Calculadora de Distribució Gamma - Eina d'Anàlisi Estadística

Què és una calculadora de la distribució gamma?

Una calculadora de la distribució gamma troba la mitjana, la variància, l’asimetria, la curtosi i la moda d’una distribució gamma a partir de dues entrades: un paràmetre de forma i un paràmetre d’escala. També dibuixa la funció de densitat de probabilitat de la distribució en forma de corba.

Què és una distribució gamma?

La distribució gamma és una distribució de probabilitat contínua per a valors positius. Es defineix mitjançant dos paràmetres: un paràmetre de forma, que normalment s’escriu com a k, i un paràmetre d’escala, que normalment s’escriu com a θ (theta). Tots dos han de ser més grans que zero. La distribució gamma s’utilitza per modelar quantitats que no poden ser negatives, com ara els totals de precipitació, els imports de les reclamacions d’assegurances i el temps fins que falla una peça d’una màquina.

Fórmula de la distribució gamma

La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució gamma és:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aquí, x és el valor on es mesura la densitat, i Γ(k) és la funció gamma, una generalització del factorial per a nombres no enters. La fórmula només és vàlida per a x > 0; la densitat és zero a tot arreu fora d’aquest interval.

Com es calculen les propietats de la distribució gamma

A partir del paràmetre de forma k i del paràmetre d’escala θ, la calculadora troba:

• Mitjana: k × θ
• Variància: k × θ²
• Asimetria: 2 / √k
• Curtosi: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ quan k ≥ 1; en cas contrari, 0

L’asimetria mesura fins a quin punt la corba és desigual. Un valor més petit de k produeix una cua dreta més llarga. La curtosi mesura com de pesants són les cues en comparació amb una distribució normal, que té una curtosi de 3. La moda és el valor de x on la corba arriba al seu màxim. Quan k és inferior a 1, la densitat continua augmentant a mesura que x s’apropa a 0; per tant, no hi ha cap màxim interior i la calculadora indica una moda de 0.

Exemple resolt

Prenem un paràmetre de forma k = 2 i un paràmetre d’escala θ = 3.

• Mitjana = 2 × 3 = 6
• Variància = 2 × 3² = 18
• Asimetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtosi = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

A la moda, x = 3, la densitat és f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. La calculadora representa automàticament la corba completa un cop s’han introduït tots dos paràmetres.

Com s’utilitza la calculadora de la distribució gamma

1. Introduïu el paràmetre de forma (k), un nombre positiu.
2. Introduïu el paràmetre d’escala (θ), un nombre positiu.
3. La mitjana, la variància, l’asimetria, la curtosi i la moda apareixen tan bon punt tots dos camps contenen nombres vàlids. No hi ha cap botó de càlcul separat; els resultats s’actualitzen a mesura que s’introdueixen els nombres.
4. El gràfic situat sota els resultats mostra la funció de densitat de probabilitat. Es dibuixa des de just per sobre de x = 0 fins al més gran d’aquests dos valors: tres vegades la mitjana o cinc vegades el paràmetre d’escala.

Tots dos paràmetres han de ser nombres finits més grans que 0, i cap dels dos pot ser més gran que 1000. També es rebutgen els valors inferiors aproximadament a 2 × 10⁻¹⁶, perquè les xifres resum deixen de ser significatives a aquesta escala. Un valor fora de l’interval acceptat produeix un missatge d’error en lloc dels resultats.

On s’utilitza la distribució gamma

La distribució gamma modela moltes quantitats reals que sempre són positives i sovint presenten asimetria cap a la dreta:

• Assegurances: imports de les reclamacions i quantitats pagades
• Meteorologia: totals de precipitació durant un període fix
• Enginyeria: temps fins que falla un component
• Teoria de cues: temps d’espera formats per diverses etapes exponencials
• Biologia: nivells d’expressió gènica i dades sobre el nombre d’espècies

Distribucions relacionades

Dues distribucions conegudes són casos particulars de la distribució gamma:

• Distribució exponencial: una distribució gamma amb k = 1
• Distribució khi quadrat: una distribució gamma amb k = n/2 i θ = 2, on n són els graus de llibertat

Les distribucions de Weibull i lognormal són alternatives habituals per modelar dades positives i asimètriques.

Preguntes freqüents

Per a què s’utilitza la distribució gamma? Modela quantitats contínues i positives, com ara temps d’espera, quantitats de precipitació i reclamacions d’assegurances, especialment quan les dades tendeixen cap a valors grans.

Com es troba la mitjana d’una distribució gamma? Multipliqueu el paràmetre de forma pel paràmetre d’escala: mitjana = k × θ. Per a k = 2 i θ = 3, la mitjana és 6.

Quina diferència hi ha entre els paràmetres de forma i d’escala? El paràmetre de forma (k) controla la forma de la corba, inclosa la seva asimetria. El paràmetre d’escala (θ) estira o comprimeix la corba al llarg de l’eix x sense canviar-ne la forma bàsica.

Quina relació hi ha entre la distribució gamma i la distribució exponencial? La distribució exponencial és la distribució gamma amb un paràmetre de forma k = 1.

La distribució gamma pot prendre valors negatius? No. Només es defineix per a x > 0. Les dades que poden ser negatives necessiten una distribució diferent, com ara la distribució normal.

Aquesta calculadora calcula la funció de distribució acumulada? No. Calcula la mitjana, la variància, l’asimetria, la curtosi i la moda, i representa la funció de densitat de probabilitat. No proporciona valors de probabilitat acumulada.

Referències

1. "Gamma distribution." Viquipèdia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. i Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, volum 1. John Wiley & Sons.