Calculadora de Diagrama de Caixa - Generador Gratuït de Gràfics de Caixa i Bigotis

Què és un diagrama de caixa?

Un diagrama de caixa, també anomenat diagrama de caixa i bigotis, és un gràfic que resumeix un conjunt de nombres mitjançant cinc valors: el mínim, el primer quartil, la mediana, el tercer quartil i el màxim. Mostra on es concentra la major part de les dades i assenyala els valors inusuals, anomenats valors atípics, sense enumerar cada dada.

Els diagrames de caixa són habituals en estadística, ciència i informes empresarials perquè permeten comparar diversos grups de nombres d’un cop d’ull.

El resum de cinc nombres

Un diagrama de caixa es construeix a partir de cinc nombres, calculats després d’ordenar les dades de menor a major.

• Mínim: el valor més petit que no és atípic. Aquesta calculadora l’etiqueta «Mínim (excloent els valors atípics)».
• Primer quartil (Q1): el valor per sota del qual cau aproximadament una quarta part de les dades.
• Mediana (Q2): el valor central del conjunt de dades.
• Tercer quartil (Q3): el valor per sota del qual cau aproximadament tres quartes parts de les dades.
• Màxim: el valor més gran que no és atípic. Aquesta calculadora l’etiqueta «Màxim (excloent els valors atípics)».

Quan un conjunt de dades no té valors atípics, aquests dos valors són simplement els nombres més petit i més gran introduïts. Quan sí que en té, són els extrems dels bigotis; per tant, el nombre introduït més petit o més gran es mostra per separat a la llista de valors atípics.

La caixa del gràfic s’estén de Q1 a Q3. Una línia dins de la caixa marca la mediana. Unes línies fines anomenades bigotis surten de la caixa en direcció al mínim i al màxim. Els valors atípics es dibuixen com a punts separats més enllà dels bigotis.

Fórmula del diagrama de caixa

Per a un conjunt de dades ordenat en ordre ascendent amb n valors:

Mediana. Amb un nombre senar de valors, la mediana és el valor central:

$M = x_{(n+1)/2}$

Amb un nombre parell de valors, és la mitjana dels dos valors centrals:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

on M és la mediana i x, amb un número de posició, és el valor que ocupa aquella posició en les dades ordenades.

Quartils. Divideix les dades ordenades en una meitat inferior i una meitat superior. Si n és senar, deixa la mediana fora de totes dues meitats. Després:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

on $M_l$ és la mediana de la meitat inferior i $M_u$, la mediana de la meitat superior.

Això s’anomena sovint mètode exclusiu. Hi ha altres mètodes, que poden donar valors de Q1 i Q3 lleugerament diferents en conjunts de dades petits, però aquesta calculadora utilitza el mètode exclusiu.

Rang interquartílic (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Límits i bigotis. Els límits marquen el llindar dels valors atípics:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

on $F_l$ és el límit inferior i $F_u$, el límit superior.

Un bigoti no s’atura exactament en un límit. S’atura en la dada més extrema que encara es troba dins dels límits:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

on $W_l$ és el bigoti inferior i $W_u$, el bigoti superior.

Valors atípics. Qualsevol valor inferior al límit inferior o superior al límit superior és un valor atípic i es representa com un punt individual en lloc d’incloure’l al bigoti.

Com calcular un diagrama de caixa pas a pas

1. Ordena les dades de menor a major.
2. Troba la mediana. Amb un nombre senar de valors, és el valor central. Amb un nombre parell de valors, és la mitjana dels dos valors centrals.
3. Troba Q1: la mediana de la meitat inferior de les dades (la mediana queda fora quan el nombre de valors és senar).
4. Troba Q3: la mediana de la meitat superior de les dades, aplicant la mateixa regla.
5. Calcula l’IQR com Q3 menys Q1.
6. Calcula els límits inferior i superior utilitzant 1,5 vegades l’IQR.
7. Marca com a valor atípic qualsevol valor que quedi fora dels límits.
8. Fixa els bigotis en els valors més petit i més gran que quedin dins dels límits.

Exemple resolt

Considera aquest conjunt de dades de 11 valors: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Ja està ordenat.

Amb 11 valors (senar), la mediana és el valor número 6: 40.

La meitat inferior és 6, 7, 15, 36, 39 (cinc valors, amb la mediana exclosa). La seva mediana és el valor central: Q1 = 15.

La meitat superior és 41, 42, 43, 47, 49. La seva mediana és el valor central: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Límit inferior = 15 − 1,5 × 28 = −27. Límit superior = 43 + 1,5 × 28 = 85. Tots els valors del conjunt de dades es troben entre −27 i 85; per tant, no hi ha valors atípics i els bigotis arriben al mínim i al màxim reals: mín = 6, màx = 49.

Ara compara-ho amb un conjunt de dades que té un valor atípic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Aquí Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 i IQR = 6, cosa que dona un límit superior de 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. El valor 50 queda per sobre d’aquest límit, de manera que es representa com a valor atípic, i el bigoti superior s’atura a 11, el valor més gran que encara queda dins del límit, en lloc d’arribar a 50.

Com llegir un diagrama de caixa

La caixa cobreix el 50 % central de les dades; per tant, una caixa ampla indica que la part central de les dades està dispersa, mentre que una caixa estreta indica que està molt concentrada. Si la línia de la mediana és més a prop d’un extrem de la caixa, les dades s’inclinen, o presenten asimetria, cap al costat més llarg. Un bigoti molt més llarg que l’altre suggereix que les dades s’estenen més cap a aquell costat. Els punts situats més enllà dels bigotis són valors atípics i sovint mereixen una revisió més detallada, ja que poden ser valors extrems reals o errors en les dades.

Usos habituals

Els diagrames de caixa s’utilitzen per comparar grups l’un al costat de l’altre, com ara les puntuacions de proves de diverses classes, els temps de lliurament de dos proveïdors o les mesures d’un experiment amb un grup de control. Com que un diagrama de caixa condensa tota una distribució en cinc nombres, se’n poden alinear diversos en un sol gràfic, cosa que facilita més la comparació de la dispersió i dels valors típics entre grups que una taula de nombres sense processar.

Diagrames de caixa comparats amb altres gràfics

Un histograma mostra amb més detall la forma completa d’una distribució, però és més difícil d’utilitzar per comparar molts grups alhora. Un diagrama de violí afegeix una corba de densitat al voltant de la caixa i mostra amb més precisió on s’agrupen els valors. Un diagrama de dispersió mostra la relació entre dues variables, cosa que un diagrama de caixa no pot fer. L’elecció adequada depèn de si l’objectiu és comparar grups (diagrama de caixa), veure detalladament la forma d’una distribució (histograma o diagrama de violí) o estudiar una relació (diagrama de dispersió).

Història

L’estadístic John Tukey va introduir el diagrama de caixa als anys 1970, i el va descriure en el seu llibre de 1977 Exploratory Data Analysis. La seva versió original, anomenada de vegades diagrama esquemàtic, mostrava la mediana, els quartils i els valors extrems. El 1978, els estadístics Robert McGill, Tukey i Wayne Larsen van descriure una versió amb osques que afegeix un interval de confiança al voltant de la mediana. La regla de 1,5 × IQR per marcar els valors atípics es va convertir en una convenció estàndard poc després.

Preguntes més freqüents

Per a què serveix un diagrama de caixa? Mostra com es distribueix un conjunt de nombres i assenyala els possibles valors atípics mitjançant el mínim, Q1, la mediana, Q3 i el màxim. És especialment útil per comparar diversos grups en un sol gràfic.

Com es llegeix un diagrama de caixa? La caixa s’estén de Q1 a Q3 i cobreix la meitat central de les dades. La línia que hi ha dins és la mediana. Els bigotis arriben als valors més extrems que no són atípics, i els valors que queden més enllà dels bigotis es dibuixen com a punts separats.

Com s’identifiquen els valors atípics en un diagrama de caixa? Un valor és atípic si queda per sota de Q1 − 1,5 × IQR o per sobre de Q3 + 1,5 × IQR.

Quina diferència hi ha entre un diagrama de caixa i un histograma? Un diagrama de caixa condensa una distribució en cinc nombres i els valors atípics, cosa que el fa compacte i adequat per comparar grups. Un histograma mostra la freqüència dels valors en diferents intervals i ofereix més detall sobre la forma d’una distribució individual.

Aquesta calculadora pot gestionar conjunts de dades petits? Aquesta calculadora necessita com a mínim cinc nombres per produir un resum de cinc nombres. Els diagrames de caixa són més informatius amb conjunts de dades més grans, ja que un grapat de valors dona poca informació sobre la dispersió o els valors atípics.

Quines dades d’entrada accepta la calculadora? Nombres separats per comes, espais o salts de línia; per tant, funciona una columna enganxada des d’un full de càlcul. Qualsevol element que no sigui un nombre es rebutja en lloc d’ometre’l, de manera que una errada tipogràfica no pot canviar el resultat sense que es detecti.

Què vol dir que un diagrama de caixa sembli asimètric? Si la mediana és més a prop de Q1, les dades tenen una cua més llarga a l’extrem superior. Si és més a prop de Q3, les dades tenen una cua més llarga a l’extrem inferior.