Calculadora de T-Test per a Anàlisi Estadística Avançada

Calculadora T-Test

Introducció

El t-test és una eina estadística fonamental que s'utilitza per determinar si hi ha una diferència significativa entre les mitjanes de grups. S'aplica àmpliament en diversos camps com la psicologia, la medicina i els negocis per a la prova d'hipòtesis. Aquesta calculadora et permet realitzar tot tipus de t-tests:

T-Test d'una mostra: Prova si la mitjana d'un sol grup difereix d'un valor conegut.
T-Test de dues mostres (mostres independents): Compara les mitjanes de dos grups independents.
T-Test aparellat: Compara les mitjanes del mateix grup en diferents moments (per exemple, abans i després del tractament).

Tipus de T-Tests

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

Selecciona el Tipus de T-Test:
- T-Test d'una Mostra
- T-Test de Dues Mostres
- T-Test Aparellat
Introdueix les Entrades Necessàries:
- Per al T-Test d'una Mostra:
  - Mitjana de la Mostra ( $\bar{x}$ )
  - Desviació Estàndard de la Mostra ( $s$ )
  - Mida de la Mostra ( $n$ )
  - Mitjana de la Població ( $\mu_0$ )
- Per al T-Test de Dues Mostres:
  - Mitjana de la Mostra 1 ( $\bar{x}_1$ )
  - Desviació Estàndard de la Mostra 1 ( $s_1$ )
  - Mida de la Mostra 1 ( $n_1$ )
  - Mitjana de la Mostra 2 ( $\bar{x}_2$ )
  - Desviació Estàndard de la Mostra 2 ( $s_2$ )
  - Mida de la Mostra 2 ( $n_2$ )
  - Suposició de Variància: Selecciona si les variàncies es suposen iguals o desiguals.
- Per al T-Test Aparellat:
  - Dades de Diferències: Introdueix les diferències parellades.
  - Alternativament, introdueix la Mitjana de les Diferències ( $\bar{d}$ ), Desviació Estàndard de les Diferències ( $s_d$ ), i Mida de la Mostra ( $n$ ).
Estableix el Nivell de Significació ( $\alpha$ ):
- Les eleccions comunes són 0.05 per a un nivell de confiança del 95% o 0.01 per a un nivell de confiança del 99%.
Tria la Direcció de la Prova:
- Prova de Dues Cares: Prova qualsevol diferència.
- Prova d'una Cara: Prova una diferència direccional (especifica si proves per major que o menor que).
Fes clic al Botó "Calcular":
- La calculadora mostrarà:
  - T-Estadístic
  - Graus de Llibertat
  - P-Valor
  - Conclusió: Si rebutjar o no rebutjar la hipòtesi nul·la.

Suposicions

Abans d'utilitzar el t-test, assegura't que es compleixin les següents suposicions:

Normalitat: Les dades haurien d'estar aproximadament distribuïdes normalment.
Independència: Les observacions han de ser independents entre si.
- Per al T-Test de Dues Mostres, els dos grups han de ser independents.
- Per al T-Test Aparellat, les diferències han de ser independents.
Igualtat de Variàncies:
- Per al T-Test de Dues Mostres amb Variàncies Iguals, les variàncies de les dues poblacions han de ser iguals (homoscedasticitat).
- Si aquesta suposició no es compleix, utilitza el T-Test de Welch (variàncies desiguals).

Fórmula

T-Test d'una Mostra

L'estadístic t es calcula com:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : Mitjana de la mostra
$\mu_0$ : Mitjana de la població sota la hipòtesi nul·la
$s$ : Desviació estàndard de la mostra
$n$ : Mida de la mostra

T-Test de Dues Mostres (Mostres Independents)

Suposant Variàncies Iguals

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Desviació estàndard agrupada ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

Variàncies Desiguals (T-Test de Welch)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

T-Test Aparellat

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : Mitjana de les diferències
$s_d$ : Desviació estàndard de les diferències
$n$ : Nombre de parells

Graus de Llibertat

T-Test d'una Mostra i T-Test Aparellat:

df = n - 1

T-Test de Dues Mostres amb Variàncies Iguals:

df = n_1 + n_2 - 2

T-Test de Welch:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Càlcul

La calculadora realitza els següents passos:

Calcula l'Estadístic T utilitzant la fórmula adequada basada en la prova seleccionada.
Determina els Graus de Llibertat (df).
Calcula el P-Valor corresponent a l'estadístic t i df:
- Utilitza la distribució t per trobar la probabilitat.
Compara el P-Valor amb el Nivell de Significació ( $\alpha$ ):
- Si $p \leq \alpha$ , rebutja la hipòtesi nul·la.
- Si $p > \alpha$ , no rebutgis la hipòtesi nul·la.
Interpreta els Resultats:
- Proporciona una conclusió en el context de la prova.

Casos d'Ús

T-Test d'una Mostra

Prova de l'Eficiència d'un Nou Medicament:
- Determina si el temps mitjà de recuperació amb un nou medicament difereix del temps mitjà de recuperació conegut.
Control de Qualitat:
- Comprova si la longitud mitjana de les peces fabricades es desvia de l'estàndard especificat.

T-Test de Dues Mostres

Proves A/B en Màrqueting:
- Compara les taxes de conversió entre dos dissenys de pàgines web diferents.
Investigació Educativa:
- Avalua si hi ha una diferència en les puntuacions dels exàmens entre dos mètodes d'ensenyament.

T-Test Aparellat

Estudis Abans i Després:
- Avalua la pèrdua de pes abans i després d'un programa de dieta.
Sujets Emparellats:
- Compara les mesures de pressió arterial abans i després d'administrar medicació als mateixos subjectes.

Alternatives

Tot i que els t-tests són potents, tenen suposicions que potser no sempre es compleixen. Alternatives inclouen:

Prova U de Mann-Whitney:
- Alternativa no paramètrica al t-test de dues mostres quan les dades no segueixen una distribució normal.
Prova de Rangs Signats de Wilcoxon:
- Equivalent no paramètric al t-test aparellat.
ANOVA (Anàlisi de la Variància):
- S'utilitza quan es comparen mitjanes de més de dos grups.

Història

El t-test va ser desenvolupat per William Sealy Gosset el 1908, que va publicar sota el pseudònim "Student" mentre treballava a la cerveseria Guinness a Dublín. La prova va ser dissenyada per controlar la qualitat de l'estout determinat si les mostres eren consistents amb els estàndards de la cerveseria. Degut a acords de confidencialitat, Gosset va utilitzar el pseudònim "Student", donant lloc al terme "t-test de Student."

Amb el temps, el t-test s'ha convertit en una pedra angular de l'anàlisi estadística, àmpliament ensenyat i aplicat en diverses disciplines científiques. Va obrir el camí per al desenvolupament de mètodes estadístics més complexos i és fonamental en el camp de les estadístiques inferencials.

Exemples

Aquí hi ha exemples de codi per realitzar un T-Test d'una Mostra en diversos llenguatges de programació:

Excel

1' T-Test d'una Mostra en Excel VBA
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Substitueix amb el teu rang de dades
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' Substitueix amb la teva mitjana hipotètica
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "T-Estadístic: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

R

1## T-Test d'una Mostra en R
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

Python

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## T-Test d'una Mostra en Python
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"T-Estadístic: {t_statistic:.2f}, P-Valor: {p_value:.4f}")
8

JavaScript

1// T-Test d'una Mostra en JavaScript
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// Exemple d'ús:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`T-Estadístic: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% T-Test d'una Mostra en MATLAB
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['T-Estadístic: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['P-Valor: ', num2str(p)]);
6

Java

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("T-Estadístic: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("P-Valor: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"T-Estadístic: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

Go

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sampleData := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    tStatistic := oneSampleTTest(sampleData, 50)
29    fmt.Printf("T-Estadístic: %.2f\n", tStatistic)
30}
31

Swift

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "T-Estadístic: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "T-Estadístic: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

Ruby

1## T-Test d'una Mostra en Ruby
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("T-Estadístic: %.2f", t_statistic)
13

Rust

1// T-Test d'una Mostra en Rust
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("T-Estadístic: {:.2}", t_statistic);
14}
15

Exemple Numèric

Problema: Un fabricant afirma que la vida mitjana d'una bateria és de 50 hores. Un grup de consumidors prova 9 bateries i registra les següents vides útils (en hores):

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Hi ha evidència en el nivell de significació 0.05 per suggerir que la vida mitjana de la bateria difereix de les 50 hores?

Solució:

Estableix les Hipòtesis:
- Hipòtesi Nul·la ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- Hipòtesi Alternativa ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
Calcula la Mitjana de la Mostra ( $\bar{x}$ ):
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
Calcula la Desviació Estàndard de la Mostra ( $s$ ):
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
Calcula l'Estadístic T:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
Graus de Llibertat:
$df = n - 1 = 8$
Determina el P-Valor:
- Per $t = 0.00$ i $df = 8$ , el p-valor és 1.00.
Conclusió:
- Atès que p-valor (1.00) > $\alpha$ (0.05), no rebutgem la hipòtesi nul·la.
- Interpretació: No hi ha prou evidència per suggerir que la vida mitjana de la bateria difereix de les 50 hores.

Referències

Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
T-test de Student. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
Guia d'Estadístiques de GraphPad: Entenent els t-tests. Enllaç
Laerd Statistics: T-test independent. Enllaç

Recursos Addicionals

Comprovacions de Suposicions:
- Utilitza la Prova de Shapiro-Wilk per a la normalitat.
- Utilitza la Prova de Levene per a la igualtat de variàncies.
Eines de Programari:
- SPSS, SAS, Stata, i R per a anàlisis estadístiques avançades.
Lectura Addicional:
- "Introducció a l'Aprenentatge Estadístic" per Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, i Robert Tibshirani.
- "Mètodes Estadístics" per George W. Snedecor i William G. Cochran.

Calculadora de T-Test per a Anàlisi Estadística Avançada

Calculadora de T-Test

Documentació

Calculadora T-Test

Introducció

Tipus de T-Tests

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

Suposicions

Fórmula

T-Test d'una Mostra

T-Test de Dues Mostres (Mostres Independents)

Suposant Variàncies Iguals

Variàncies Desiguals (T-Test de Welch)

T-Test Aparellat

Graus de Llibertat

T-Test d'una Mostra i T-Test Aparellat:

T-Test de Dues Mostres amb Variàncies Iguals:

T-Test de Welch:

Càlcul

Casos d'Ús

T-Test d'una Mostra

T-Test de Dues Mostres

T-Test Aparellat

Alternatives

Història

Exemples

Excel

R

Python

JavaScript

MATLAB

Java

C#

Go

Swift

PHP

Ruby

Rust

Exemple Numèric

Referències

Recursos Addicionals

Eines Relacionades

Calculadora Z-Test: Realitza proves d'una mostra fàcilment

Calculadora de significació estadística per a proves A/B

Calculadora de Z-Score per a Anàlisi Estadística

Calculadora de Perímetre Mollat per a Diverses Formes de Canal

Calculadora de Diagrames de Caixes i Bigotis per a Dades

Calculadora Z-Score d'Altman per a l'Avaluació Financera

Calculeu fàcilment les puntuacions brutes a partir de la mitjana, la desviació estàndard i la puntuació z