Obloukový kalkulátor - Výpočet poloměru, rozpětí a vzepětí

Co je kalkulačka oblouků?

Kalkulačka oblouků určí rozměry kruhového oblouku — jeho poloměr, rozpětí a vzepětí — z libovolných dvou těchto hodnot. Vypočítá také délku oblouku a plochu oblouku. Architekti, stavitelé a kutilové ji používají při plánování dveřních otvorů, oken, mostů a zahradních prvků zakřiveného tvaru.

Základní rozměry oblouku

Kruhový oblouk je část vyříznutá z obvodu kruhu. Jeho tvar popisuje pět měření:

• Poloměr: vzdálenost od středu kruhu ke kterémukoli bodu křivky oblouku.
• Rozpětí: přímá vodorovná vzdálenost mezi dvěma dolními konci oblouku, nazývaná také šířka.
• Vzepětí: svislá vzdálenost od patní čáry (vodorovné čáry spojující oba konce) k nejvyššímu bodu oblouku.
• Délka oblouku: vzdálenost podél zakřivené čáry oblouku od jednoho konce ke druhému.
• Plocha oblouku: plocha zakřivené oblasti uzavřené mezi obloukem a patní čárou.

Vzorce pro rozměry oblouku

Tyto vzorce platí pro kruhový oblouk, tedy oblouk tvořený kruhovou úsečí jedné kružnice. Většina dveřních, okenních a mostních oblouků má vzepětí nejvýše rovné poloměru. Kalkulačka zvládne i vyšší podkovovité oblouky, u nichž je vzepětí větší než poloměr, ale nejvýše dvojnásobek poloměru. U podkovovitého oblouku tvoří křivka více než půlkruh, takže se konce stáčejí zpět dovnitř.

Vzorec pro vzepětí (z poloměru a rozpětí)

$\text{Výška} = \text{Poloměr} - \sqrt{\text{Poloměr}^2 - \left(\frac{\text{Rozpětí}}{2}\right)^2}$

Platí, když jsou poloměr a rozpětí kladné a rozpětí ≤ 2 × poloměr. Tento vzorec dává nižší ze dvou oblouků, které odpovídají danému poloměru a rozpětí, takže vrácené vzepětí není nikdy větší než poloměr. Kalkulačka jej počítá v rovnocenném upraveném tvaru, (Rozpětí/2)² ÷ (Poloměr + √(Poloměr² − (Rozpětí/2)²)), který zůstává přesný i pro velmi ploché oblouky.

Vzorec pro poloměr (z rozpětí a vzepětí)

$\text{Poloměr} = \frac{\text{Rozpětí}^2}{8 \times \text{Výška}} + \frac{\text{Výška}}{2}$

Platí, pokud jsou rozpětí a vzepětí kladné.

Vzorec pro rozpětí (z poloměru a vzepětí)

$\text{Rozpětí} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Poloměr} \times \text{Výška} - \text{Výška}^2}$

Platí, když jsou poloměr a vzepětí kladné a vzepětí ≤ 2 × poloměr. Vzepětí větší než poloměr dává podkovovitý oblouk. Vzepětí přesně rovné dvojnásobku poloměru uzavře kružnici a rozpětí se stane 0.

Vzorec pro délku oblouku

$\text{Délka oblouku} = \text{Poloměr} \times \theta$

Zde θ (théta) je středový úhel v radiánech, který křivka oblouku opisuje ve středu kružnice. Kalkulačka jej určí pomocí arkus tangens se dvěma argumenty, atan2, který funguje pro všechny tvary oblouků, včetně podkovovitých oblouků, kde je θ větší než π:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{Rozpětí}}{2},\ \text{Poloměr} - \text{Výška}\right)$

Pokud vzepětí není větší než poloměr, dává to stejný úhel jako jednodušší tvar:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Rozpětí}}{2 \times \text{Poloměr}}\right)$

Vzorec pro plochu oblouku

$\text{Plocha oblouku} = \frac{1}{2} \times \text{Poloměr}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

Je to plocha kruhové výseče mínus trojúhelník mezi jejími dvěma poloměry. Rozepsáno je to totéž jako:

$\text{Plocha oblouku} = \frac{1}{2} \times \text{Poloměr}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Rozpětí} \times (\text{Poloměr} - \text{Výška})$

U podkovovitého oblouku je Poloměr − Vzepětí záporné, takže se člen trojúhelníku přičítá, místo aby se odečítal.

Jak používat kalkulačku oblouků

Kalkulačka nabízí tři režimy, jeden pro každý rozměr, který může chybět.

Vypočítat vzepětí, pokud jsou známé poloměr a rozpětí: zadejte poloměr a rozpětí. Nástroj vrátí vzepětí, délku oblouku a plochu oblouku.

Vypočítat poloměr, pokud jsou známy rozpětí a vzepětí: zadejte rozpětí a vzepětí. Nástroj vrátí poloměr, délku oblouku a plochu oblouku.

Vypočítat rozpětí, pokud jsou známy poloměr a vzepětí: zadejte poloměr a vzepětí. Nástroj vrátí rozpětí, délku oblouku a plochu oblouku.

Kalkulačka odmítne vstupy, které nemohou vytvořit skutečný oblouk. Rozpětí nesmí přesáhnout dvojnásobek poloměru, vzepětí nesmí přesáhnout dvojnásobek poloměru a každý rozměr musí být kladné číslo. Pokud hodnota poruší některé z těchto pravidel, zobrazí chybové hlášení.

Praktické příklady

Příklad 1: Oblouk nad dveřmi

Oblouk nad dveřmi má rozpětí 36 palců a vzepětí 12 palců.

Poloměr = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 palců (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiánů

Délka oblouku = 19,5 × 2,352 = 45,86 palců (116 cm)

Plocha oblouku = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 čtverečních palců (2 010 cm²)

Příklad 2: Zahradní oblouk

Zahradní oblouk má poloměr 4 stop a rozpětí 6 stop.

Vzepětí = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 stopy (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiánů

Délka oblouku = 4 × 1,696 = 6,78 stop (2,07 m)

Plocha oblouku = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 čtverečních stop (0,523 m²)

Příklad 3: Mostní oblouk

Mostní oblouk má rozpětí 50 stop a vzepětí 15 stop.

Poloměr = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 stop (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiánů

Délka oblouku = 28,33 × 2,162 = 61,25 stop (18,7 m)

Plocha oblouku = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 čtverečních stop (49,6 m²)

Příklad 4: Podkovovitý oblouk

Ozdobný podkovovitý oblouk má poloměr 10 palců a vzepětí 15 palců. Vzepětí je větší než poloměr, takže křivka tvoří více než půlkruh.

Rozpětí = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17,32 palce (44 cm)

θ = 2 × atan2(8,66, 10 − 15) = 2 × atan2(8,66, −5) = 4,189 radiánu (240°)

Délka oblouku = 10 × 4,189 = 41,89 palce (106 cm)

Plocha oblouku = 0,5 × 10² × (4,189 − sin 4,189) = 50 × (4,1888 + 0,8660) = 50 × 5,0548 = 252,74 čtverečního palce (1 630 cm²)

Běžné použití výpočtů oblouků

Stavitelé používají rozměry oblouků k nařezání bednění pro betonové oblouky, k vytvoření šablon z cihel nebo kamene pro zděné oblouky a k plánování zakřivení klenutých stropů. Projektanti mostů používají rozpětí, vzepětí a poloměr k vyvážení rozložení zatížení a potřebné průjezdné výšky. Při restaurování se stejné vzorce používají k přesnému určení geometrie historického oblouku při jeho opravě nebo obnově. Zahradníci a kutilové je používají pro obloukové treláže, branky a dekorativní otvory.

Tato kalkulačka je určena pouze pro kruhové oblouky, tedy oblouky vytvořené z části jediného kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a řetězovkové oblouky mají jiné křivky a vyžadují jiné vzorce.

Stručná historie oblouku

Stavitelé ve starověké Mezopotámii používali rané formy podobné obloukům již kolem 2500 př. n. l., většina z nich však vznikala převislým zděním — skládáním kamenů tak, aby každá vrstva přesahovala vrstvu pod ní — nikoli jako skutečný zakřivený oblouk. Římané rozvinuli půlkruhový oblouk ve standardní stavební metodu a používali jej u akvaduktů, mostů i staveb, jako bylo Koloseum. Středověcí stavitelé v Evropě vyvinuli lomený gotický oblouk, který umožnil stavět vyšší a lehčí konstrukce. Pozdější architekti se vrátili k půlkruhovým tvarům založeným na přesných proporcích a moderní materiály, jako je ocel a železobeton, dnes umožňují překlenout mnohem větší vzdálenosti.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi vzepětím a výškou oblouku?

Vzepětí je svislá vzdálenost od patní čáry k vrcholu křivky oblouku. Výška někdy označuje celkovou výšku otvoru včetně případné rovné stěny pod patní čárou.

Funguje tato kalkulačka pro všechny typy oblouků?

Ne. Funguje pouze pro kruhové oblouky, tedy oblouky tvarované jako část kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a řetězovkové oblouky mají jiné křivky a vyžadují samostatné vzorce.

Jaký je vztah mezi rozpětím a poloměrem u půlkruhového oblouku?

U půlkruhového oblouku se poloměr rovná polovině rozpětí a vzepětí se rovná poloměru. Oblouk tvoří přesně polovinu kruhu.

Proč nemůže být rozpětí větší než dvojnásobek poloměru?

Rozpětí rovné dvojnásobku poloměru již vytváří půlkruh, tedy nejširší možný oblouk s daným poloměrem. Větší rozpětí by se do kruhu vůbec nevešlo.

Může být vzepětí větší než poloměr?

Ano. Vzepětí mezi poloměrem a dvojnásobkem poloměru dává podkovovitý oblouk, který tvoří více než půlkruh. Vzepětí nemůže přesáhnout dvojnásobek poloměru, protože to je plná výška kruhu. V režimu výpočtu vzepětí nástroj vždy vrací nižší oblouk, takže jeho vzepětí není nikdy větší než poloměr.

Jaké jednotky kalkulačka používá?

Lze použít libovolnou konzistentní jednotku — palce, stopy, metry nebo centimetry. Zadejte všechny hodnoty ve stejné jednotce a výsledky budou ve stejné jednotce, přičemž plocha bude uvedena v této jednotce na druhou.