Kalkulátor Millerových indexů - Převod interceptů krystalové roviny na hkl notaci

Kalkulátor Millerových indexů: Základní nástroj pro krystalografii

Kalkulátor Millerových indexů je mocný online nástroj pro krystalografy, vědce v oblasti materiálů a studenty, který umožňuje určit Millerovy indexy krystalových rovin. Millerovy indexy jsou notací používanou v krystalografii k určení rovin a směrů v krystalových mřížkách. Tento kalkulátor Millerových indexů vám umožňuje snadno převést intercepty krystalové roviny s osami souřadnic na odpovídající Millerovy indexy (hkl), což poskytuje standardizovaný způsob, jak identifikovat a komunikovat o konkrétních krystalových rovinách.

Millerovy indexy jsou zásadní pro pochopení krystalových struktur a jejich vlastností. Představováním rovin jednoduchou sadou tří celých čísel (h,k,l) umožňují Millerovy indexy vědcům analyzovat vzory rentgenové difrakce, předpovídat chování růstů krystalů, vypočítávat mezilehlé vzdálenosti a studovat různé fyzikální vlastnosti, které závisí na krystalografické orientaci.

Co jsou Millerovy indexy v krystalografii?

Millerovy indexy jsou sada tří celých čísel (h,k,l), která definují rodinu paralelních rovin v krystalové mřížce. Tyto indexy jsou odvozeny z převrácených hodnot zlomkových interceptů, které rovina vytváří s krystalografickými osami. Notace Millerových indexů poskytuje standardizovaný způsob, jak identifikovat konkrétní krystalové roviny v rámci krystalové struktury, což je nezbytné pro aplikace v krystalografii a vědě o materiálech.

Vizualizace Millerových indexů

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Rovina

Millerovy indexy (3,2,1) Krystalová rovina

3D vizualizace krystalové roviny s Millerovými indexy (3,2,1). Rovina interceptuje osy x, y a z v bodech 2, 3 a 6, což vede k Millerovým indexům (3,2,1) po převrácení a nalezení nejmenší sady celých čísel se stejným poměrem.

Vzorec a metoda výpočtu Millerových indexů

Pro výpočet Millerových indexů (h,k,l) krystalové roviny postupujte podle těchto matematických kroků pomocí našeho kalkulátoru Millerových indexů:

Určete intercepty roviny s osami x, y a z krystalografickými osami, což dává hodnoty a, b a c.
Vezměte převrácené hodnoty těchto interceptů: 1/a, 1/b, 1/c.
Převést tyto převrácené hodnoty na nejmenší sadu celých čísel, která udržuje stejný poměr.
Výsledné tři celá čísla jsou Millerovy indexy (h,k,l).

Matematicky to lze vyjádřit jako:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kde:

(h,k,l) jsou Millerovy indexy
a, b, c jsou intercepty roviny s osami x, y a z, respektive

Zvláštní případy a konvence

Několik zvláštních případů a konvencí je důležitých pro pochopení:

Intercepty nekonečna: Pokud je rovina paralelní k ose, její intercept se považuje za nekonečno a odpovídající Millerův index se stává nulovým.
Negativní indexy: Pokud rovina interceptuje osu na negativní straně počátku, odpovídající Millerův index je negativní, označený čárou nad číslem v krystalografické notaci, např. (h̄kl).
Zlomkové intercepty: Pokud jsou intercepty zlomkové, převádějí se na celá čísla násobením nejmenším společným násobkem.
Zjednodušení: Millerovy indexy jsou vždy zredukovány na nejmenší sadu celých čísel, která udržuje stejný poměr.

Jak používat kalkulátor Millerových indexů: Krok za krokem

Náš kalkulátor Millerových indexů poskytuje jednoduchý způsob, jak určit Millerovy indexy pro jakoukoli krystalovou rovinu. Zde je návod, jak používat kalkulátor Millerových indexů:

Zadejte intercepty: Zadejte hodnoty, kde rovina interceptuje osy x, y a z.
- Použijte kladná čísla pro intercepty na kladné straně počátku.
- Použijte záporná čísla pro intercepty na záporné straně.
- Zadejte "0" pro roviny, které jsou paralelní k ose (intercept nekonečna).
Zobrazte výsledky: Kalkulátor automaticky vypočítá a zobrazí Millerovy indexy (h,k,l) pro zadanou rovinu.
Vizualizujte rovinu: Kalkulátor zahrnuje 3D vizualizaci, která vám pomůže pochopit orientaci roviny v rámci krystalové mřížky.
Kopírujte výsledky: Použijte tlačítko "Kopírovat do schránky", abyste snadno přenesli vypočítané Millerovy indexy do jiných aplikací.

Příklad výpočtu Millerových indexů

Pojďme projít příkladem:

Předpokládejme, že rovina interceptuje osy x, y a z v bodech 2, 3 a 6.

Intercepty jsou (2, 3, 6).
Vezmeme převrácené hodnoty: (1/2, 1/3, 1/6).
Abychom našli nejmenší sadu celých čísel se stejným poměrem, vynásobíme nejmenším společným násobkem jmenovatelů (NSN 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Proto jsou Millerovy indexy (3,2,1).

Aplikace Millerových indexů ve vědě a inženýrství

Millerovy indexy mají mnoho aplikací v různých vědeckých a inženýrských oblastech, což činí kalkulátor Millerových indexů nezbytným pro:

Krystalografie a rentgenová difrakce

Millerovy indexy jsou nezbytné pro interpretaci vzorů rentgenové difrakce. Vzdálenost mezi krystalovými rovinami, identifikovanými jejich Millerovými indexy, určuje úhly, pod kterými jsou rentgenové paprsky difrakovány, podle Braggova zákona:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Kde:

$n$ je celé číslo
$\lambda$ je vlnová délka rentgenových paprsků
$d_{hkl}$ je vzdálenost mezi rovinami s Millerovými indexy (h,k,l)
$\theta$ je úhel dopadu

Věda o materiálech a inženýrství

Analýza povrchové energie: Různé krystalografické roviny mají různé povrchové energie, což ovlivňuje vlastnosti jako růst krystalů, katalýzu a adhezi.
Mechanické vlastnosti: Orientace krystalových rovin ovlivňuje mechanické vlastnosti, jako jsou skluzové systémy, klivné roviny a chování při zlomení.
Výroba polovodičů: Při výrobě polovodičů jsou vybírány specifické krystalové roviny pro epitaxní růst a výrobu zařízení kvůli jejich elektronickým vlastnostem.
Analýza textury: Millerovy indexy pomáhají charakterizovat preferované orientace (texturu) v polykrystalických materiálech, což ovlivňuje jejich fyzikální vlastnosti.

Mineralogie a geologie

Geologové používají Millerovy indexy k popisu krystalových ploch a klivných rovin v minerálech, což pomáhá při identifikaci a pochopení podmínek vzniku.

Vzdělávací aplikace

Millerovy indexy jsou základními koncepty vyučovanými v kurzech vědy o materiálech, krystalografie a fyziky pevných látek, což činí tento kalkulátor cenným vzdělávacím nástrojem.

Alternativy k Millerovým indexům

I když jsou Millerovy indexy nejpoužívanější notací pro krystalové roviny, existuje několik alternativních systémů:

Miller-Bravaisovy indexy: Čtyřindexová notace (h,k,i,l) používaná pro hexagonální krystalové systémy, kde i = -(h+k). Tato notace lépe odráží symetrii hexagonálních struktur.
Weberovy symboly: Používané převážně ve starší literatuře, zejména pro popis směrů v kubických krystalech.
Přímé mřížkové vektory: V některých případech jsou roviny popsány pomocí přímých mřížkových vektorů namísto Millerových indexů.
Wyckoffovy pozice: Pro popis atomových pozic v krystalových strukturách spíše než rovin.

Navzdory těmto alternativám zůstávají Millerovy indexy standardní notací díky své jednoduchosti a univerzální použitelnosti napříč všemi krystalovými systémy.

Historie Millerových indexů

Systém Millerových indexů byl vyvinut britským mineralogem a krystalografem Williamem Hallowesem Millerem v roce 1839, publikován v jeho pojednání "A Treatise on Crystallography". Millerova notace vycházela z dřívějších prací Augusta Bravaise a dalších, ale poskytla elegantnější a matematicky konzistentnější přístup.

Před Millerovým systémem byly používány různé notace k popisu krystalových ploch, včetně Weissových parametrů a Naumannových symbolů. Millerova inovace spočívala v použití převrácených hodnot interceptů, což zjednodušilo mnoho krystalografických výpočtů a poskytlo intuitivnější reprezentaci paralelních rovin.

Přijetí Millerových indexů se zrychlilo s objevem rentgenové difrakce Maxem von Laue v roce 1912 a následnou prací Williama Lawrence Bragga a Williama Henryho Bragga. Jejich výzkum prokázal praktickou užitečnost Millerových indexů při interpretaci difrakčních vzorů a určování krystalových struktur.

Během 20. století, jak se krystalografie stala stále důležitější v oblasti vědy o materiálech, fyziky pevných látek a biochemie, se Millerovy indexy pevně etablovaly jako standardní notace. Dnes zůstávají nezbytné v moderních technikách charakterizace materiálů, výpočetní krystalografii a návrhu nanomateriálů.

Příklady kódu pro výpočet Millerových indexů

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Vypočítat Millerovy indexy z interceptů
7    
8    Args:
9        intercepts: Seznam tří interceptů [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Seznam tří Millerových indexů [h, k, l]
13    """
14    # Zpracování interceptů nekonečna (paralelní k ose)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Najít hodnoty různé od nuly pro výpočet GCD
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Škálování na rozumná celá čísla (vyhnout se problémům s plovoucími desetinnými čísly)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Najít GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Převést zpět na nejmenší celá čísla
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Příklad použití
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Millerovy indexy pro intercepty {intercepts}: {indices}")  # Výstup: [3, 2, 1]
49

function gcd(a, b) {
  a = Math.abs(a);
  b = Math.abs(b);
  
  while (b !== 0) {
    const temp = b;
    b = a % b;
    a = temp;
  }
  
  return a;
}

function gcdMultiple(numbers) {
  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
}

function calculateMillerIndices(intercepts) {
  // Zpracování interceptů nekonečna
  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
      return 0;

Whiz Tools

Kalkulačka Millerových indexů pro identifikaci krystalových rovin

Kalkulátor Millerových indexů

Intercepty krystalové roviny

Millerovy indexy

Vizualizace

Co jsou Millerovy indexy?

Dokumentace

Kalkulátor Millerových indexů - Převod interceptů krystalové roviny na hkl notaci

Kalkulátor Millerových indexů: Základní nástroj pro krystalografii

Co jsou Millerovy indexy v krystalografii?

Vizualizace Millerových indexů

Vzorec a metoda výpočtu Millerových indexů

Zvláštní případy a konvence

Jak používat kalkulátor Millerových indexů: Krok za krokem

Příklad výpočtu Millerových indexů

Aplikace Millerových indexů ve vědě a inženýrství

Krystalografie a rentgenová difrakce

Věda o materiálech a inženýrství

Mineralogie a geologie

Vzdělávací aplikace

Alternativy k Millerovým indexům

Historie Millerových indexů

Příklady kódu pro výpočet Millerových indexů

Související nástroje

Kalkulačka úhlů pro úhlové řezy v truhlářství a stavebnictví

Kalkulačka Six Sigma: Měřte kvalitu svého procesu

Kalkulátor molekulové hmotnosti - Bezplatný nástroj pro chemické vzorce

Kalkulátor pravděpodobnosti binomického rozdělení

Kalkulačka pro vizualizaci gamma rozdělení a analýzu

Kalkulátor betonových sloupů: objem a potřebné pytle