Calculadora de Distribució de Poisson - Calcula Probabilitats d'Esdeveniments

Què és una calculadora de la distribució de Poisson?

Una calculadora de la distribució de Poisson determina la probabilitat que es produeixi un nombre determinat d’esdeveniments en un període de temps o un espai fixos, donada la freqüència mitjana amb què es produeixen. S’utilitza quan els esdeveniments es produeixen d’un en un, de manera independent entre si i a un ritme mitjà constant. Alguns exemples habituals són el nombre de trucades que rep un centre d’atenció telefònica en una hora o el nombre d’errades tipogràfiques d’una pàgina.

Fórmula de la distribució de Poisson

La distribució de Poisson dona la probabilitat que es produeixin exactament k esdeveniments quan el ritme mitjà és λ (la lletra grega lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Cada símbol significa:

• λ (lambda) — el nombre mitjà d’esdeveniments per interval. És l’únic paràmetre de la distribució.
• k — el nombre exacte d’esdeveniments del qual se’n calcula la probabilitat. Ha de ser un nombre enter, 0 o superior.
• e — el nombre d’Euler, una constant fixa igual aproximadament a 2,71828.
• k! — «factorial de k», el producte de tots els nombres enters des de 1 fins a k. Per exemple, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per convenció, 0! = 1.

La fórmula només necessita λ i k. No necessita un nombre total d’assajos, a diferència de la distribució binomial.

Com es calcula una probabilitat de Poisson

1. Trieu λ, el nombre mitjà d’esdeveniments de l’interval estudiat.
2. Trieu k, el nombre exacte d’esdeveniments del qual voleu trobar la probabilitat.
3. Eleveu e a la potència de −λ: això dona e^(−λ).
4. Eleveu λ a la potència de k: això dona λ^k.
5. Trobeu k!, el factorial de k.
6. Multipliqueu els resultats dels passos 3 i 4 i, després, dividiu-los pel resultat del pas 5.

El nombre obtingut és una probabilitat entre 0 i 1. Multipliqueu-lo per 100 per expressar-lo com a percentatge.

Exemple resolt

Un centre d’atenció telefònica rep una mitjana de 5 trucades per hora (λ = 5). Quina és la probabilitat que rebi exactament 3 trucades en una hora determinada (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multipliqueu: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Dividiu per 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilitat que es produeixin exactament 3 trucades en aquella hora és aproximadament 0,140, o 14 %.

Més exemples

On s’utilitza la distribució de Poisson

La distribució de Poisson modelitza el recompte d’esdeveniments rars i independents. Alguns usos habituals són:

• Centres d’atenció telefònica i servei al client: predir quantes trucades o converses arriben per hora.
• Fabricació: estimar el nombre de defectes d’un lot de productes.
• Assegurances: estimar quantes reclamacions arribaran en un període determinat.
• Biologia i medicina: modelitzar el nombre de mutacions o la propagació de malalties rares.
• Física: descriure la desintegració radioactiva, en què cada àtom es desintegra independentment a un ritme mitjà constant.
• Trànsit i enginyeria de xarxes: estimar les arribades de vehicles a una intersecció o les sol·licituds que arriben a un servidor.

Condicions per utilitzar la distribució de Poisson

La distribució de Poisson només s’ajusta a una situació quan es compleixen totes aquestes condicions:

• Els esdeveniments es produeixen d’un en un; dos esdeveniments no poden produir-se exactament en el mateix instant.
• Els esdeveniments es produeixen de manera independent: un esdeveniment no fa que el següent sigui ni més ni menys probable.
• El ritme mitjà, λ, es manté constant durant l’interval estudiat.

Si el ritme canvia amb el temps o els esdeveniments tendeixen a agrupar-se, la distribució de Poisson simple no descriurà bé les dades.

Poisson i distribucions relacionades

• Distribució binomial: s’utilitza quan hi ha un nombre fix d’assajos i una probabilitat d’èxit coneguda en cadascun, com ara llançar una moneda 20 vegades. La distribució de Poisson és el resultat cap al qual tendeix la distribució binomial quan el nombre d’assajos creix molt i la probabilitat d’èxit per assaig tendeix a zero, mentre el seu producte es manté al voltant de λ.
• Distribució normal: per a λ grans, aproximadament per sobre de 20, la distribució de Poisson s’assembla a una distribució normal amb forma de campana, mitjana λ i variància λ.
• Distribució exponencial: mentre que la distribució de Poisson compta quants esdeveniments es produeixen en un interval fix, la distribució exponencial descriu el temps d’espera entre aquests esdeveniments.

Una nota sobre la història

El matemàtic francès Siméon Denis Poisson va introduir la distribució l’any 1837, en un llibre sobre la probabilitat aplicada a les sentències judicials. Al principi va despertar poc interès. El seu ús es va estendre a principis del segle 20, després que estadístics com Ladislaus Bortkiewicz i Ronald Fisher l’apliquessin a dades reals de recomptes, inclòs un estudi famós sobre soldats prussians morts per coçades de cavall.

Preguntes freqüents

Què significa lambda (λ) en una distribució de Poisson? Lambda és el nombre mitjà d’esdeveniments esperats en l’interval estudiat. També és la variància de la distribució, de manera que un λ més gran implica tant un recompte mitjà més alt com una dispersió més gran en els resultats possibles.

k o λ poden ser negatius o fraccionaris? λ ha de ser més gran que 0, però pot ser decimal, com ara 2,5 esdeveniments per hora. k ha de ser un nombre enter de 0 o més, ja que compta esdeveniments reals; no pot ser negatiu ni fraccionari.

En què es diferencia la distribució de Poisson de la distribució binomial? La distribució binomial necessita un nombre fix d’assajos i una probabilitat d’èxit fixa per assaig. La distribució de Poisson només necessita un ritme mitjà i funciona per a esdeveniments que, en principi, es poden produir qualsevol nombre de vegades.

Quan s’ha d’utilitzar la distribució normal en lloc de la de Poisson? Per a λ grans, generalment per sobre d’aproximadament 20, una distribució normal amb la mateixa mitjana i variància aproxima estretament la distribució de Poisson i sovint és més fàcil de calcular manualment.

Per què la calculadora de vegades mostra un nombre en notació científica? Els resultats normalment es mostren amb sis decimals. Quan una probabilitat és inferior a 0,0001, sis decimals l’arrodonirien a 0,000000 i ocultarien com n’és de petita realment, de manera que la calculadora canvia a la notació científica. Per a λ = 20 i k = 1, mostra 4.122307e-8, que significa 0,00000004122307.

Hi ha límits per als valors que accepta la calculadora? Sí. λ ha de ser més gran que 0 i no superior a 700, i k ha de ser un nombre enter entre 0 i 1000. Fora d’aquests límits, la calculadora mostra un error. Aquests límits mantenen el resultat dins de l’interval de nombres que pot emmagatzemar un ordinador i el gràfic amb un nombre de barres que es pugui llegir.

La distribució de Poisson permet més d’un esdeveniment alhora? No. El model suposa que els esdeveniments es produeixen d’un en un. Si dos esdeveniments es produeixen habitualment alhora, una altra distribució s’ajusta millor a les dades.

Referències

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. París, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Nova York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, secció 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp i Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.