Calculadora de Puntuació Directa - Convertir Z-Score a Valor Original

Què és una puntuació bruta?

Una puntuació bruta és el valor original i no estandarditzat d’un conjunt de dades, com ara la puntuació d’una prova expressada en punts o una longitud mesurada en mil·límetres. Una calculadora de puntuacions brutes converteix una puntuació z estandarditzada de nou en aquell valor original, utilitzant la mitjana i la desviació estàndard del conjunt de dades. Aquesta pàgina explica la fórmula, mostra exemples resolts pas a pas i respon preguntes habituals sobre les puntuacions brutes. La calculadora també dibuixa una corba de distribució normal i hi marca la posició de la puntuació bruta.

Fórmula de la puntuació bruta

La puntuació bruta $x$ es calcula a partir d’una puntuació z amb aquesta fórmula:

$$x = \mu + z \times \sigma$$

On:

• $x$ = puntuació bruta (el valor original)
• $\mu$ = mitjana del conjunt de dades
• $\sigma$ = desviació estàndard del conjunt de dades
• $z$ = puntuació z (quantes desviacions estàndard separen $x$ de la mitjana)

Aquesta fórmula és la inversa de la fórmula estàndard de la puntuació z, $z = (x - \mu) / \sigma$. En lloc de convertir un valor brut en una puntuació z, converteix una puntuació z de nou en un valor brut.

Com calcular una puntuació bruta a partir d’una puntuació z

1. Calculeu la mitjana ($\mu$) del conjunt de dades.
2. Calculeu la desviació estàndard ($\sigma$), que mesura la dispersió de les dades.
3. Preneu la puntuació z ($z$), el nombre de desviacions estàndard que separen el valor de la mitjana. Una puntuació z positiva és superior a la mitjana; una de negativa és inferior.
4. Multipliqueu la puntuació z per la desviació estàndard i, després, sumeu-hi la mitjana: $x = \mu + z \times \sigma$.

Exemple resolt

Exemple 1: puntuació d’una prova

Una classe fa una prova amb una puntuació mitjana de 80 i una desviació estàndard de 5. Un estudiant obté una puntuació z de 1,2. Quina era la puntuació bruta de l’estudiant?

$$x = 80 + 1.2 \times 5 = 86$$

La puntuació bruta de l’estudiant era 86.

Exemple 2: mesura en un procés de fabricació

Una fàbrica mesura una peça amb una longitud mitjana de 150 mm i una desviació estàndard de 2 mm. Una peça té una puntuació z de −1,5. Quina és la seva longitud real?

$$x = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$$

La peça mesura 147 mm.

Intervals d’entrada vàlids

La calculadora d’aquesta pàgina requereix:

• Una desviació estàndard superior a 0. Una desviació estàndard no pot ser negativa, i un valor de zero faria que la puntuació z no estigués definida, perquè la fórmula de la puntuació z hi divideix.
• Una desviació estàndard no superior a 1.000.000.
• Una mitjana entre −1.000.000 i 1.000.000.
• Una puntuació z entre −10 i 10.

La majoria de les puntuacions z del món real es troben entre −3 i 3, ja que aquest interval inclou aproximadament el 99,7 % dels valors d’una distribució normal. Una puntuació z fora d’aquest interval indica un valor rar i extrem.

On s’utilitzen les puntuacions brutes

• Educació. Les proves estandarditzades expressen puntuacions z o puntuacions escalades; convertir-les de nou en una puntuació bruta mostra el nombre real de punts o preguntes respostes correctament.
• Psicologia. Les proves de quocient intel·lectual i altres avaluacions s’estandarditzen i, després, es converteixen en valors bruts per fer el seguiment dels resultats d’una persona al llarg del temps.
• Fabricació. El control de qualitat compara les peces amb una mitjana objectiu i assenyala les que tenen una puntuació z inusual; després n’informa la mesura bruta per inspeccionar-les.
• Finances. Les mètriques estandarditzades de risc o rendiment es converteixen de nou en imports monetaris reals o en percentatges de rendiment per elaborar informes.

Puntuacions estadístiques relacionades

• Percentil mostra la posició d’un valor dins d’un conjunt de dades en una escala de 0–100.
• La puntuació T s’estandarditza amb una mitjana de 50 i una desviació estàndard de 10, i és habitual en psicologia.
• La puntuació stanine és una escala de nou punts utilitzada en educació.

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre una puntuació bruta i una puntuació z?

Una puntuació bruta és el valor original expressat en les seves unitats naturals, com ara punts o mil·límetres. Una puntuació z és aquest valor expressat com la distància respecte de la mitjana, mesurada en desviacions estàndard. La fórmula $x = \mu + z \times \sigma$ converteix una puntuació z de nou en una puntuació bruta.

Com puc trobar una puntuació bruta a partir d’un percentil?

Primer convertiu el percentil en una puntuació z mitjançant una taula de la distribució normal estàndard. Després, apliqueu la fórmula de la puntuació bruta. Per exemple, el percentil 84 és proper a una puntuació z de 1,0.

Pot ser negativa una puntuació bruta?

Sí. Si les dades subjacents inclouen valors negatius, com ara canvis de temperatura o guanys i pèrdues, la puntuació bruta també pot ser negativa.

Quina puntuació bruta correspon a una puntuació z de 0?

Una puntuació z de 0 sempre dona una puntuació bruta igual a la mitjana, ja que $x = \mu + 0 \times \sigma = \mu$.

Funciona la fórmula de la puntuació bruta amb dades no normals?

La fórmula funciona per a qualsevol conjunt de dades amb una mitjana i una desviació estàndard definides. Tanmateix, la interpretació habitual d’una puntuació z, com ara «aproximadament el 68 % dels valors es troben dins d’una desviació estàndard de la mitjana», pressuposa que les dades segueixen una distribució normal. En dades fortament esbiaixades, aquesta interpretació no és vàlida, encara que el càlcul aritmètic continuï sent correcte.

Amb quina precisió es calcula el resultat?

El càlcul consta d’una multiplicació i una suma, de manera que és exacte per als nombres introduïts. La calculadora arrodoneix la puntuació bruta mostrada a dues xifres decimals. La precisió real està limitada per la precisió amb què es coneixen la mitjana, la desviació estàndard i la puntuació z.