Kalkulačka binomického rozdělení - Volný pravděpodobnostní nástroj

Co je kalkulačka binomického rozdělení?

Kalkulačka binomického rozdělení určuje pravděpodobnost, že při pevném počtu nezávislých pokusů nastane přesný počet úspěchů, pokud má každý pokus stejnou pravděpodobnost úspěchu. Používá se ve statistice, kontrole kvality, medicíně a v každém oboru, který zkoumá opakované jevy typu ano–ne.

Základem je binomické rozdělení, pravděpodobnostní model pro počítání úspěchů při opakovaných pokusech, z nichž každý má pouze dva výsledky, obvykle označované jako úspěch a neúspěch.

Vzorec binomického rozdělení

Pravděpodobnost, že v n pokusech nastane přesně k úspěchů, je:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Jednotlivé symboly znamenají:

• n — počet pokusů.
• k — počet úspěchů, pro který se pravděpodobnost určuje.
• p — pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu, číslo mezi 0 a 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomický koeficient, tedy počet různých způsobů, jak vybrat k úspěchů z n pokusů. Je roven $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Každý pokus musí být nezávislý, což znamená, že výsledek jednoho pokusu nemění pravděpodobnost jiného, a pravděpodobnost úspěchu p musí zůstat ve všech pokusech stejná. Jeden pokus se dvěma možnými výsledky, například jedno hození mincí, se nazývá Bernoulliho pokus. Binomické rozdělení vzniká sečtením n Bernoulliho pokusů.

Jak vypočítat binomickou pravděpodobnost

1. Zapište n, k a p.
2. Vypočítejte binomický koeficient $\binom{n}{k}$, tedy počet způsobů, jak rozmístit k úspěchů mezi n pokusů.
3. Umocněte p na k-tou.
4. Umocněte (1 − p) na (n − k)-tou.
5. Vynásobte všechny tři hodnoty.

Kalkulačka na této stránce provádí tyto kroky automaticky. Po zadání n, p a k vrátí P(X = k) jako desetinné číslo zaokrouhlené na šest desetinných míst spolu se sloupcovým grafem, který ukazuje pravděpodobnost každého možného výsledku od 0 do n úspěchů. Počet pokusů n musí být alespoň 1 a k musí ležet mezi 0 a n.

Praktické příklady

Příklad 1: hody mincí

Hoďte 10krát spravedlivou mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padnou právě 3 líce?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Výsledek: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, tedy přibližně 11,72 %

Příklad 2: kontrola kvality

Továrna kontroluje 100 výrobků. U každého výrobku je pravděpodobnost závady 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že žádný ze 100 výrobků nebude vadný?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Protože k = 0, vzorec se zjednoduší na $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Výsledek: ≈ 0,1326, tedy přibližně 13,26 %

Příklad 3: testování nemocí

Ve městě se testuje 1 000 lidí na nemoc, která postihuje 0,1 % populace (p = 0,001). Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 z 1 000 lidí bude nakaženo?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Výsledek: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, tedy přibližně 0,30 % (přesná hodnota 0,0030488, tedy 0,30488 %)

Střední hodnota a rozptyl

Pro binomické rozdělení s parametry n a p platí:

• Střední hodnota (očekávaná hodnota): E(X) = np
• Rozptyl: Var(X) = np(1 − p)
• Směrodatná odchylka: σ = √[np(1 − p)]

Střední hodnota udává průměrný počet očekávaných úspěchů při mnoha opakováních. V příkladu 1 je střední hodnota 10 × 0,5 = 5 líců.

Kdy se binomické rozdělení používá

Binomické rozdělení odpovídá dané situaci pouze tehdy, když platí všechny čtyři podmínky:

1. Počet pokusů n je předem pevně stanoven.
2. Každý pokus má pouze dva výsledky: úspěch nebo neúspěch.
3. Pravděpodobnost úspěchu p je při každém pokusu stejná.
4. Pokusy jsou navzájem nezávislé.

Tahání karet z balíčku bez vracení porušuje podmínku nezávislosti, protože odebrání karty mění pravděpodobnost při dalším tahu. V takovém případě se používá hypergeometrické rozdělení.

Související rozdělení

• Poissonovo rozdělení: používá se k aproximaci binomického rozdělení. Aproximaci lze použít, když je počet pokusů velký a pravděpodobnost úspěchu malá. Běžně se využívá při modelování vzácných událostí, jako je případ onemocnění v příkladu 3.
• Normální rozdělení: pro velké n má binomické rozdělení přibližně zvonovitý tvar a lze je aproximovat normálním rozdělením se střední hodnotou np a rozptylem np(1 − p). Běžné pravidlo říká, že np i n(1 − p) musí být větší než 5; aproximace je lepší, když jsou obě hodnoty alespoň 10.
• Hypergeometrické rozdělení: používá se místo binomického rozdělení, když se z konečné populace vzorkuje bez vracení.

Často kladené otázky

Co kalkulačka binomického rozdělení dělá?

Vypočítá pravděpodobnost, že při n nezávislých pokusech, z nichž každý má pravděpodobnost úspěchu p, nastane právě k úspěchů, a to pomocí vzorce P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Jaký je rozdíl mezi binomickým a normálním rozdělením?

Binomické rozdělení je diskrétní, což znamená, že poskytuje pouze celočíselné počty úspěchů. Normální rozdělení je spojité. Při velkém n lze binomické rozdělení aproximovat normální křivkou se střední hodnotou np a rozptylem np(1 − p).

Může být p rovno 0 nebo 1?

Ano. Pokud p = 0, žádný pokus nemůže skončit úspěchem, takže P(X = 0) = 1. Pokud p = 1, každý pokus skončí úspěchem, takže P(X = n) = 1. Všechny ostatní hodnoty k mají v těchto případech pravděpodobnost 0.

Jaký je vztah mezi binomickým a Bernoulliho rozdělením?

Bernoulliho rozdělení popisuje jeden pokus se dvěma výsledky (n = 1). Binomické rozdělení je součtem n nezávislých Bernoulliho pokusů, takže Bernoulliho rozdělení je jednoduše binomické rozdělení s n = 1.

Zvládne kalkulačka velký počet pokusů?

Ano. Kalkulačka používá standardní čísla s dvojitou přesností. Pro malé n přímo násobí binomický koeficient mocninami p a 1 − p. Když koeficient příliš vyroste pro daný číselný formát nebo se některá mocnina stane příliš malou, přepne na sčítání logaritmů a na konci součet převede zpět. Výsledkem zůstává konečná pravděpodobnost. Například pro n = 5 000, p = 0,5 a k = 2 500 vrátí přibližně 0,011283. Pro velmi velké n je běžná také aproximace normálním nebo Poissonovým rozdělením.

Jak se binomický koeficient vypočítává?

Binomický koeficient C(n, k) udává počet způsobů, jak vybrat k prvků z n prvků bez ohledu na pořadí. Rovná se n! / (k! × (n − k)!) a lze jej také postupně sestavit násobením a dělením průběžných součinů, čímž se vyhneme přímé práci s extrémně velkými faktoriály.

Reference

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.18 Binomial Distribution. Binomické rozdělení — pravděpodobnostní funkce C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ, se střední hodnotou np a směrodatnou odchylkou √(np(1 − p)).
2. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 4.6 Poisson Distribution. Poissonovo rozdělení — Poissonovo rozdělení lze použít k aproximaci binomického, když je p malé a n velké.
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 7.3 Using the Central Limit Theorem. Normální aproximace binomického rozdělení — np > 5 a nq > 5 pro normální aproximaci, lepší je, když jsou obě hodnoty alespoň 10; střední hodnota np.