Calculadora de Test T - Eina Gratuïta d'Anàlisi Estadística en Línia

Què és una prova t?

Una prova t és un mètode estadístic que comprova si la mitjana d’un conjunt de nombres és significativament diferent d’una altra mitjana o d’un valor fix. També s’anomena prova t de Student. Els investigadors la fan servir per comparar dos grups, com ara un grup de tractament i un grup de control, o per comparar un grup amb un estàndard conegut.

La prova produeix un nombre anomenat estadístic t. Un estadístic t allunyat de zero suggereix que les mitjanes són realment diferents. Un estadístic t proper a zero suggereix que qualsevol diferència podria ser només soroll aleatori.

Tipus de proves t

Aquesta calculadora admet tres tipus de proves t.

• Prova t d’una mostra: compara la mitjana d’una mostra amb un valor conegut o hipotetitzat.
• Prova t de dues mostres: compara les mitjanes de dues mostres independents, com ara dos grups de persones diferents. Aquesta calculadora utilitza la prova t de Welch, que no pressuposa que els dos grups tinguin la mateixa dispersió.
• Prova t per a mostres aparellades: compara dos conjunts de mesures obtingudes dels mateixos subjectes, com ara les puntuacions abans i després d’un tractament.

Com s’utilitza aquesta calculadora de proves t

1. Trieu el tipus de prova: d’una mostra, de dues mostres o per a mostres aparellades.
2. Introduïu les dades.
   • Una mostra: introduïu els valors de la mostra, separats per comes, i la mitjana poblacional amb què voleu comparar-los.
   • Dues mostres: introduïu les dues mostres com a llistes separades de valors separats per comes.
   • Mostres aparellades: introduïu les parelles amb el format (x1,y1), (x2,y2), i així successivament.
3. Establiu un nivell de significació, habitualment 0,05. La calculadora no utilitza aquest valor. Mostra el valor p i deixa la decisió a les vostres mans.
4. L’estadístic t, els graus de llibertat i el valor p apareixen tan aviat com hi ha prou dades. No cal prémer cap botó.

Per determinar la significació, compareu el valor p amb el nivell de significació. Si el valor p és inferior o igual al nivell de significació, la diferència es considera estadísticament significativa.

Fórmula de la prova t

Fórmula de la prova t d’una mostra

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ és la mitjana mostral, $\mu_0$ és el valor amb què es fa la comparació, $s$ és la desviació estàndard mostral i $n$ és la mida de la mostra. Graus de llibertat: $df = n - 1$.

Fórmula de la prova t de dues mostres (prova de Welch)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Els graus de llibertat provenen de l’equació de Welch-Satterthwaite:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Aquesta fórmula sol donar un valor de df que no és un nombre enter.

Fórmula de la prova t per a mostres aparellades

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ és la mitjana de les diferències entre cada parella, $s_d$ és la desviació estàndard d’aquestes diferències i $n$ és el nombre de parelles. Graus de llibertat: $df = n - 1$.

Com es calcula una prova t: exemple resolt

Un fabricant afirma que una bateria dura 50 hores de mitjana. Un tècnic comprova nou bateries i registra aquestes durades, en hores:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Pas 1: formuleu les hipòtesis. Hipòtesi nul·la: la mitjana real és de 50 hores. Hipòtesi alternativa: la mitjana real no és de 50 hores.

Pas 2: calculeu la mitjana mostral.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Pas 3: calculeu la desviació estàndard mostral. Les desviacions respecte de la mitjana són 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Elevades al quadrat, són 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, i sumen 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Pas 4: calculeu l’estadístic t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Pas 5: calculeu els graus de llibertat.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Pas 6: calculeu el valor p. Amb $t = 0$ i $df = 8$, el valor p bilateral és 1,00.

Pas 7: extraieu una conclusió. Com que 1,00 és superior a 0,05, no hi ha prou evidència que la durada mitjana de les bateries difereixi de 50 hores.

Supòsits de la prova t

Una prova t només dona resultats fiables quan es compleixen aproximadament algunes condicions.

• Normalitat: les dades haurien de tenir aproximadament forma de campana, sobretot en mostres petites.
• Independència: cada observació no hauria d’afectar cap altra observació.
• Mostreig aleatori: les dades haurien de provenir d’una mostra aleatòria de la població estudiada.

En una prova t per a mostres aparellades, aquestes condicions s’apliquen a les diferències entre parelles, no a les puntuacions originals. En mostres més grans, aproximadament per sobre de 30, una prova t tendeix a mantenir la precisió encara que les dades no tinguin una forma de campana perfecta, a causa d’una propietat estadística anomenada teorema del límit central.

Alternatives a la prova t

Quan els supòsits anteriors no es compleixen, es poden utilitzar altres proves.

• Prova U de Mann-Whitney: una alternativa no paramètrica a la prova t de dues mostres.
• Prova de rangs amb signe de Wilcoxon: una alternativa no paramètrica a la prova t per a mostres aparellades.
• ANOVA: compara alhora les mitjanes de tres grups o més, en lloc de comparar-ne només dos.

Història de la prova t

William Sealy Gosset va desenvolupar la prova t l’any 1908 mentre treballava com a químic a la cerveseria Guinness de Dublín. Guinness no permetia que el personal publiqués investigacions amb el seu propi nom, de manera que Gosset va utilitzar el pseudònim «Student». Per això el mètode sovint s’anomena prova t de Student. La va crear per determinar si petits lots d’ingredients per elaborar cervesa complien els estàndards de qualitat, utilitzant només un grapat de mostres cada vegada.

Preguntes freqüents

Per a què s’utilitza una prova t?

Una prova t comprova si la mitjana d’una mostra és significativament diferent d’una altra mitjana o d’un valor fix. És habitual en la recerca mèdica, psicològica, educativa i empresarial.

Quan s’ha d’utilitzar una prova t d’una mostra, de dues mostres o per a mostres aparellades?

Utilitzeu una prova t d’una mostra per comparar la mitjana d’una mostra amb un valor conegut. Utilitzeu una prova t de dues mostres per comparar dos grups separats i no relacionats. Utilitzeu una prova t per a mostres aparellades quan es mesuren els mateixos subjectes dues vegades, com ara abans i després d’un tractament.

Quina diferència hi ha entre una prova t i una prova z?

La prova t s’utilitza quan la mostra és petita o quan es desconeix la desviació estàndard de la població. La prova z s’utilitza amb mostres grans quan es coneix la desviació estàndard de la població. A la pràctica, la prova t s’utilitza molt més sovint perquè la desviació estàndard de la població rarament es coneix per endavant.

Com s’interpreta un valor p d’una prova t?

El valor p és la probabilitat d’observar una diferència d’aquesta magnitud o més gran si en realitat no hi hagués cap diferència real. Un valor p petit, habitualment igual o inferior a 0,05, suggereix que és poc probable que la diferència observada es degui únicament a l’atzar.

Què és la prova t de Welch?

La prova t de Welch és una variant de la prova t de dues mostres que no exigeix que els dos grups tinguin la mateixa variància. Aquesta calculadora utilitza sempre el mètode de Welch per a les proves de dues mostres, ja que manté la precisió tant si els dos grups varien en la mateixa mesura com si no.

Què són els graus de llibertat en una prova t?

Els graus de llibertat són un nombre, basat en la mida de la mostra, que fixa la forma exacta de la distribució t utilitzada per trobar el valor p. En una prova t d’una mostra o per a mostres aparellades, els graus de llibertat són iguals a la mida de la mostra menys 1. La prova t de Welch de dues mostres utilitza una fórmula que sol produir un valor que no és un nombre enter.

Referències

1. Gosset, W. S. (1908). «The Probable Error of a Mean». Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, secció 1.3.6.7.2, «Valors crítics de la distribució t de Student».