Calculadora de Distribució de Laplace

Introducció

La distribució de Laplace, també coneguda com la distribució doble exponencial, és una distribució de probabilitat contínua anomenada així en honor a Pierre-Simon Laplace. És simètrica al voltant de la seva mitjana (paràmetre de localització) i té cua més pesades en comparació amb la distribució normal. Aquesta calculadora et permet calcular la funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució de Laplace per a paràmetres donats i visualitzar la seva forma.

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

1. Introdueix el paràmetre de localització (μ), que representa la mitjana de la distribució.
2. Introdueix el paràmetre d'escala (b), que determina la dispersió de la distribució (b > 0).
3. La calculadora mostrarà el valor de la funció de densitat de probabilitat (PDF) en x = 0 i mostrarà un gràfic de la distribució.

Nota: El paràmetre d'escala ha de ser estrictament positiu (b > 0).

Fórmula

La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució de Laplace es dóna per:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

On:

• x és la variable
• μ (mu) és el paràmetre de localització
• b és el paràmetre d'escala (b > 0)

Càlcul

La calculadora utilitza aquesta fórmula per calcular el valor de PDF en x = 0 basant-se en la informació proporcionada pel usuari. Aquí tens una explicació pas a pas:

1. Validar les entrades: Assegura't que el paràmetre d'escala b sigui positiu.
2. Calcular |x - μ|: En aquest cas, és simplement |0 - μ| = |μ|.
3. Calcular el terme exponencial: $\exp(-|μ| / b)$
4. Calcular el resultat final: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Casos límit a considerar:

• Si b ≤ 0, mostrar un missatge d'error.
• Per a |μ| molt grans o b molt petits, el resultat pot ser extremadament proper a zero.
• Per a μ = 0, el PDF assolirà el seu valor màxim de 1/(2b) en x = 0.

Casos d'Ús

La distribució de Laplace té diverses aplicacions en diferents camps:

1. Processament de Senyals: S'utilitza en la modelització i anàlisi de senyals d'àudio i imatge.

2. Finances: S'aplica en la modelització de rendiments financers i avaluació de riscos.

3. Aprenentatge Automàtic: S'utilitza en el mecanisme de Laplace per a la privadesa diferencial i en alguns models d'inferència bayesiana.

4. Processament del Llenguatge Natural: S'aplica en models de llenguatge i tasques de classificació de textos.

5. Geologia: S'utilitza en la modelització de la distribució de les magnituds dels terratrèmols (llei de Gutenberg-Richter).

Alternatives

Si bé la distribució de Laplace és útil en molts escenaris, hi ha altres distribucions de probabilitat que podrien ser més adequades en certes situacions:

1. Distribució Normal (Gaussiana): Més comunament utilitzada per modelar fenòmens naturals i errors de mesura.

2. Distribució de Cauchy: Té cues encara més pesades que la distribució de Laplace, útil per modelar dades amb outliers.

3. Distribució Exponencial: S'utilitza per modelar el temps entre esdeveniments en un procés de Poisson.

4. Distribució t de Student: Sovint utilitzada en proves d'hipòtesis i modelatge de rendiments financers.

5. Distribució Logística: Similar en forma a la distribució normal però amb cues més pesades.

Història

La distribució de Laplace va ser introduïda per Pierre-Simon Laplace en el seu memòria de 1774 "Sobre la Probabilitat de les Causes dels Esdeveniments." No obstant això, la distribució va guanyar més prominència a principis del segle XX amb el desenvolupament de l'estadística matemàtica.

Fites clau en la història de la distribució de Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace introdueix la distribució en la seva obra sobre teoria de la probabilitat.
2. Anys 1930: La distribució és redescoberta i aplicada en diversos camps, incloent economia i enginyeria.
3. Anys 1960: La distribució de Laplace guanya importància en estadística robusta com a alternativa a la distribució normal.
4. Anys 1990-present: Ús augmentat en aprenentatge automàtic, processament de senyals i modelatge financer.

Exemples

Aquí tens alguns exemples de codi per calcular la PDF de la distribució de Laplace:

1' Funció VBA d'Excel per a la PDF de la Distribució de Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Ús:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("El paràmetre d'escala ha de ser positiu")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Exemple d'ús:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Valor de PDF en x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("El paràmetre d'escala ha de ser positiu");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Exemple d'ús:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Valor de PDF en x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("El paràmetre d'escala ha de ser positiu");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Valor de PDF en x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Aquests exemples demostren com calcular la PDF de la distribució de Laplace per a paràmetres donats. Pots adaptar aquestes funcions a les teves necessitats específiques o integrar-les en sistemes d'anàlisi estadística més grans.

Exemples Numèrics

1. Distribució de Laplace Estàndard:

   • Localització (μ) = 0
   • Escala (b) = 1
   • PDF en x = 0: 0.500000

2. Distribució de Laplace Desplaçada:

   • Localització (μ) = 2
   • Escala (b) = 1
   • PDF en x = 0: 0.183940

3. Distribució de Laplace Escalada:

   • Localització (μ) = 0
   • Escala (b) = 3
   • PDF en x = 0: 0.166667

4. Distribució de Laplace Desplaçada i Escalada:

   • Localització (μ) = -1
   • Escala (b) = 0.5
   • PDF en x = 0: 0.367879

Referències

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Distribució de Laplace." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accedit 2 d'Agost de 2024.