Calculadora de Volum de Con - Calcula el Volum de Con i Tronc de Con

Què és una calculadora del volum d’un con?

Una calculadora del volum d’un con calcula el volum d’un con o d’un con truncat (un tronc de con) a partir del radi i l’alçada. Un con és un cos sòlid amb una base plana circular que s’estreny suaument fins a un únic punt, anomenat vèrtex. Un tronc de con és el que queda d’un con després de tallar-ne la part superior amb un tall paral·lel a la base, de manera que queden dues cares circulars en lloc d’una.

Fórmula del volum d’un con

El volum d’un con complet depèn del radi de la seva base i de la seva alçada.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V és el volum del con.
• r és el radi de la base circular.
• h és l’alçada, mesurada en línia recta des de la base fins al vèrtex.
• π (pi) és aproximadament 3,14159.

Exemple resolt

Un con amb un radi de base de 3 unitats i una alçada de 4 unitats té aquest volum:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 unitats cúbiques

Com es calcula el volum d’un con amb la calculadora

La calculadora té tres entrades:

1. Radi — el radi de la base.
2. Alçada — l’alçada del con, des de la base fins al vèrtex.
3. Alçada del tall des de la base (opcional) — a quina distància per sobre de la base es talla el con, si se’n retalla la part superior.

Si es deixa en blanc l’alçada del tall o s’hi introdueix 0, s’obté el volum del con complet, sense tallar. Si s’introdueix una alçada del tall inferior a l’alçada completa, s’obté el volum del tronc de con situat per sota del tall. El diagrama situat sota les entrades marca aquestes mateixes tres mesures en la figura.

La calculadora rebutja un radi o una alçada que sigui zero, negativa, que es deixi en blanc o que sigui massa gran per tractar-la com un nombre ordinari. En aquests casos mostra un avís en lloc d’un volum, de manera que mai no mostra una xifra inventada.

Fórmula del volum d’un con truncat (tronc de con)

El volum d’un tronc de con depèn dels radis de les seves dues cares circulars i de la seva pròpia alçada.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R és el radi de la cara inferior més gran.
• r és el radi de la cara superior més petita.
• h és l’alçada del tronc de con, mesurada entre les dues cares.

La calculadora no demana directament el radi superior. En lloc d’això, utilitza el radi de la base, l’alçada que tindria el con si no s’hagués tallat i l’alçada del tall. A continuació, calcula el radi superior mitjançant triangles semblants:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

on c és l'altura de tall per sobre de la base i f, l'altura total del con no truncat.

Exemple resolt

Suposem que el radi de la base és de 3 unitats, que l’alçada del con complet (sense tallar) és de 12 unitats i que l’alçada del tall és de 4 unitats.

Radi superior = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 unitats

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 unitats cúbiques

Si l’alçada del tall és igual o superior a l’alçada completa, el tall es troba al vèrtex o per sobre d’aquest, de manera que no s’elimina res. La calculadora retorna aleshores el volum del con complet i el diagrama dibuixa el con sencer.

Història de la fórmula del volum d’un con

Els matemàtics de l’antiga Grècia van ser els primers a relacionar el volum d’un con amb el d’un cilindre. A Demòcrit, actiu a finals del segle 5 aC, se li atribueix l’afirmació que el volum d’un con és igual a un terç del d’un cilindre amb la mateixa base i alçada. No ho va demostrar. Eudox de Cnidos, que va treballar al segle següent, va donar la primera demostració rigorosa mitjançant una tècnica anomenada mètode d’exhaustió, un antecedent primerenc del càlcul integral. La fórmula V = (1/3)πr²h s’ha mantingut igual des d’aleshores.

Usos dels càlculs del volum dels cons

Els volums dels cons i dels troncs de con apareixen sempre que una figura s’estreny des d’una base ampla fins a un punt o una part superior més petita. Els enginyers utilitzen les fórmules per dimensionar tancs cònics, tremuges i embuts. Els arquitectes les utilitzen per estimar els materials necessaris per a cobertes còniques. Els geòlegs les utilitzen per estimar el volum dels cons volcànics i d’altres formes del relleu semblants.

Preguntes més freqüents

Com es calcula el volum d’un con?

Multiplica π pel quadrat del radi, multiplica el resultat per l’alçada i després divideix-lo per 3: V = (1/3)πr²h. Un con amb un radi de 5 cm i una alçada de 10 cm té un volum d’aproximadament 261,80 centímetres cúbics.

Quina és la fórmula d’un con truncat (tronc de con)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), on R i r són els radis de les dues cares circulars i h és l’alçada pròpia del tronc de con, mesurada entre aquestes cares.

Com calcula la calculadora el radi superior d’un tronc de con?

Utilitza triangles semblants. El radi superior és igual al radi de la base multiplicat per (1 − alçada del tall ÷ alçada completa del con). Això pressuposa que el tronc de con prové d’un con de generatrius rectes.

Què passa si l’alçada del tall és superior o igual a l’alçada?

La calculadora tracta la figura com un con complet, sense tallar, i retorna V = (1/3)πr²h utilitzant el radi i l’alçada introduïts.

Què passa si el radi o l’alçada és zero o negatiu?

La calculadora requereix que tant el radi com l’alçada siguin superiors a zero. Si qualsevol dels dos és zero, negatiu, es deixa en blanc o és massa gran per tractar-lo com un nombre ordinari, mostra un avís en lloc d’un volum.

Com es calcula el volum d’un con a partir del diàmetre en lloc del radi?

Divideix el diàmetre per 2 per obtenir el radi i aplica V = (1/3)πr²h com de costum.

Referències

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Un recurs web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Un recurs web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html