Calculadora de Distribució Binomial

Què és una calculadora de la distribució binomial?

Una calculadora de la distribució binomial determina la probabilitat d’obtenir un nombre exacte d’èxits en un nombre fix d’assaigs independents, quan cada assaig té la mateixa probabilitat d’èxit. S’utilitza en estadística, control de qualitat, medicina i qualsevol àmbit que estudiï esdeveniments repetits de sí o no.

La idea subjacent és la distribució binomial, un model de probabilitat per comptar els èxits en assaigs repetits que només tenen dos resultats, anomenats habitualment èxit i fracàs.

Fórmula de la distribució binomial

La probabilitat d’obtenir exactament k èxits en n assaigs és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Cada símbol significa:

n — el nombre d’assaigs.
k — el nombre d’èxits per al qual es vol determinar la probabilitat.
p — la probabilitat d’èxit en un sol assaig, un nombre entre 0 i 1.
$\binom{n}{k}$ — el coeficient binomial, el nombre de maneres diferents de triar k èxits entre n assaigs. És igual a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Cada assaig ha de ser independent, és a dir, el resultat d’un assaig no canvia les probabilitats d’un altre, i la probabilitat d’èxit p s’ha de mantenir igual en tots els assaigs. Un sol assaig amb dos resultats possibles, com el llançament d’una moneda, s’anomena assaig de Bernoulli. Una distribució binomial s’obté sumant n assaigs de Bernoulli.

Com es calcula la probabilitat binomial

Anoteu n, k i p.
Calculeu el coeficient binomial $\binom{n}{k}$ , el nombre de maneres d’ordenar k èxits entre n assaigs.
Eleveu p a la potència k.
Eleveu (1 − p) a la potència de (n − k).
Multiplica els tres nombres.

La calculadora d’aquesta pàgina fa aquests passos automàticament. Introduïu n, p i k, i retorna P(X = k), juntament amb un gràfic de barres que mostra la probabilitat de cada resultat possible, des de 0 fins a n èxits.

Exemple resolt

Exemple 1: llançaments d’una moneda

Es llança una moneda equilibrada 10 vegades. Quina és la probabilitat d’obtenir exactament 3 cares?

n = 10, p = 0,5, k = 3
$\binom{10}{3} = 120$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{7} = 0.0078125$
Resultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, és a dir, aproximadament 11,72 %

Exemple 2: control de qualitat

Una fàbrica inspecciona 100 articles. Cada article té una probabilitat del 2 % de ser defectuós. Quina és la probabilitat que cap dels 100 articles sigui defectuós?

n = 100, p = 0,02, k = 0
Com que k = 0, la fórmula es redueix a $(1-p)^n = 0.98^{100}$
Resultat: ≈ 0,1326, és a dir, aproximadament 13,26 %

Exemple 3: detecció de malalties

Una ciutat fa proves a 1.000 persones per detectar una malaltia que afecta el 0,1 % de la població (p = 0,001). Quina és la probabilitat que exactament 5 de les 1.000 persones estiguin infectades?

n = 1000, p = 0,001, k = 5
$\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
$0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
$0.999^{995} \approx 0.3695$
Resultat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, és a dir, aproximadament 0,30 % (valor exacte 0,0030488, és a dir, 0,30488 %)

Mitjana i variància

Per a una distribució binomial amb els paràmetres n i p:

Mitjana (valor esperat): E(X) = np
Variància: Var(X) = np(1 − p)
Desviació estàndard: σ = √[np(1 − p)]

La mitjana indica el nombre mitjà d’èxits esperat al llarg de moltes repeticions. A l’exemple 1, la mitjana és 10 × 0,5 = 5 cares.

Què accepta la calculadora

n ha de ser un nombre enter de 1 o més. Una entrada decimal s’arrodoneix al nombre enter d’assaigs més proper; per tant, 10,9 es tracta com 11.
p ha d’estar entre 0 i 1, inclosos els dos extrems.
k ha de ser un nombre enter de 0 o més, i no pot ser més gran que n. Obtenir 8 èxits en 5 assaigs és impossible, de manera que la calculadora mostra un error en lloc d’un nombre.

Si es deixa alguna casella buida, la calculadora no mostra cap resultat ni cap gràfic, en lloc d’endevinar un valor.

Quan s’aplica la distribució binomial

La distribució binomial només és adequada quan es compleixen les quatre condicions següents:

El nombre d’assaigs, n, es fixa per endavant.
Cada assaig només té dos resultats: èxit o fracàs.
La probabilitat d’èxit, p, és la mateixa en tots els assaigs.
Els assaigs són independents els uns dels altres.

Extreure cartes d’una baralla sense reposició trenca la condició d’independència, perquè retirar una carta canvia les probabilitats de la següent extracció. En aquest cas cal utilitzar la distribució hipergeomètrica.

Distribucions relacionades

Distribució de Poisson: s’utilitza per aproximar la distribució binomial quan n és gran i p és petit, de manera que el nombre mitjà d’èxits (np) es manté moderat. És habitual per modelitzar esdeveniments rars, com el cas de malaltia de l’exemple 3.
Distribució normal: per a valors grans de n, i quan p no és gaire proper a 0 o 1, la distribució binomial té aproximadament forma de campana i es pot aproximar mitjançant una distribució normal amb mitjana np i variància np(1 − p).
Distribució hipergeomètrica: s’utilitza en lloc de la distribució binomial quan el mostreig es fa sense reposició a partir d’una població finita.

Preguntes més freqüents

Què fa una calculadora de la distribució binomial?

Calcula la probabilitat d’obtenir exactament k èxits en n assaigs independents, cadascun amb una probabilitat d’èxit p, mitjançant la fórmula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Quina diferència hi ha entre la distribució binomial i la normal?

La distribució binomial és discreta, és a dir, només produeix recomptes enters d’èxits. La distribució normal és contínua. Per a valors grans de n, una distribució binomial es pot aproximar mitjançant una corba normal amb mitjana np i variància np(1 − p).

Pot ser p 0 o 1?

Sí. Si p = 0, cap assaig pot tenir èxit, de manera que P(X = 0) = 1. Si p = 1, tots els assaigs tenen èxit, de manera que P(X = n) = 1. En aquests casos, tots els altres valors de k tenen una probabilitat de 0.

Quina relació hi ha entre les distribucions binomial i de Bernoulli?

Una distribució de Bernoulli descriu un sol assaig amb dos resultats (n = 1). Una distribució binomial és la suma de n assaigs de Bernoulli independents, de manera que una distribució de Bernoulli és simplement una distribució binomial amb n = 1.

Fins a quin punt pot arribar n abans que la calculadora perdi precisió?

La calculadora funciona amb aritmètica estàndard de doble precisió. Multiplica directament les tres parts de la fórmula i canvia als logaritmes quan el coeficient binomial supera el nombre màxim que pot contenir un doble, cosa que passa prop de n = 1.000 quan k és proper a n/2. Els resultats continuen sent correctes per sobre d’aquest punt. Una probabilitat inferior aproximadament a 1e-308 es mostra com 0, perquè cap doble la pot contenir.

Com es calcula el coeficient binomial?

El coeficient binomial C(n, k) compta el nombre de maneres de triar k elements entre n elements, independentment de l’ordre. És igual a n! / (k! × (n − k)!). La calculadora el construeix pas a pas, multiplicant per un factor i dividint pel següent, de manera que no ha d’emmagatzemar mai un factorial complet. Per a valors molt grans de n, suma els logaritmes d’aquests factors.

Referències

"Binomial Distribution." Viquipèdia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.

Calculadora de Distribució Binomial - Eina Gratuïta de Probabilitat

Visualització de Distribució Binomial

Documentació