Obloukový kalkulátor - Výpočet poloměru, rozpětí a vzepětí

Co je kalkulačka oblouků?

Kalkulačka oblouků určí rozměry kruhového oblouku — jeho poloměr, rozpětí a vzepětí — z libovolných dvou těchto hodnot. Vypočítá také délku oblouku a plochu oblouku. Architekti, stavitelé a kutilové ji používají při plánování dveřních otvorů, oken, mostů a zahradních prvků zakřiveného tvaru.

Základní rozměry oblouku

Kruhový oblouk je část vyříznutá z obvodu kruhu. Jeho tvar popisuje pět měření:

• Poloměr: vzdálenost od středu kruhu ke kterémukoli bodu křivky oblouku.
• Rozpětí: přímá vodorovná vzdálenost mezi dvěma dolními konci oblouku, nazývaná také šířka.
• Vzepětí: svislá vzdálenost od patní čáry (vodorovné čáry spojující oba konce) k nejvyššímu bodu oblouku.
• Délka oblouku: vzdálenost podél zakřivené čáry oblouku od jednoho konce ke druhému.
• Plocha oblouku: plocha zakřivené oblasti uzavřené mezi obloukem a patní čárou.

Vzorce pro rozměry oblouku

Tyto vzorce platí pro kruhový oblouk, tedy oblouk vytvořený z části jediného kruhu. Platí pro libovolné vzepětí až do dvojnásobku poloměru. Tento rozsah zahrnuje oblouky dveří, oken a mostů, které se nejčastěji počítají, a také podkovovité oblouky, u nichž křivka pokračuje za půlkruh.

Vzorec pro vzepětí (z poloměru a rozpětí)

$\text{Výška} = \text{Poloměr} - \sqrt{\text{Poloměr}^2 - \left(\frac{\text{Rozpětí}}{2}\right)^2}$

Platí, pokud jsou poloměr a rozpětí kladné a rozpětí ≤ 2 × poloměr.

Vzorec pro poloměr (z rozpětí a vzepětí)

$\text{Poloměr} = \frac{\text{Rozpětí}^2}{8 \times \text{Výška}} + \frac{\text{Výška}}{2}$

Platí, pokud jsou rozpětí a vzepětí kladné.

Vzorec pro rozpětí (z poloměru a vzepětí)

$\text{Rozpětí} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Poloměr} \times \text{Výška} - \text{Výška}^2}$

Platí, pokud jsou poloměr a vzepětí kladné a vzepětí ≤ 2 × poloměr.

Vzorec pro délku oblouku

$\text{Délka oblouku} = \text{Poloměr} \times \theta$

θ (theta) je středový úhel v radiánech, který křivka oblouku vytváří ve středu kruhu. Pokud vzepětí není větší než poloměr, je oblouk nejvýše půlkruhem a θ je:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Pokud je vzepětí větší než poloměr, je oblouk větší než půlkruh a θ představuje zbývající část kruhu:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Kalkulačka obě situace řeší v jediném kroku pomocí vztahu θ = 2 × atan2(Span ÷ 2, Radius − Rise), který zůstává přesný i u půlkruhu.

Vzorec pro plochu oblouku

$\text{Plocha oblouku} = \frac{1}{2} \times \text{Poloměr}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Rozpětí} \times (\text{Poloměr} - \text{Výška})$

Jak používat kalkulačku oblouků

Kalkulačka nabízí tři režimy, jeden pro každý rozměr, který může chybět.

Vypočítat vzepětí, pokud jsou známé poloměr a rozpětí: zadejte poloměr a rozpětí. Nástroj vrátí vzepětí, délku oblouku a plochu oblouku.

Vypočítat poloměr, pokud jsou známy rozpětí a vzepětí: zadejte rozpětí a vzepětí. Nástroj vrátí poloměr, délku oblouku a plochu oblouku.

Vypočítat rozpětí, pokud jsou známy poloměr a vzepětí: zadejte poloměr a vzepětí. Nástroj vrátí rozpětí, délku oblouku a plochu oblouku.

Kalkulačka odmítne vstupy, které nemohou vytvořit skutečný oblouk. Rozpětí nesmí přesáhnout dvojnásobek poloměru, vzepětí nesmí přesáhnout dvojnásobek poloměru a každý rozměr musí být kladné číslo. Pokud hodnota poruší některé z těchto pravidel, zobrazí chybové hlášení.

Příklad výpočtu

Příklad 1: Oblouk nad dveřmi

Oblouk nad dveřmi má rozpětí 36 palců a vzepětí 12 palců.

Poloměr = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 palců (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiánů

Délka oblouku = 19,5 × 2,352 = 45,86 palců (116 cm)

Plocha oblouku = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 čtverečních palců (2 010 cm²)

Příklad 2: Zahradní oblouk

Zahradní oblouk má poloměr 4 stop a rozpětí 6 stop.

Vzepětí = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 stopy (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiánů

Délka oblouku = 4 × 1,696 = 6,78 stop (2,07 m)

Plocha oblouku = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 čtverečních stop (0,523 m²)

Příklad 3: Mostní oblouk

Mostní oblouk má rozpětí 50 stop a vzepětí 15 stop.

Poloměr = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 stop (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiánů

Délka oblouku = 28,33 × 2,162 = 61,25 stop (18,7 m)

Plocha oblouku = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 čtverečních stop (49,6 m²)

Běžné použití výpočtů oblouků

Stavitelé používají rozměry oblouků k nařezání bednění pro betonové oblouky, k vytvoření šablon z cihel nebo kamene pro zděné oblouky a k plánování zakřivení klenutých stropů. Projektanti mostů používají rozpětí, vzepětí a poloměr k vyvážení rozložení zatížení a potřebné průjezdné výšky. Při restaurování se stejné vzorce používají k přesnému určení geometrie historického oblouku při jeho opravě nebo obnově. Zahradníci a kutilové je používají pro obloukové treláže, branky a dekorativní otvory.

Tato kalkulačka je určena pouze pro kruhové oblouky, tedy oblouky vytvořené z části jediného kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a řetězovkové oblouky mají jiné křivky a vyžadují jiné vzorce.

Stručná historie oblouku

Stavitelé ve starověké Mezopotámii používali rané formy podobné obloukům již kolem 2500 př. n. l., většina z nich však vznikala převislým zděním — skládáním kamenů tak, aby každá vrstva přesahovala vrstvu pod ní — nikoli jako skutečný zakřivený oblouk. Římané rozvinuli půlkruhový oblouk ve standardní stavební metodu a používali jej u akvaduktů, mostů i staveb, jako bylo Koloseum. Středověcí stavitelé v Evropě vyvinuli lomený gotický oblouk, který umožnil stavět vyšší a lehčí konstrukce. Pozdější architekti se vrátili k půlkruhovým tvarům založeným na přesných proporcích a moderní materiály, jako je ocel a železobeton, dnes umožňují překlenout mnohem větší vzdálenosti.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi vzepětím a výškou oblouku?

Vzepětí je svislá vzdálenost od patní čáry k vrcholu křivky oblouku. Výška někdy označuje celkovou výšku otvoru včetně případné rovné stěny pod patní čárou.

Funguje tato kalkulačka pro všechny typy oblouků?

Ne. Funguje pouze pro kruhové oblouky, tedy oblouky tvarované jako část kruhu. Eliptické, parabolické, gotické a řetězovkové oblouky mají jiné křivky a vyžadují samostatné vzorce.

Jaký je vztah mezi rozpětím a poloměrem u půlkruhového oblouku?

U půlkruhového oblouku se poloměr rovná polovině rozpětí a vzepětí se rovná poloměru. Oblouk tvoří přesně polovinu kruhu.

Proč nemůže být rozpětí větší než dvojnásobek poloměru?

Rozpětí rovné dvojnásobku poloměru již vytváří půlkruh, tedy nejširší možný oblouk s daným poloměrem. Větší rozpětí by se do kruhu vůbec nevešlo.

Proč nemůže být vzepětí větší než dvojnásobek poloměru (v režimu výpočtu rozpětí)?

Vzepětí se měří od patní čáry k nejvyššímu bodu oblouku na témže kruhu. Dvojnásobek poloměru odpovídá celé výšce kruhu, takže větší vzepětí by umístilo vrchol oblouku zcela mimo kruh. Vzepětí mezi poloměrem a jeho dvojnásobkem je v pořádku. Oblouk je pak větší než půlkruh, což je tvar používaný u podkovovitých oblouků.

Jaké jednotky kalkulačka používá?

Lze použít libovolnou konzistentní jednotku — palce, stopy, metry nebo centimetry. Zadejte všechny hodnoty ve stejné jednotce a výsledky budou ve stejné jednotce, přičemž plocha bude uvedena v této jednotce na druhou.