Miller Indeks Beregner - Konverter Krystalplan Skæringspunkter til (hkl)

Hvad er Miller-indeks?

Miller-indeks er et sæt af tre heltal, skrevet (h,k,l), som identificerer et plan i et krystalgitter. Et krystalgitter er den gentagne, regelmæssige opstilling af atomer, der findes i et fast materiale. Miller-indeks angiver præcis, hvilket snit gennem gitteret et plan repræsenterer, uden at det er nødvendigt at beskrive geometrien med ord. De blev introduceret af den britiske mineralog William Hallowes Miller i 1839 og er stadig standardnotationen inden for krystallografi.

Denne beregner omdanner et plans skæringer med de krystallografiske x-, y- og z-akser til dets Miller-indeks (h,k,l).

Formel for Miller-indeks

Miller-indekser bestemmes ud fra de reciprokke værdier af et plans akseafskæringer. Hvis et plan skærer x-, y- og z-akserne i afstandene a, b og c fra origo, opfylder indeksene:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Sådan beregnes Miller-indeks ud fra skæringer

1. Find det sted, hvor planet skærer hver akse, målt i enheder af enhedscellens kantlængde. Kald disse skæringer a, b og c.
2. Tag den reciprokke værdi af hver skæring: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Gang alle tre reciprokke værdier med det samme tal, så hver af dem bliver et helt tal.
4. Divider de tre heltal med deres største fælles divisor, så de ikke kan forkortes yderligere.

De tre resulterende heltal er h, k og l. Et plan, der ikke skærer en akse, tillægges en skæring i uendelig afstand, og 1 divideret med uendelig er 0, så denne akse får et Miller-indeks på 0.

Gennemregnet eksempel

Et plan skærer x-aksen ved 2, y-aksen ved 3 og z-aksen ved 6.

1. Skæringer: (2, 3, 6)
2. Reciprokke værdier: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Gang med nævnernes mindste fælles multiplum, 6: (3, 2, 1)
4. Den største fælles divisor for 3, 2 og 1 er 1, så tallene kan ikke forkortes yderligere.

Miller-indeksene er (321).

Andre eksempler

• Et plan, der går gennem (1, ∞, 2) — parallelt med y-aksen — har de reciprokke værdier (1, 0, 1/2). Multiplikation med 2 giver (2, 0, 1). 0 viser, at planet aldrig skærer y-aksen.
• Et plan, der går gennem (-1, 2, 3), har de reciprokke værdier (-1, 1/2, 1/3). Multiplikation med 6 giver (-6, 3, 2), som normalt skrives (6̄32) med en streg over det negative indeks.
• Et plan, der går gennem (1, ∞, ∞), har de reciprokke værdier (1, 0, 0), hvilket giver (100). Dette er en af en kubes seks flader.

Særlige tilfælde

Et plan, der er parallelt med en akse, skærer aldrig denne akse, så skæringen behandles som uendelig, og det tilsvarende Miller-indeks er 0. Et plan, der har en skæring på den negative side af origo, får et negativt indeks, som i formel notation skrives med en streg over tallet eller med et minustegn i almindelig tekst. For et plan, der går gennem selve origo, kan der ikke defineres Miller-indeks, fordi ethvert sæt af parallelle planer i et gitter skal være forskudt i forhold til origo for at kunne indekseres; origo skal forskydes, før et sådant plan kan beskrives. Skæringer med brøkværdier behandles på samme måde som skæringer med heltalsværdier: Tag den reciprokke værdi af hver, og gang derefter op for at fjerne brøkerne.

Indeks reduceres altid til de mindst mulige heltal. (622) og (311) beskriver den samme familie af planer, men krystallografer skriver altid (311).

Sådan bruger du denne beregner

Indtast planets skæringer med x-, y- og z-akserne.

• Brug et positivt tal for en skæring på den positive side af origo og et negativt tal for en skæring på den negative side.
• Skriv "infinity", "inf" eller "∞" for et plan, der løber parallelt med en akse.
• En skæring på nul accepteres ikke, fordi et plan gennem origo ikke kan tildeles Miller-indeks med denne metode.

Beregneren beregner indeksene med det samme og viser et diagram over planet inde i enhedscellen.

Anvendelser af Miller-indeks

Røntgendiffraktion. Hver plet eller top i et røntgendiffraktionsmønster svarer til et sæt gitterplaner med et bestemt (hkl). Braggs lov forbinder afstanden mellem disse planer med diffraktionsvinklen:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Her er d_hkl afstanden mellem planerne (h,k,l), λ er røntgenstrålingens bølgelængde, og θ er diffraktionsvinklen. Sammenkædning af observerede toppe med (hkl)-værdier, en proces kaldet indeksering, er et grundlæggende trin i identifikationen af en ukendt krystalstruktur.

Materialevidenskab. Forskellige krystalplaner blotlægger forskellige atomopstillinger, så de har forskellige overfladeenergier, forskellige reaktionshastigheder for kemiske reaktioner og forskellige roller for, hvordan et metal deformeres. I fladecentrerede kubiske metaller som aluminium har atomplaner lettest ved at glide forbi hinanden langs {111}-planer. Siliciumskiver til computerchips skæres normalt langs (100)- eller (111)-planet, fordi valget påvirker, hvordan de efterfølgende fremstillingstrin forløber.

Mineralogi. De plane flader på en naturlig krystal og de retninger, langs hvilke et mineral spaltes rent (dets spaltning), svarer begge til bestemte planer med lave indeks. Halit (køkkensalt) spaltes langs {100}-planer, og fluorit spaltes langs {111}-planer.

Miller-Bravais-indeks for hexagonale krystaller

Hexagonale krystaller som magnesium, zink og titan beskrives normalt med et system med fire indeks (hkil) i stedet for tre. Det ekstra indeks i er ikke uafhængigt; det er altid i = -(h+k). Denne form gør det lettere at se, at to planer tilhører den samme familie af symmetrisk ækvivalente planer, hvilket ikke altid er tydeligt ud fra Millers notation med tre indeks alene i et hexagonalt gitter.

Historie

Miller-indeks blev introduceret af William Hallowes Miller i hans bog A Treatise on Crystallography fra 1839. Der fandtes allerede tidligere systemer til mærkning af krystalflader, men Millers metode med at bruge de reciprokke værdier af skæringerne gjorde det let at håndtere planer, der er parallelle med en akse, eftersom deres skæring er uendelig, og den reciprokke værdi ganske enkelt er 0. Efter Max von Laue opdagede røntgendiffraktion i krystaller i 1912, viste William Henry Bragg og William Lawrence Bragg, at Miller-indeks præcist beskriver de planer, der er ansvarlige for diffraktionstoppe. For dette arbejde delte de 1915 Nobelprisen i fysik.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges Miller-indeks til? De identificerer bestemte planer i et krystalgitter. De bruges til at indeksere røntgen- og elektrondiffraktionstoppe, beskrive glideplaner i metaller, angive orienteringen af halvlederskiver samt mærke mineralers flader og spaltning.

Hvad betyder et nul i et Miller-indeks? Det betyder, at planet er parallelt med den pågældende akse og aldrig skærer den. For eksempel er (201) parallelt med y-aksen.

Hvad betyder negative Miller-indeks? De betyder, at planet skærer den pågældende akse på den negative side af origo. Et negativt indeks skrives med en streg over tallet, f.eks. (2̄11), eller med et minustegn, f.eks. (-2,1,1).

Hvorfor kan et plan gennem origo ikke have Miller-indeks? Miller-indeks fremkommer ved den reciprokke værdi af en skæring. Et plan gennem origo skærer alle akser ved 0, og 1/0 er udefineret, så metoden kan ikke tildele indeks, medmindre planet forskydes.

Hvad er forskellen mellem Miller-indeks og Miller-Bravais-indeks? Miller-indeks (hkl) bruger tre tal og fungerer for alle krystalsystemer. Miller-Bravais-indeks (hkil) tilføjer et fjerde, afhængigt indeks og bruges hovedsageligt for hexagonale krystaller, hvor de gør det lettere at genkende symmetriækvivalente planer.

Hvordan hænger planafstand sammen med Miller-indeks? I en kubisk krystal med kantlængden a er afstanden mellem tilstødende (hkl)-planer d = a / √(h² + k² + l²). Planer med højere indeks ligger tættere på hinanden. Andre krystalsystemer bruger en lignende, men mere kompleks formel, der tager højde for ulige akselængder og ikke-90° vinkler.

Referencer

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. udg.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. udg.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.