Calculadora de Valors Crítics | Prova Z, Prova t, Chi-quadrat

Un valor crític és el punt de tall d’una distribució de probabilitat que marca el límit de la «regió de rebuig» en una prova d’hipòtesis. Si una estadística de prova cau més enllà del valor crític, el resultat es considera estadísticament significatiu i es rebutja la hipòtesi nul·la. Aquesta calculadora troba els valors crítics de les tres proves més comunes: la prova Z, la prova t i la prova khi quadrat.

Què és un valor crític?

En estadística, els investigadors sovint parteixen d’una hipòtesi nul·la, una suposició senzilla segons la qual no passa res d’extraordinari (per exemple, que un medicament nou no té cap efecte). Es calcula una estadística de prova a partir de les dades de la mostra i es compara amb un valor crític per decidir si les dades aporten prou evidència contra la hipòtesi nul·la.

El valor crític depèn de tres factors: la prova escollida, el nivell de significació (escrit com a α, la lletra grega alfa) i si la prova és unilateral o bilateral. El nivell de significació és la probabilitat de rebutjar erròniament una hipòtesi nul·la veritable, i sovint s’estableix en 0,05 (5 %) o 0,01 (1 %).

Una prova unilateral comprova si hi ha un efecte en una sola direcció, com ara «més gran que». Té un valor crític. Una prova bilateral comprova si hi ha un efecte en qualsevol de les dues direccions i té dos valors crítics, un a cada costat de la distribució.

Com es calcula un valor crític

1. Trieu la prova: prova Z (mostres grans o variància poblacional coneguda), prova t (mostres petites amb variància desconeguda) o prova khi quadrat (dades categòriques o bondat de l’ajust).
2. Trieu el tipus de cua: unilateral o bilateral.
3. Trieu el nivell de significació α, un nombre entre 0 i 1. Les opcions habituals són 0,10, 0,05 i 0,01.
4. Per a una prova t o una prova khi quadrat, introduïu els graus de llibertat (df). En una prova t, df és igual a la mida de la mostra menys 1. En una prova khi quadrat de bondat de l’ajust, df és igual al nombre de categories menys 1.
5. Cerqueu (o calculeu) el valor que delimita l’àrea de cua escollida sota la corba de distribució. Aquest és el valor crític.

Fórmules dels valors crítics

Cada fórmula utilitza la inversa d’una funció de distribució acumulada: el valor de x per al qual l’àrea sota la corba fins a x és igual a una probabilitat objectiu p.

Fórmula de la prova Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilateral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilateral)}$

Φ⁻¹ és la inversa de la funció de distribució acumulada normal estàndard.

Fórmula de la prova t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilateral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilateral)}$

t⁻¹(p, df) és la inversa de la funció de distribució acumulada de la distribució t amb df graus de llibertat.

Fórmula de la prova khi quadrat

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilateral)}$ $\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilateral)}$

La distribució khi quadrat només pren valors positius, de manera que tots dos valors crítics són positius, i l’inferior és més petit que el superior.

Exemple: valor crític de la prova Z

Un equip de control de qualitat vol un valor crític d’una prova Z unilateral amb α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Qualsevol estadística de prova superior a 1,6449 cau dins de la regió de rebuig.

Exemple: valor crític de la prova t

Un investigador fa un experiment amb 20 participants, de manera que df = 19. Vol un valor crític bilateral amb α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Les regions de rebuig són t < -2,8609 i t > 2,8609.

Exemple: valors crítics de la prova khi quadrat

Un analista compara els recomptes observats i esperats en 5 categories, de manera que df = 4. Vol valors crítics bilaterals amb α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Una estadística khi quadrat inferior a 0,4844 o superior a 11,1433 cauria dins de la regió de rebuig.

Valors crítics habituals

A mesura que augmenten els graus de llibertat, els valors crítics de la distribució t disminueixen i s’acosten als valors corresponents de la prova Z, perquè la distribució t s’aproxima a la distribució normal.

Preguntes freqüents

Per a què serveix un valor crític? Estableix el límit per decidir si una estadística de prova és prou extrema per rebutjar la hipòtesi nul·la. Si l’estadística supera el valor crític, el resultat és estadísticament significatiu al nivell α escollit.

Quina diferència hi ha entre un valor crític unilateral i un de bilateral? Una prova unilateral busca un efecte en una direcció i té un únic valor crític. Una prova bilateral busca un efecte en qualsevol de les dues direccions i té dos valors crítics, situats simètricament al voltant del centre en el cas de la prova Z i la prova t. Amb el mateix α, el valor crític bilateral té un valor absolut més gran que el unilateral, perquè la mateixa probabilitat total es divideix entre dues cues en lloc d’una.

Quan s’ha d’utilitzar una prova Z en lloc d’una prova t? La prova Z s’utilitza quan es coneix la variància poblacional o quan la mostra és gran, normalment amb 30 observacions o més. La prova t s’utilitza per a mostres més petites amb una variància poblacional desconeguda. A mesura que augmenta la mida de la mostra, els valors crítics de la prova t convergeixen cap als de la prova Z.

Pot ser negatiu un valor crític? Sí. Les distribucions de la prova Z i de la prova t són simètriques respecte de zero, de manera que una prova bilateral té un valor crític negatiu i un de positiu. Els valors crítics de la prova khi quadrat sempre són positius, perquè la distribució khi quadrat només està definida per a valors iguals o superiors a zero.

Com afecten els graus de llibertat un valor crític? Els graus de llibertat mesuren quanta informació independent hi ha en les dades, i normalment corresponen a la mida de la mostra menys el nombre de paràmetres ja estimats. Un nombre menor de graus de llibertat produeix distribucions més amples i amb cues més pesants, així com valors crítics més grans. Un nombre més gran de graus de llibertat acosta la distribució t i la distribució khi quadrat a la distribució normal.

Quin valor crític correspon a un nivell de confiança del 95 %? Un nivell de confiança del 95 % utilitza α = 0,05. En una prova Z bilateral, els valors crítics són ±1,9600. En una prova Z unilateral, el valor crític és 1,6449.

Historial

Karl Pearson va introduir la prova khi quadrat l’any 1900. William Sealy Gosset, que publicava amb el nom de «Student», va desenvolupar la distribució t l’any 1908 per treballar amb mostres petites a la cerveseria Guinness. Ronald Fisher va formalitzar les proves de significació i els valors crítics durant la dècada dels 1920 en el seu llibre Statistical Methods for Research Workers. Abans dels ordinadors, els investigadors cercaven els valors crítics en taules impreses; actualment, les calculadores i el programari els calculen directament a partir de les fórmules de distribució.

Referències

1. Pearson, K. (1900). «On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.» Philosophical Magazine, sèrie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). «The probable error of a mean.» Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edimburg: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Critical Values».