Calculadora de Distribució Binomial

Introducció

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que modela el nombre d'èxits en un nombre fix de proves de Bernoulli independents. S'utilitza àmpliament en diversos camps, incloent estadística, teoria de la probabilitat i ciència de dades. Aquesta calculadora et permet calcular probabilitats per distribucions binomial basades en paràmetres proporcionats per l'usuari.

Fórmula

La funció de massa de probabilitat per la distribució binomial es dóna per:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

On:

• n és el nombre de proves
• k és el nombre d'èxits
• p és la probabilitat d'èxit en cada prova
• $\binom{n}{k}$ és el coeficient binomial, calculat com $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

1. Introdueix el nombre de proves (n)
2. Introdueix la probabilitat d'èxit per a cada prova (p)
3. Introdueix el nombre d'èxits (k)
4. Fes clic al botó "Calcular" per obtenir la probabilitat
5. El resultat es mostrarà com una probabilitat decimal

Càlcul

La calculadora utilitza la fórmula de probabilitat binomial per calcular la probabilitat basada en l'entrada de l'usuari. Aquí tens una explicació pas a pas del càlcul:

1. Calcula el coeficient binomial $\binom{n}{k}$
2. Calcula $p^k$
3. Calcula $(1-p)^{n-k}$
4. Multiplica els resultats dels passos 1, 2 i 3

La calculadora realitza aquests càlculs utilitzant aritmètica de punt flotant de doble precisió per assegurar la precisió.

Validació d'Entrada

La calculadora realitza les següents comprovacions sobre les entrades de l'usuari:

• n ha de ser un enter positiu
• p ha de ser un nombre entre 0 i 1 (inclosos)
• k ha de ser un enter no negatiu no superior a n

Si es detecten entrades no vàlides, es mostrarà un missatge d'error i el càlcul no es procedirà fins que es corregeixi.

Casos d'Ús

La calculadora de distribució binomial té diverses aplicacions en diferents camps:

1. Control de Qualitat: Estimant la probabilitat d'articles defectuosos en un lot de producció.

2. Medicina: Calculant la probabilitat d'èxit del tractament en assaigs clínics.

3. Finances: Modelant la probabilitat de moviments de preus d'accions.

4. Anàlisi Esportiva: Predint el nombre d'intents reeixits en una sèrie de jugades.

5. Epidemiologia: Estimant la probabilitat de propagació de malalties en una població.

Alternatives

Tot i que la distribució binomial s'utilitza àmpliament, hi ha altres distribucions relacionades que podrien ser més adequades en certes situacions:

1. Distribució de Poisson: Quan n és molt gran i p és molt petit, la distribució de Poisson pot ser una bona aproximació.

2. Aproximació Normal: Per a n grans, la distribució binomial es pot aproximar mitjançant una distribució normal.

3. Distribució Binomial Negativa: Quan estàs interessat en el nombre de proves necessàries per aconseguir un cert nombre d'èxits.

4. Distribució Hipergeometrica: Quan el mostreig es fa sense reposició d'una població finita.

Història

La distribució binomial té les seves arrels en el treball de Jacob Bernoulli, publicat pòstumament en el seu llibre "Ars Conjectandi" el 1713. Bernoulli va estudiar les propietats de les proves binomials i va derivar la llei dels grans nombres per a les distribucions binomials.

En els segles XVIII i XIX, matemàtics com Abraham de Moivre, Pierre-Simon Laplace i Siméon Denis Poisson van desenvolupar més la teoria de la distribució binomial i les seves aplicacions. El treball de De Moivre sobre l'aproximació de la distribució binomial amb la distribució normal va ser particularment significatiu.

Avui dia, la distribució binomial continua sent un concepte fonamental en teoria de la probabilitat i estadística, jugant un paper crucial en les proves d'hipòtesis, intervals de confiança i diverses aplicacions en múltiples disciplines.

Exemples

Aquí tens alguns exemples de codi per calcular probabilitats binomials:

1' Funció VBA d'Excel per a la Probabilitat Binomial
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' Ús:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## Exemple d'ús:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probabilitat = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"Probabilitat: {probabilitat:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// Exemple d'ús:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probabilitat = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`Probabilitat: ${probabilitat.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probabilitat = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("Probabilitat: %.6f%n", probabilitat);
18    }
19}
20

Aquests exemples demostren com calcular probabilitats binomials utilitzant diversos llenguatges de programació. Pots adaptar aquestes funcions a les teves necessitats específiques o integrar-les en sistemes d'anàlisi estadística més grans.

Exemples Numèrics

1. Llançaments de moneda:

   • n = 10 (llançaments)
   • p = 0.5 (moneda justa)
   • k = 3 (cara)
   • Probabilitat ≈ 0.1172

2. Control de Qualitat:

   • n = 100 (articles inspeccionats)
   • p = 0.02 (probabilitat de defecte)
   • k = 0 (sense defectes)
   • Probabilitat ≈ 0.1326

3. Epidemiologia:

   • n = 1000 (mida de la població)
   • p = 0.001 (taxa d'infecció)
   • k = 5 (individus infectats)
   • Probabilitat ≈ 0.0003

Casos Límit i Consideracions

1. n Gran: Quan n és molt gran (per exemple, n > 1000), l'eficiència computacional esdevé una preocupació. En aquests casos, les aproximacions com la distribució normal podrien ser més pràctiques.

2. Valors extrems de p: Quan p és molt a prop de 0 o 1, poden sorgir problemes de precisió numèrica. Pot ser necessari un maneig especial per assegurar resultats precisos.

3. k = 0 o k = n: Aquests casos es poden calcular de manera més eficient sense utilitzar el càlcul complet del coeficient binomial.

4. Probabilitats Cumulatives: Sovint, els usuaris estan interessats en probabilitats acumulatives (P(X ≤ k) o P(X ≥ k)). La calculadora podria ser ampliada per proporcionar aquests càlculs.

5. Visualització: Afegir una representació visual de la distribució binomial (per exemple, un gràfic de la funció de massa de probabilitat) pot ajudar els usuaris a interpretar els resultats de manera més intuïtiva.

Relació amb Altres Distribucions

1. Aproximació Normal: Per a n grans, la distribució binomial es pot aproximar mitjançant una distribució normal amb mitjana np i variància np(1-p).

2. Aproximació de Poisson: Quan n és gran i p és petit, tal que np és moderat, la distribució de Poisson amb paràmetre λ = np pot aproximar la distribució binomial.

3. Distribució de Bernoulli: La distribució binomial és la suma de n proves de Bernoulli independents.

Supòsits i Limitacions

1. Nombre fix de proves (n)
2. Probabilitat constant d'èxit (p) per a cada prova
3. Independència de les proves
4. Només dues possibles sortides per a cada prova (èxit o fracàs)

Entendre aquests supòsits és crucial per aplicar correctament el model de distribució binomial a problemes del món real.

Interpretant Resultats

Quan interpretis els resultats de la distribució binomial, considera:

1. Valor Esperat: E(X) = np
2. Variància: Var(X) = np(1-p)
3. Asimetria: Per a p ≠ 0.5, la distribució és asimètrica; es torna més simètrica a mesura que n augmenta
4. Probabilitat d'Outcomes Exactes vs. Ranges: Sovint, els rangs (per exemple, P(X ≤ k)) són més informatius que les probabilitats exactes

Proporcionant aquesta informació completa, els usuaris poden entendre millor i aplicar la distribució binomial als seus problemes específics.

Referències

1. "Distribució Binomial." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. Accedit el 2 d'Agost de 2024.
2. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. "Discrete Distributions." Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.