Keglevolumen Beregner - Beregn Kegle & Trunkeret Kegles Volumen

Hvad er en beregner til keglevolumen?

En beregner til keglevolumen finder rumfanget af en kegle eller en afkortet kegle (en keglestub), ud fra dens radius og højde. En kegle er en rumlig figur med én flad, cirkulær grundflade, der jævnt bliver smallere til et enkelt punkt, kaldet toppunktet. En afkortet kegle er det, der er tilbage af en kegle, efter at toppen er skåret af med et snit parallelt med grundfladen, så der er to cirkulære flader i stedet for én.

Formel for keglevolumen

En hel kegles rumfang afhænger af radius for dens grundflade og dens højde.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V er keglens rumfang.
• r er radius for den cirkulære grundflade.
• h er højden målt lige fra grundfladen til toppunktet.
• π (pi) er omtrent 3,14159.

Regneeksempel

En kegle med en grundfladeradius på 3 enheder og en højde på 4 enheder har dette rumfang:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubikenheder

Sådan beregnes en kegles rumfang med beregneren

Beregneren tager imod tre input:

1. Radius — grundfladens radius.
2. Højde — keglens højde fra grundfladen til toppunktet.
3. Snithøjde fra grundfladen (valgfrit) — hvor langt over grundfladen keglen skæres, hvis toppen skæres af.

Hvis snithøjden står tom, eller hvis der indtastes 0, beregnes rumfanget af den hele, uskårne kegle. En snithøjde, der er mindre end den fulde højde, giver rumfanget af den afkortede kegle under snittet. Diagrammet under inputfelterne markerer de samme tre mål på figuren.

Beregneren afviser en radius eller højde, der er nul, negativ, tom eller for stor til at kunne behandles som et almindeligt tal. I disse tilfælde viser den en meddelelse i stedet for et rumfang, så den aldrig viser et opdigtet resultat.

Formel for rumfanget af en afkortet kegle (keglestub)

Rumfanget af en afkortet kegle afhænger af radierne for dens to cirkulære flader og dens egen højde.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R er radius for den større, nederste flade.
• r er radius for den mindre, øverste flade.
• h er højden af den afkortede kegle målt mellem de to flader.

Beregneren spørger ikke direkte efter den øverste radius. I stedet bruger den grundfladeradius, den højde keglen ville have haft, hvis den ikke var blevet skåret, og snithøjden. Derefter beregner den den øverste radius ved hjælp af ligedannede trekanter:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

hvor c er snithøjden over grundfladen, og f er højden af den fulde, ikke-afskårne kegle.

Regneeksempel

Antag, at grundfladeradius er 3 enheder, at den fulde højde af den uskårne kegle er 12 enheder, og at snithøjden er 4 enheder.

Øverste radius = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 enheder

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubikenheder

Hvis snithøjden er lig med eller større end den fulde højde, ligger snittet ved eller over toppunktet, så intet fjernes. Beregneren returnerer derefter rumfanget af den hele kegle, og diagrammet viser den hele kegle.

Historien bag formlen for keglevolumen

Oldtidens græske matematikere var de første til at forbinde en kegles rumfang med en cylinders. Demokrit, som virkede i slutningen af det 5. århundrede f.Kr., tilskrives påstanden om, at en kegles rumfang er en tredjedel af en cylinder med samme grundflade og højde. Han beviste det ikke. Eudoxos fra Knidos, som arbejdede i det følgende århundrede, gav det første stringente bevis ved hjælp af en teknik kaldet udtømningsmetoden, en tidlig forløber for integralregning. Formlen V = (1/3)πr²h har været uændret lige siden.

Anvendelser af beregninger af keglevolumen

Keglers og keglestubbes rumfang er relevante, når en figur bliver smallere fra en bred grundflade til et punkt eller en mindre top. Ingeniører bruger formlerne til at dimensionere koniske tanke, tragte og fødere. Arkitekter bruger dem til at anslå materialeforbruget til koniske tage. Geologer bruger dem til at anslå rumfanget af vulkankegler og lignende landskabsformer.

Ofte stillede spørgsmål

Hvordan beregner man rumfanget af en kegle?

Gang π med radius i anden, gang resultatet med højden, og divider derefter med 3: V = (1/3)πr²h. En kegle med en radius på 5 cm og en højde på 10 cm har et rumfang på cirka 261,80 kubikcentimeter.

Hvad er formlen for en afkortet kegle (keglestub)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), hvor R og r er radierne for de to cirkulære flader, og h er den afkortede kegles egen højde målt mellem disse flader.

Hvordan finder beregneren den øverste radius for en keglestub?

Den bruger ligedannede trekanter. Den øverste radius er lig med grundfladeradius multipliceret med (1 − snithøjde ÷ fuld keglehøjde). Det forudsætter, at keglestubben stammer fra en kegle med rette sider.

Hvad sker der, hvis snithøjden er større end eller lig med højden?

Beregneren behandler figuren som en hel, uskåren kegle og returnerer V = (1/3)πr²h ved hjælp af den indtastede radius og højde.

Hvad sker der, hvis radius eller højde er nul eller negativ?

Beregneren kræver, at både radius og højde er større end nul. Hvis en af dem er nul, negativ, tom eller for stor til at kunne behandles som et almindeligt tal, viser den en meddelelse i stedet for et rumfang.

Hvordan finder man rumfanget af en kegle ud fra diameteren i stedet for radius?

Divider diameteren med 2 for at finde radius, og anvend derefter V = (1/3)πr²h som sædvanligt.

Referencer

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—En webressource fra Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—En webressource fra Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html