Calculadora de Distribució de Laplace - Eina Gratuïta de PDF i Visualització

Què és la distribució de Laplace?

La distribució de Laplace, també anomenada distribució doblement exponencial, és una distribució de probabilitat contínua amb la forma de dues corbes exponencials unides esquena contra esquena pel màxim. És simètrica al voltant d’un valor central i té cues més pesants que la distribució normal, de manera que assigna més probabilitat als valors extrems. La calculadora de la distribució de Laplace d’aquesta pàgina troba la densitat de probabilitat màxima de la distribució a partir d’un paràmetre de localització i un paràmetre d’escala, i dibuixa la corba de densitat completa.

La distribució rep el nom de Pierre-Simon Laplace, el matemàtic francès que la va descriure per primera vegada l’any 1774.

Fórmula de la distribució de Laplace

La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució de Laplace és:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x és qualsevol punt de la recta numèrica.
• μ (mu), el paràmetre de localització, és el centre de la distribució. També és la mitjana i la mediana.
• b, el paràmetre d’escala, controla com d’estesa és la distribució. Ha de ser més gran que 0.
• |x − μ| és la distància entre x i el centre, sense tenir en compte la direcció.

La corba arriba al seu punt més alt exactament a x = μ. En aquest punt, la fórmula se simplifica, perquè |μ − μ| = 0 i exp(0) = 1, i queda:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Aquest valor màxim, 1/(2b), és el nombre que mostra la calculadora.

Com s’utilitza la calculadora de la distribució de Laplace

1. Introdueix el paràmetre de localització (μ). Això estableix on se centra la distribució.
2. Introdueix el paràmetre d’escala (b). Ha de ser un nombre positiu; com més gran sigui el valor, més plana i estesa serà la corba.
3. La calculadora mostra la densitat màxima, 1/(2b), i representa la corba de densitat f(x) des de μ − 4b fins a μ + 4b. L’eix vertical del gràfic és la densitat de probabilitat, i la corba es pot baixar com una taula de valors x i f(x).

La calculadora no demana un valor x independent. Sempre mostra la densitat en el màxim de la mateixa distribució, x = μ, perquè aquest és el valor resum únic més útil per comparar distribucions amb escales diferents. Per trobar la densitat en un altre punt, utilitza la fórmula anterior amb el valor x que t’interessi o llegeix l’altura en el gràfic.

Exemple resolt

Prenem una ubicació de μ = 4 i una escala de b = 2.

1. Comprova que b és positiu: 2 > 0, de manera que les entrades són vàlides.
2. El màxim es troba a x = μ = 4, on |x − μ| = 0.
3. Calcula la densitat màxima: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

La calculadora mostra 0,250000. La corba representada assoleix el màxim a (4, 0,25) i decreix simètricament a banda i banda, estenent-se des de μ − 4b fins a μ + 4b, és a dir, des de −4 fins a 12 en aquest cas.

Com que la fórmula de la densitat màxima, 1/(2b), no inclou μ, canviar la localització només desplaça la corba cap a l’esquerra o cap a la dreta. No en canvia l’altura. Només el paràmetre d’escala en canvia l’altura.

Més exemples

Mitjana, variància i desviació estàndard

Per a una distribució de Laplace amb localització μ i escala b:

• Mitjana = μ
• Mediana = μ
• Variància = 2b²
• Desviació estàndard = b√2

Distribució de Laplace i distribució normal

Ambdues distribucions són simètriques i tenen forma de campana, i totes dues es descriuen completament mitjançant un centre i un paràmetre de dispersió. La diferència es troba en les cues. En la distribució normal, la densitat disminueix amb el quadrat de la distància respecte de la mitjana, de manera que els valors extrems esdevenen molt ràpidament extremament improbables. En la distribució de Laplace, disminueix amb la distància simple, de manera que els valors extrems continuen sent comparativament més probables. Això fa que la distribució de Laplace sigui útil sempre que les dades reals tinguin més valors atípics dels que prediria una distribució normal.

Usos habituals

• Processament de senyals i imatges: modelització del soroll i compressió d’imatges, ja que les diferències entre píxels o senyals sovint es concentren prop de zero, amb salts grans ocasionals.
• Privacitat diferencial: el mecanisme de Laplace afegeix soroll distribuït segons Laplace als resultats de les consultes per protegir les dades individuals i conservar la precisió global.
• Estadística robusta i regressió: la regressió Lasso utilitza una distribució a priori amb forma de Laplace, que afavoreix solucions en què molts coeficients són exactament zero.
• Finances: modelització dels rendiments dels actius, que tendeixen a tenir cues més pesants del que suggereix una distribució normal.
• Sismologia: apareix en models dels patrons de magnitud dels terratrèmols relacionats amb la llei de Gutenberg-Richter.

Preguntes freqüents

Què significa el resultat de la calculadora?

És el valor màxim de la funció de densitat de probabilitat, igual a 1/(2b). És l’altura de la corba al seu centre, x = μ.

Per què la calculadora no demana un valor x?

La densitat màxima, 1/(2b), és la mateixa per a tot valor de x igual a μ, de manera que no cal cap entrada x independent per trobar-la. És el nombre únic estàndard que s’utilitza per comparar com d’alta i estreta, o baixa i ampla, és una distribució de Laplace respecte d’una altra. La corba completa, que mostra la densitat per a cada x, està disponible al gràfic.

Com trobo la densitat en un punt diferent del màxim?

Utilitza la fórmula $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ amb el valor x que t’interessi o llegeix directament l’altura de la corba representada.

En què es diferencia la distribució de Laplace de la distribució exponencial?

La distribució de Laplace es pot construir a partir de dues distribucions exponencials. Si X i Y són variables aleatòries exponencials independents amb el mateix paràmetre de taxa, aleshores X − Y segueix una distribució de Laplace centrada en 0.

Quins són els usos habituals de la distribució de Laplace?

S’utilitza en el processament de senyals, la compressió d’imatges, la privacitat diferencial, l’estadística robusta, la regressió Lasso i la modelització dels rendiments financers i les magnituds dels terratrèmols, sempre que les dades reals mostrin més valors extrems dels que prediu una distribució normal.

La distribució de Laplace pot ser negativa o només s’aplica a valors positius?

Es defineix per a tots els nombres reals, tant positius com negatius, a diferència de la distribució exponencial, que només pren valors no negatius.

Referències

1. Kotz, S., Kozubowski, T., i Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Viquipèdia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution