Calculadora de Volum de Con - Calcula el Volum de Con i Tronc de Con

Què és una calculadora del volum d’un con?

Una calculadora del volum d’un con calcula el volum d’un con o d’un con truncat (un tronc de con) a partir del radi i l’alçada. Un con és un cos sòlid amb una base plana circular que s’estreny suaument fins a un únic punt, anomenat vèrtex. Un tronc de con és el que queda d’un con després de tallar-ne la part superior amb un tall paral·lel a la base, de manera que queden dues cares circulars en lloc d’una.

Fórmula del volum d’un con

El volum d’un con complet depèn del radi de la base i de l’alçada. És un terç de l’àrea de la base multiplicada per l’alçada.

V = (1/3) × π × r² × h

• r és el radi de la base circular.
• h és l’alçada, mesurada en línia recta des de la base fins al vèrtex.
• π (pi) és aproximadament 3,14159.

Exemple

Un con amb un radi de base de 3 unitats i una alçada de 4 unitats té aquest volum:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 unitats cúbiques

Com es calcula el volum d’un con amb la calculadora

La calculadora té tres entrades:

1. Radi — el radi de la base.
2. Alçada — l’alçada del con, des de la base fins al vèrtex.
3. Alçada truncada (opcional) — l’alçada de la part del tronc de con que es conserva, si es talla la part superior del con.

Si es deixa en blanc l’alçada truncada, o s’hi introdueix 0, s’obté el volum del con complet, sense tallar. Si s’hi introdueix una alçada truncada positiva i més petita que l’alçada completa, s’obté el volum del tronc de con que queda després del tall.

Fórmula del volum d’un con truncat (tronc de con)

El volum d’un tronc de con depèn dels radis de les seves dues cares circulars i de la seva alçada. La fórmula estàndard del tronc de con és:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

• R és el radi de la cara inferior més gran.
• r és el radi de la cara superior més petita.
• h és l’alçada del tronc de con, mesurada entre les dues cares.

La calculadora no demana directament el radi superior. En lloc d’això, pren el radi de la base, l’alçada que tindria el con si no estigués tallat i l’alçada truncada (l’alçada de la peça que es conserva). Després calcula el radi superior amb triangles semblants:

radi superior = radi de la base × (1 − alçada truncada ÷ alçada completa)

Exemple

Suposem que el radi de la base és de 3 unitats, que l’alçada del con complet (sense tallar) és de 12 unitats i que l’alçada truncada és de 4 unitats.

Radi superior = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 unitats

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 unitats cúbiques

Si l’alçada truncada és igual o superior a l’alçada completa, no queda cap part superior per retirar, de manera que la calculadora retorna el volum del con complet.

Història de la fórmula del volum d’un con

Els matemàtics de l’antiga Grècia van ser els primers a relacionar el volum d’un con amb el d’un cilindre. S’atribueix a Demòcrit, actiu a finals del segle 5 aC, l’afirmació que el volum d’un con és igual a un terç del d’un cilindre que comparteix la mateixa base i la mateixa alçada. No ho va demostrar. Eudox de Cnidos, que va treballar al segle següent, en va donar la primera demostració rigorosa mitjançant una tècnica anomenada mètode d’exhaustió, un avantpassat primerenc del càlcul integral. La fórmula V = (1/3)πr²h no ha canviat des d’aleshores.

Usos dels càlculs del volum dels cons

Els volums dels cons i dels troncs de con apareixen sempre que una figura s’estreny des d’una base ampla fins a un punt o una part superior més petita. Els enginyers utilitzen les fórmules per dimensionar tancs cònics, tremuges i embuts. Els arquitectes les utilitzen per estimar els materials necessaris per a cobertes còniques. Els geòlegs les utilitzen per estimar el volum dels cons volcànics i d’altres formes del relleu semblants.

Preguntes freqüents

Com es calcula el volum d’un con?

Multiplica π pel quadrat del radi, multiplica el resultat per l’alçada i després divideix-lo per 3: V = (1/3)πr²h. Un con amb un radi de 5 cm i una alçada de 10 cm té un volum d’aproximadament 261,80 centímetres cúbics.

Quina és la fórmula d’un con truncat (tronc de con)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), on R i r són els radis de les dues cares circulars i h és l’alçada pròpia del tronc de con, mesurada entre aquestes cares.

Com calcula la calculadora el radi superior d’un tronc de con?

Utilitza triangles semblants. El radi superior és igual al radi de la base multiplicat per (1 − alçada truncada ÷ alçada del con complet). Això pressuposa que el tronc de con prové d’un con de costats rectes.

Què passa si l’alçada truncada és major o igual que l’alçada?

La calculadora tracta la figura com un con complet, sense tallar, i retorna V = (1/3)πr²h utilitzant el radi i l’alçada introduïts.

Què passa si el radi o l’alçada és zero o negatiu?

La calculadora exigeix que tant el radi com l’alçada siguin més grans que zero. Si un dels dos és zero, és negatiu o s’ha deixat en blanc, mostra un missatge d’error en lloc d’un volum.

Com es calcula el volum d’un con a partir del diàmetre en lloc del radi?

Divideix el diàmetre per 2 per obtenir el radi i aplica V = (1/3)πr²h com de costum.

Referències

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: con — volum del con V = (1/3)πr²h, un terç de l’àrea de la base multiplicada per l’alçada.
2. Weisstein, Eric W. Conical Frustum. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: tronc de con — volum del tronc de con V = (1/3)πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²).
3. O'Connor, J. J. i Robertson, E. F. Democritus of Abdera. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. MacTutor: Demòcrit — Demòcrit va enunciar per primera vegada la regla d’un terç del con; Eudox la va demostrar més tard.