Kalkulačka binomického rozdělení - Volný pravděpodobnostní nástroj

Co je kalkulačka binomického rozdělení?

Kalkulačka binomického rozdělení určuje pravděpodobnost, že při pevném počtu nezávislých pokusů nastane přesný počet úspěchů, pokud má každý pokus stejnou pravděpodobnost úspěchu. Používá se ve statistice, kontrole kvality, medicíně a v každém oboru, který zkoumá opakované jevy typu ano–ne.

Základem je binomické rozdělení, pravděpodobnostní model pro počítání úspěchů při opakovaných pokusech, z nichž každý má pouze dva výsledky, obvykle označované jako úspěch a neúspěch.

Vzorec binomického rozdělení

Pravděpodobnost, že při n pokusech nastane právě k úspěchů, je:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Jednotlivé symboly znamenají:

• n — počet pokusů.
• k — počet úspěchů, pro který se pravděpodobnost určuje.
• p — pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu, číslo mezi 0 a 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomický koeficient, tedy počet různých způsobů, jak vybrat k úspěchů z n pokusů. Je roven $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Každý pokus musí být nezávislý, což znamená, že výsledek jednoho pokusu nemění pravděpodobnost jiného, a pravděpodobnost úspěchu p musí zůstat ve všech pokusech stejná. Jeden pokus se dvěma možnými výsledky, například jedno hození mincí, se nazývá Bernoulliho pokus. Binomické rozdělení vzniká sečtením n Bernoulliho pokusů.

Jak vypočítat binomickou pravděpodobnost

1. Zapište n, k a p.
2. Vypočítejte binomický koeficient $\binom{n}{k}$, tedy počet způsobů, jak rozmístit k úspěchů mezi n pokusů.
3. Umocněte p na k-tou.
4. Umocněte (1 − p) na (n − k)-tou.
5. Vynásobte všechny tři hodnoty.

Kalkulačka na této stránce provede tyto kroky automaticky. Zadejte n, p a k; kalkulačka vrátí P(X = k) a sloupcový graf s pravděpodobností každého možného výsledku od 0 do n úspěchů.

Příklad výpočtu

Příklad 1: hody mincí

Hoďte 10krát spravedlivou mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padnou právě 3 hlavy?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Výsledek: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, tedy přibližně 11,72 %

Příklad 2: kontrola kvality

Továrna kontroluje 100 výrobků. U každého výrobku je pravděpodobnost závady 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že žádný ze 100 výrobků nebude vadný?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Protože k = 0, vzorec se zjednoduší na $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Výsledek: ≈ 0,1326, tedy přibližně 13,26 %

Příklad 3: testování nemocí

Ve městě se testuje 1 000 lidí na nemoc, která postihuje 0,1 % populace (p = 0,001). Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 z 1 000 lidí bude nakaženo?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Výsledek: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, tedy přibližně 0,30 % (přesná hodnota 0,0030488, tedy 0,30488 %)

Střední hodnota a rozptyl

Pro binomické rozdělení s parametry n a p platí:

• Střední hodnota (očekávaná hodnota): E(X) = np
• Rozptyl: Var(X) = np(1 − p)
• Směrodatná odchylka: σ = √[np(1 − p)]

Střední hodnota udává průměrný počet očekávaných úspěchů při mnoha opakováních. V příkladu 1 je střední hodnota 10 × 0,5 = 5 hlav.

Co kalkulačka přijímá

• n musí být celé číslo 1 nebo větší. Desetinný údaj se zaokrouhlí na nejbližší celé číslo pokusů, takže 10,9 se považuje za 11.
• p musí být mezi 0 a 1 včetně obou krajních hodnot.
• k musí být celé číslo 0 nebo větší a nesmí být větší než n. Získat 8 úspěchů při 5 pokusech není možné, takže kalkulačka místo čísla oznámí chybu.

Pokud některé pole zůstane prázdné, kalkulačka nezobrazí výsledek ani graf, místo aby hodnotu odhadovala.

Kdy se binomické rozdělení používá

Binomické rozdělení odpovídá dané situaci pouze tehdy, když platí všechny čtyři podmínky:

1. Počet pokusů n je předem pevně stanoven.
2. Každý pokus má pouze dva výsledky: úspěch nebo neúspěch.
3. Pravděpodobnost úspěchu p je při každém pokusu stejná.
4. Pokusy jsou navzájem nezávislé.

Tahání karet z balíčku bez vracení porušuje podmínku nezávislosti, protože odebrání karty mění pravděpodobnost při dalším tahu. V takovém případě se používá hypergeometrické rozdělení.

Související rozdělení

• Poissonovo rozdělení: používá se k aproximaci binomického rozdělení, když je n velké a p malé, takže průměrný počet úspěchů (np) zůstává mírný. Často se používá k modelování vzácných jevů, například případu onemocnění v příkladu 3.
• Normální rozdělení: při velkém n a když p není příliš blízko hodnotě 0 nebo 1 má binomické rozdělení přibližně zvonovitý tvar a lze je aproximovat normálním rozdělením se střední hodnotou np a rozptylem np(1 − p).
• Hypergeometrické rozdělení: používá se místo binomického rozdělení, když se z konečné populace vzorkuje bez vracení.

Často kladené otázky

Co kalkulačka binomického rozdělení dělá?

Vypočítá pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech, z nichž každý má pravděpodobnost úspěchu p, nastane právě k úspěchů, a to pomocí vzorce P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Jaký je rozdíl mezi binomickým a normálním rozdělením?

Binomické rozdělení je diskrétní, což znamená, že poskytuje pouze celočíselné počty úspěchů. Normální rozdělení je spojité. Při velkém n lze binomické rozdělení aproximovat normální křivkou se střední hodnotou np a rozptylem np(1 − p).

Může být p rovno 0 nebo 1?

Ano. Pokud p = 0, žádný pokus nemůže skončit úspěchem, takže P(X = 0) = 1. Pokud p = 1, každý pokus skončí úspěchem, takže P(X = n) = 1. Všechny ostatní hodnoty k mají v těchto případech pravděpodobnost 0.

Jaký je vztah mezi binomickým a Bernoulliho rozdělením?

Bernoulliho rozdělení popisuje jeden pokus se dvěma výsledky (n = 1). Binomické rozdělení je součtem n nezávislých Bernoulliho pokusů, takže Bernoulliho rozdělení je jednoduše binomické rozdělení s n = 1.

Jak velké může být n, než bude kalkulačka nepřesná?

Kalkulačka pracuje ve standardní aritmetice s dvojitou přesností. Tři části vzorce násobí přímo a při růstu binomického koeficientu nad největší číslo, které lze uložit v typu double, přepne na logaritmy; k tomu dochází přibližně při n = 1 000, když je k blízko n/2. Výsledky zůstávají i nad touto hranicí správné. Pravděpodobnost menší než přibližně 1e-308 se uvádí jako 0, protože žádný typ double ji nedokáže uložit.

Jak se binomický koeficient vypočítává?

Binomický koeficient C(n, k) udává počet způsobů, jak vybrat k položek z n položek bez ohledu na pořadí. Je roven n! / (k! × (n − k)!). Kalkulačka jej sestavuje postupně: násobí jedním činitelem a dělí následujícím, takže nemusí nikdy ukládat celý faktoriál. Pro velmi velká n místo toho sčítá logaritmy těchto činitelů.

Reference

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. a kol. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.