normalment es tallen segons el pla (100) o (111), perquè aquesta elecció afecta el comportament de les etapes posteriors de fabricació.

Mineralogia. Les cares planes que s’observen en un cristall natural i les direccions en què un mineral es trenca netament (la seva exfoliació) corresponen totes dues a plans específics de baix índex. L’halita (sal comuna) presenta exfoliació al llarg dels plans {100}, i la fluorita presenta exfoliació al llarg dels plans {111}.

Índexs de Miller-Bravais per a cristalls hexagonals

Els cristalls hexagonals, com el magnesi, el zinc i el titani, normalment es descriuen amb un sistema de quatre índexs (hkil) en lloc de tres. L’índex addicional i no és independent; sempre és i = -(h+k). Aquesta forma facilita veure que dos plans pertanyen a la mateixa família equivalent per simetria, cosa que no sempre és evident només amb la notació de Miller de tres índexs en una xarxa hexagonal.

Història

Els índexs de Miller van ser introduïts per William Hallowes Miller en el seu llibre de 1839 A Treatise on Crystallography. Ja existien sistemes anteriors per etiquetar les cares dels cristalls, però el mètode de Miller, basat en els recíprocs dels interceptes, facilitava el tractament dels plans paral·lels a un eix, ja que el seu intercept és infinit i el seu recíproc és simplement el valor 0. Després que Max von Laue descobrís la difracció de raigs X pels cristalls l’any 1912, William Henry Bragg i William Lawrence Bragg van demostrar que els índexs de Miller descriuen exactament els plans responsables dels pics de difracció, treball pel qual van compartir el Premi Nobel de Física de 1915.

Preguntes més freqüents

Per a què s’utilitzen els índexs de Miller? Identifiquen plans específics d’una xarxa cristal·lina. S’utilitzen per indexar els pics de difracció de raigs X i d’electrons, descriure els plans de lliscament dels metalls, especificar l’orientació de les hòsties semiconductores i etiquetar les cares i l’exfoliació dels minerals.

Què significa un zero en un índex de Miller? Significa que el pla és paral·lel a aquell eix i no el talla mai. Per exemple, (201) és paral·lel a l’eix y.

Què signifiquen els índexs de Miller negatius? Signifiquen que el pla talla aquell eix al costat negatiu de l’origen. Un índex negatiu s’escriu amb una barra damunt del nombre, com ara (2̄11), o amb un signe menys, com ara (-2,1,1).

Per què un pla que passa per l’origen no pot tenir índexs de Miller? Els índexs de Miller provenen del recíproc d’un intercept. Un pla que passa per l’origen té un intercept de 0 en cada eix, i 1/0 no està definit, de manera que el mètode no pot assignar índexs si no es desplaça el pla.

Quina diferència hi ha entre els índexs de Miller i els de Miller-Bravais? Els índexs de Miller (hkl) utilitzen tres nombres i funcionen per a qualsevol sistema cristal·lí. Els índexs de Miller-Bravais (hkil) n’afegeixen un quart, que és dependent, i s’utilitzen principalment per als cristalls hexagonals, on faciliten el reconeixement dels plans equivalents per simetria.

Com es relaciona la separació entre plans amb els índexs de Miller? En un cristall cúbic amb una longitud d’aresta a, la separació entre plans (hkl) adjacents és d = a / √(h² + k² + l²). Els plans amb índexs més alts estan més junts. Els altres sistemes cristal·lins utilitzen una fórmula similar però més complexa, que té en compte les longituds desiguals dels eixos i els angles que no són de 90°.

Referències

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., i Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4a ed.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., i Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3a ed.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.