Keglevolumen Beregner - Beregn Kegle & Trunkeret Kegles Volumen

Hvad er en beregner til keglevolumen?

En beregner til keglevolumen finder rumfanget af en kegle eller en afkortet kegle (en keglestub), ud fra dens radius og højde. En kegle er en rumlig figur med én flad, cirkulær grundflade, der jævnt bliver smallere til et enkelt punkt, kaldet toppunktet. En afkortet kegle er det, der er tilbage af en kegle, efter at toppen er skåret af med et snit parallelt med grundfladen, så der er to cirkulære flader i stedet for én.

Formel for keglevolumen

Rumfanget af en hel kegle afhænger af grundfladens radius og af højden. Det er en tredjedel af grundfladens areal gange højden.

V = (1/3) × π × r² × h

• r er radius for den cirkulære grundflade.
• h er højden målt lige fra grundfladen til toppunktet.
• π (pi) er omtrent 3,14159.

Eksempel

En kegle med en grundfladeradius på 3 enheder og en højde på 4 enheder har dette rumfang:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubikenheder

Sådan beregnes en kegles rumfang med beregneren

Beregneren tager imod tre input:

1. Radius — grundfladens radius.
2. Højde — keglens højde fra grundfladen til toppunktet.
3. Afkortet højde (valgfri) — højden af den del af keglestubben, der skal bevares, hvis keglens top er skåret af.

Hvis den afkortede højde lades stå tom, eller hvis der indtastes 0, fås rumfanget af den hele, uafskårne kegle. Hvis der indtastes en positiv afkortet højde, der er mindre end den fulde højde, fås rumfanget af den keglestub, der er tilbage efter afskæringen.

Formel for rumfanget af en afkortet kegle (keglestub)

Rumfanget af en keglestub afhænger af radierne for dens to cirkulære flader og af dens egen højde. Den almindelige formel for en keglestub er:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

• R er radius for den større, nederste flade.
• r er radius for den mindre, øverste flade.
• h er højden af den afkortede kegle målt mellem de to flader.

Beregneren spørger ikke direkte efter toppens radius. I stedet bruger den grundfladens radius, den højde, keglen ville have haft, hvis den ikke var afskåret, og den afkortede højde (højden af den del, der bevares). Derefter beregner den toppens radius ud fra ensvinklede trekanter:

toppens radius = grundfladens radius × (1 − afkortet højde ÷ fuld højde)

Eksempel

Antag, at grundfladens radius er 3 enheder, at den fulde (uafskårne) keglehøjde er 12 enheder, og at den afkortede højde er 4 enheder.

Øverste radius = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 enheder

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubikenheder

Hvis den afkortede højde er lig med eller større end den fulde højde, er der ingen top at fjerne, og derfor returnerer beregneren i stedet rumfanget af den hele kegle.

Historien bag formlen for keglevolumen

Oldtidens græske matematikere var de første, der koblede en kegles rumfang til en cylinders. Demokrit, der var aktiv i det sene 5. århundrede f.Kr., tillægges påstanden om, at en kegles rumfang er en tredjedel af en cylinders med samme grundflade og højde. Han beviste det ikke. Eudoxos fra Knidos, der virkede i århundredet efter, gav det første stringente bevis ved hjælp af en teknik kaldet udtømningsmetoden, en tidlig forløber for integralregningen. Formlen V = (1/3)πr²h har været den samme lige siden.

Anvendelser af beregninger af keglevolumen

Keglers og keglestubbes rumfang er relevante, når en figur bliver smallere fra en bred grundflade til et punkt eller en mindre top. Ingeniører bruger formlerne til at dimensionere koniske tanke, tragte og fødere. Arkitekter bruger dem til at anslå materialeforbruget til koniske tage. Geologer bruger dem til at anslå rumfanget af vulkankegler og lignende landskabsformer.

Ofte stillede spørgsmål

Hvordan beregner man rumfanget af en kegle?

Gang π med radius i anden, gang resultatet med højden, og divider derefter med 3: V = (1/3)πr²h. En kegle med en radius på 5 cm og en højde på 10 cm har et rumfang på cirka 261,80 kubikcentimeter.

Hvad er formlen for en afkortet kegle (keglestub)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), hvor R og r er radierne for de to cirkulære flader, og h er den afkortede kegles egen højde målt mellem disse flader.

Hvordan finder beregneren den øverste radius for en keglestub?

Den bruger ensvinklede trekanter. Toppens radius er lig med grundfladens radius ganget med (1 − afkortet højde ÷ fuld keglehøjde). Det forudsætter, at keglestubben stammer fra en kegle med rette sider.

Hvad sker der, hvis den afkortede højde er større end eller lig med højden?

Beregneren behandler figuren som en hel, uskåren kegle og returnerer V = (1/3)πr²h ved hjælp af den indtastede radius og højde.

Hvad sker der, hvis radius eller højde er nul eller negativ?

Beregneren kræver, at både radius og højde er større end nul. Hvis en af dem er nul, negativ eller står tom, vises en fejlmeddelelse i stedet for et rumfang.

Hvordan finder man rumfanget af en kegle ud fra diameteren i stedet for radius?

Divider diameteren med 2 for at finde radius, og anvend derefter V = (1/3)πr²h som sædvanligt.

Referencer

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: Cone — keglens rumfang V = (1/3)πr²h, en tredjedel af grundfladens areal gange højden.
2. Weisstein, Eric W. Conical Frustum. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: Conical Frustum — keglestubbens rumfang V = (1/3)πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²).
3. O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. Democritus of Abdera. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. MacTutor: Demokrit — Demokrit formulerede først reglen om en tredjedel for kegler, og Eudoxos beviste den senere.