Trigonometrisk Funktionsgrafiker - Visualiser Sin, Cos, Tan

Hvad er en graftegner for trigonometriske funktioner?

En graftegner for trigonometriske funktioner er et værktøj, der tegner kurven for en sinus-, cosinus- eller tangensfunktion og lader brugeren ændre dens form ved at justere nogle få tal, der kaldes parametre. Når en skydeknap flyttes, tegnes grafen om med det samme, så det bliver lettere at se, hvordan amplitude, frekvens og faseforskydning ændrer bølgen.

De tre grundlæggende trigonometriske funktioner

Sinus, cosinus og tangens stammer fra forholdene mellem siderne i en retvinklet trekant. På en cirkel med radius 1, centreret i origo (enhedscirklen), er sin(x) højden af et punkt med vinklen x, og cos(x) er punktets vandrette position. Tangens er forholdet sin(x) / cos(x).

Sinus er en ulige funktion: sin(−x) = −sin(x). Cosinus er en lige funktion: cos(−x) = cos(x). Cosinus er ganske enkelt sinus forskudt π/2 radianer (90 grader) mod venstre.

Tangens har lodrette asymptoter: linjer, som kurven nærmer sig mere og mere, men aldrig rører. De ligger ved x = π/2 + nπ, hvor n er et vilkårligt helt tal. Da tan(x) = sin(x) / cos(x), og cos(x) er lig med 0 i disse punkter, er forholdet ikke defineret dér.

Formel for en trigonometrisk funktion

Graftegneren afbilder funktioner på denne form:

f(x) = A sin(Bx + C)

Den samme form bruges for cosinus og tangens, hvor sin erstattes af cos eller tan. Hvert bogstav er en parameter, der kan justeres:

• A (amplitude) angiver bølgens højde målt fra dens midterlinje til en top. Graftegneren tillader værdier fra 0,1 til 5 for sinus og cosinus og fra 0,1 til 2 for tangens.
• B (frekvens) angiver, hvor mange hele svingninger der passer ind på et stykke af x-aksen. En større B sammenpresser bølgen. Graftegneren tillader værdier fra 0,1 til 5.
• C (faseforskydning) flytter hele kurven til venstre eller højre uden at ændre dens form. Graftegneren tillader værdier fra −π til π, omtrent −3,14 til 3,14.

En positiv faseforskydning flytter grafen til venstre, mens en negativ flytter den til højre.

Sådan bruges graftegneren for trigonometriske funktioner

1. Vælg en funktion — sinus, cosinus eller tangens — i funktionsvælgeren.
2. Flyt amplitudeskydeknappen for at ændre, hvor høj bølgen er.
3. Flyt frekvensskydeknappen for at sammenpresse eller strække bølgen.
4. Flyt skydeknappen for faseforskydning for at flytte kurven sidelæns.
5. Læs formlen, der vises under skydeknapperne, og tryk på "Kopiér" for at kopiere den som tekst.

Grafen opdateres, så snart en skydeknap flyttes. For tangens opstår der små mellemrum i linjen ved hver asymptote. Det er forventet og ikke en fejl.

Afprøvning af skydeknappernes yderpunkter

Hvis man vil se, hvor høj en bølge kan blive, sættes amplituden til den højeste værdi, værktøjet tillader: 5 for sinus eller cosinus og 2 for tangens. Hvis man vil se en bølge, der er strakt næsten helt flad, sættes frekvensen til dens laveste værdi, 0,1. Det er lettere at se, hvilken parameter der forårsagede hvilken ændring, hvis man kun ændrer én skydeknap ad gangen.

Sådan beregnes en værdi i hånden

Betragt en sinusfunktion med amplituden A = 2, frekvensen B = 3 og faseforskydningen C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

For at finde f(π/6) beregnes først vinklen inde i sinusfunktionen:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Beregn derefter sinusværdien, og gang med amplituden:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Hvor trigonometriske bølger optræder

Mange fænomener, der gentager sig i et jævnt frem-og-tilbage-mønster, følger en kurve, der ligner en sinusbølge: lyd, vekselstrøm, tidevand, et penduls svingninger og dagslysets længde gennem et år. Ingeniører bruger sinus og cosinus til at beskrive og forudsige sådanne mønstre. Computeranimatorer bruger de samme kurver til at få bevægelser til at se jævne ud, for eksempel i en vuggende gangcyklus eller en kamerabevægelse med blød ind- og udfasning.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er forskellen på sinus, cosinus og tangens?

Sinus og cosinus svinger begge mellem −1 og 1 med en periode på 2π, men cosinus når hvert punkt i sin cyklus en kvart omgang (π/2) tidligere end sinus. Tangens er lig med sinus divideret med cosinus. Den har en periode på π, er ubundet og har lodrette asymptoter overalt, hvor cosinus er lig med 0.

Hvad styrer amplituden?

Amplituden (A) angiver, hvor langt bølgen strækker sig over og under sin midterlinje. I denne graftegner går den fra 0,1 til 5 for sinus og cosinus og fra 0,1 til 2 for tangens.

Hvad styrer frekvensen?

Frekvensen (B) angiver, hvor mange bølgecyklusser der vises på et bestemt stykke af x-aksen. En højere frekvens pakker flere cyklusser ind på samme plads. Graftegneren tillader værdier fra 0,1 til 5.

Hvorfor flytter en positiv faseforskydning grafen til venstre i stedet for højre?

Det skyldes, at faseforskydningen C lægges til, før vinklen måles, inde i funktionen: f(x) = sin(Bx + C). En positiv C betyder, at vinklen når en given værdi ved en mindre x-værdi, så det samme punkt på kurven optræder tidligere — forskudt til venstre, ikke til højre.

Hvorfor er der mellemrum i tangensgrafen?

Tangens er ikke defineret, når cosinus er lig med 0, hvilket sker ved x = π/2 + nπ. Graftegneren afbryder linjen i disse punkter i stedet for at tegne en falsk, lige forbindelse gennem mellemrummet.

Bruger graftegneren grader eller radianer?

Radianer. En hel omgang er lig med 2π radianer, det samme som 360 grader. Grader omregnes til radianer ved at gange med π/180.