Kalkulátor Millerových indexů - Převod interceptů krystalické roviny na (hkl)

Co jsou Millerovy indexy?

Millerovy indexy jsou trojice celých čísel zapisovaná jako (h,k,l), která určují rovinu v krystalové mřížce. Krystalová mřížka je pravidelné opakující se uspořádání atomů v pevné látce. Millerovy indexy vědcům přesně říkají, který řez touto mřížkou daná rovina představuje, aniž by bylo nutné popisovat její geometrii slovy. Zavedl je britský mineralog William Hallowes Miller v roce 1839 a v krystalografii zůstávají standardním zápisem dodnes.

Tato kalkulačka převádí průsečíky roviny s krystalografickými osami x, y a z na její Millerovy indexy (h,k,l).

Vzorec Millerových indexů

Millerovy indexy se získají jako převrácené hodnoty průsečíků roviny s osami. Pokud rovina protíná osy x, y a z ve vzdálenostech a, b a c od počátku, indexy splňují:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Jak vypočítat Millerovy indexy z průsečíků

1. Určete, kde rovina protíná jednotlivé osy, měřeno v jednotkách délky hrany elementární buňky. Tyto průsečíky označte a, b a c.
2. Vezměte převrácenou hodnotu každého průsečíku: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Vynásobte všechny tři převrácené hodnoty stejným číslem tak, aby se z každé stalo celé číslo.
4. Vydělte tři celá čísla jejich největším společným dělitelem, aby je již nebylo možné dále krátit.

Tři výsledná celá čísla jsou h, k a l. U roviny, která žádnou osu neprotíná, se předpokládá průsečík v nekonečnu a 1 děleno nekonečnem je 0, takže příslušný Millerův index je 0.

Příklad výpočtu

Rovina protíná osu x v 2, osu y v 3 a osu z v 6.

1. Průsečíky: (2, 3, 6)
2. Převrácené hodnoty: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Vynásobení nejmenším společným násobkem jmenovatelů, 6: (3, 2, 1)
4. Největší společný dělitel čísel 3, 2 a 1 je 1, takže čísla již nelze dále krátit.

Millerovy indexy jsou (321).

Další příklady

• Rovina procházející body (1, ∞, 2) — rovnoběžná s osou y — má převrácené hodnoty (1, 0, 1/2). Po vynásobení číslem 2 dostaneme (2, 0, 1). Hodnota 0 ukazuje, že rovina osu y nikdy neprotíná.
• Rovina procházející body (-1, 2, 3) má převrácené hodnoty (-1, 1/2, 1/3). Po vynásobení číslem 6 dostaneme (-6, 3, 2), což se obvykle zapisuje jako (6̄32) s pruhem nad záporným indexem.
• Rovina procházející body (1, ∞, ∞) má převrácené hodnoty (1, 0, 0), takže výsledkem je (100). Jde o jednu ze šesti stěn krychle.

Zvláštní případy

Rovina rovnoběžná s osou ji nikdy neprotíná, takže se její průsečík považuje za nekonečný a její Millerův index je 0. Rovina, která protíná osu na záporné straně od počátku, má záporný index; ve formálním zápisu se nad číslo píše pruh, v běžném textu se používá znaménko minus. Rovina procházející samotným počátkem nemá definované Millerovy indexy, protože každá soustava rovnoběžných rovin v mřížce musí být při určování indexů posunuta od počátku; před popisem takové roviny je proto třeba počátek posunout. S neceločíselnými průsečíky se zachází stejně jako s celočíselnými: u každého se vezme převrácená hodnota a poté se odstraní zlomky.

Indexy se vždy redukují na nejmenší možná celá čísla. (622) a (311) popisují stejnou soustavu rovin, ale krystalografové vždy zapisují (311).

Jak používat tuto kalkulačku

Zadejte průsečíky roviny s osami x, y a z.

• Pro průsečík na kladné straně od počátku použijte kladné číslo a pro průsečík na záporné straně záporné číslo.
• U roviny rovnoběžné s osou zadejte „infinity“, „inf“ nebo „∞“.
• Nulový průsečík není přijat, protože rovině procházející počátkem nelze touto metodou přiřadit Millerovy indexy.

Kalkulačka indexy okamžitě vypočítá a zobrazí schéma roviny uvnitř elementární buňky.

Použití Millerových indexů

Difrakce rentgenového záření. Každý bod nebo pík na difrakčním záznamu rentgenového záření odpovídá soustavě rovin mřížky s konkrétními indexy (hkl). Braggův zákon spojuje vzdálenost těchto rovin s difrakčním úhlem:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Zde d_hkl označuje vzdálenost mezi rovinami (h,k,l), λ je vlnová délka rentgenového záření a θ je difrakční úhel. Přiřazování pozorovaných píků k hodnotám (hkl), nazývané indexování, je základním krokem při určování neznámé krystalové struktury.

Věda o materiálech. Různé krystalové roviny odhalují různá uspořádání atomů, a proto mají odlišné povrchové energie, rychlosti chemických reakcí i úlohy při deformaci kovu. V kovech s plošně centrovanou kubickou mřížkou, jako je hliník, po sobě atomové roviny nejsnáze kloužou podél rovin {111}. Křemíkové desky pro počítačové čipy se obvykle řežou podél roviny (100) nebo (111), protože zvolená orientace ovlivňuje průběh následujících výrobních kroků.

Mineralogie. Ploché stěny přírodního krystalu i směry, podél nichž se minerál snadno štěpí (jeho štěpnost), odpovídají konkrétním rovinám s nízkými indexy. Halit (kuchyňská sůl) se štěpí podél rovin {100} a fluorit podél rovin {111}.

Millerovy-Bravaisovy indexy pro hexagonální krystaly

Hexagonální krystaly, jako jsou hořčík, zinek a titan, se obvykle popisují čtyřindexovým systémem (hkil) namísto tříindexového systému. Další index i není nezávislý; vždy platí i = -(h+k). Tento zápis usnadňuje rozpoznání, že dvě roviny patří do stejné symetricky ekvivalentní soustavy, což v hexagonální mřížce není vždy zřejmé pouze z tříindexového Millerova zápisu.

Dějiny

Millerovy indexy zavedl William Hallowes Miller ve své knize A Treatise on Crystallography z roku 1839. Dřívější systémy označování krystalových stěn již existovaly, ale Millerova metoda používající převrácené hodnoty průsečíků usnadnila práci s rovinami rovnoběžnými s osou, protože jejich průsečík je nekonečný a jeho převrácená hodnota je jednoduše 0. Po objevu rentgenové difrakce na krystalech Maxem von Lauem v roce 1912 William Henry Bragg a William Lawrence Bragg ukázali, že Millerovy indexy přesně popisují roviny odpovědné za difrakční píky; za tuto práci se podělili o 1915 Nobelovu cenu za fyziku.

Často kladené otázky

K čemu se Millerovy indexy používají? Určují konkrétní roviny v krystalové mřížce. Používají se k indexování píků rentgenové a elektronové difrakce, k popisu skluzových rovin v kovech, k určení orientace polovodičových desek a k označování stěn a štěpnosti minerálů.

Co znamená nula v Millerově indexu? Znamená, že rovina je rovnoběžná s danou osou a nikdy ji neprotíná. Například (201) je rovnoběžná s osou y.

Co znamenají záporné Millerovy indexy? Znamenají, že rovina protíná danou osu na záporné straně od počátku. Záporný index se zapisuje pruhem nad číslem, například (2̄11), nebo znaménkem minus, například (-2,1,1).

Proč rovina procházející počátkem nemůže mít Millerovy indexy? Millerovy indexy vycházejí z převrácené hodnoty průsečíku. Rovina procházející počátkem protíná každou osu v 0 a výraz 1/0 není definován, takže metoda nemůže indexy přiřadit, dokud se rovina neposune.

Jaký je rozdíl mezi Millerovými a Millerovými-Bravaisovými indexy? Millerovy indexy (hkl) používají tři čísla a fungují pro libovolný krystalový systém. Millerovy-Bravaisovy indexy (hkil) přidávají čtvrtý, závislý index a používají se hlavně pro hexagonální krystaly, v nichž usnadňují rozpoznání symetricky ekvivalentních rovin.

Jak souvisí vzdálenost rovin s Millerovými indexy? V kubickém krystalu s délkou hrany a je vzdálenost mezi sousedními rovinami (hkl) d = a / √(h² + k² + l²). Roviny s vyššími indexy jsou blíže u sebe. V ostatních krystalových systémech se používá podobný, ale složitější vzorec, který zohledňuje nestejné délky os a ne-90° úhly.

Reference

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. vydání). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. vydání). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.