Binomial Fordelings Beregner - Gratis Sandsynlighedsværktøj

Hvad er en binomialfordelingsberegner?

En binomialfordelingsberegner finder sandsynligheden for at få præcis et bestemt antal succeser i et fast antal uafhængige forsøg, når hvert forsøg har samme sandsynlighed for succes. Den bruges inden for statistik, kvalitetskontrol, medicin og alle områder, der undersøger gentagne ja-eller-nej-hændelser.

Den grundlæggende idé er binomialfordelingen, en sandsynlighedsmodel til optælling af succeser i gentagne forsøg, som hver kun har to udfald, normalt kaldet succes og fiasko.

Formel for binomialfordelingen

Sandsynligheden for at få præcis k succeser i n forsøg er:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Hvert symbol betyder:

• n — antallet af forsøg.
• k — det antal succeser, som sandsynligheden beregnes for.
• p — sandsynligheden for succes i et enkelt forsøg, et tal mellem 0 og 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomialkoefficienten, altså antallet af forskellige måder at vælge k succeser blandt n forsøg på. Den er lig med $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Alle forsøg skal være uafhængige, hvilket betyder, at udfaldet af ét forsøg ikke ændrer sandsynligheden for et andet, og sandsynligheden for succes p skal være den samme i alle forsøg. Et enkelt forsøg med to mulige udfald, som eksempelvis et møntkast, kaldes et Bernoulli-forsøg. En binomialfordeling fås ved at lægge n Bernoulli-forsøg sammen.

Sådan beregnes binomialsandsynlighed

1. Skriv n, k og p ned.
2. Beregn binomialkoefficienten $\binom{n}{k}$, altså antallet af måder at placere k succeser blandt n forsøg på.
3. Hæv p til potensen k.
4. Hæv (1 − p) til potensen (n − k).
5. Multiplicer de tre tal med hinanden.

Beregneren på denne side udfører disse trin automatisk. Indtast n, p og k, så returnerer den P(X = k) sammen med et søjlediagram, der viser sandsynligheden for hvert muligt udfald fra 0 til n succeser.

Regneeksempel

Eksempel 1: møntkast

Kast en fair mønt 10 gange. Hvad er sandsynligheden for at få præcis 3 plat?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, eller cirka 11,72 %

Eksempel 2: kvalitetskontrol

En fabrik inspicerer 100 emner. Hvert emne har 2 % sandsynlighed for at være defekt. Hvad er sandsynligheden for, at ingen af de 100 emner er defekte?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Da k = 0, reduceres formlen til $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultat: ≈ 0,1326, eller cirka 13,26 %

Eksempel 3: sygdomstest

En by tester 1.000 personer for en sygdom, der rammer 0,1 % af befolkningen (p = 0,001). Hvad er sandsynligheden for, at præcis 5 af de 1.000 personer er smittet?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, eller cirka 0,30 % (præcis værdi 0,0030488, dvs. 0,30488 %)

Middelværdi og varians

For en binomialfordeling med parametrene n og p:

• Middelværdi (forventet værdi): E(X) = np
• Varians: Var(X) = np(1 − p)
• Standardafvigelse: σ = √[np(1 − p)]

Middelværdien angiver det gennemsnitlige antal forventede succeser over mange gentagelser. I eksempel 1 er middelværdien 10 × 0,5 = 5 plat.

Hvad beregneren accepterer

• n skal være et helt tal på 1 eller derover. Et decimaltal afrundes til det nærmeste hele antal forsøg, så 10,9 behandles som 11.
• p skal være mellem 0 og 1, inklusive begge endepunkter.
• k skal være et helt tal på 0 eller derover og må ikke være større end n. Det er umuligt at få 8 succeser i 5 forsøg, så beregneren viser en fejl i stedet for et tal.

Hvis et felt efterlades tomt, viser beregneren hverken et resultat eller et diagram i stedet for at gætte en værdi.

Hvornår binomialfordelingen kan anvendes

Binomialfordelingen passer kun til en situation, når alle fire betingelser er opfyldt:

1. Antallet af forsøg, n, er fastlagt på forhånd.
2. Hvert forsøg har kun to udfald: succes eller fiasko.
3. Sandsynligheden for succes, p, er den samme i hvert forsøg.
4. Forsøgene er uafhængige af hinanden.

Hvis kort trækkes fra et kortspil uden tilbagelægning, er uafhængighedsbetingelsen ikke opfyldt, fordi fjernelsen af et kort ændrer sandsynligheden for det næste træk. I stedet bruges den hypergeometriske fordeling.

Relaterede fordelinger

• Poissonfordeling: bruges til at tilnærme binomialfordelingen, når n er stor og p er lille, så det gennemsnitlige antal succeser (np) forbliver moderat. Den bruges ofte til modellering af sjældne hændelser som sygdomstilfældet i eksempel 3.
• Normalfordeling: ved stort n, og når p ikke ligger for tæt på 0 eller 1, ligner binomialfordelingen omtrent en klokkeformet kurve og kan tilnærmes med en normalfordeling med middelværdi np og varians np(1 − p).
• Hypergeometrisk fordeling: bruges i stedet for binomialfordelingen, når der udtages en stikprøve uden tilbagelægning fra en endelig population.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad gør en binomialfordelingsberegner?

Den beregner sandsynligheden for at få præcis k succeser i n uafhængige forsøg, som hver har sandsynligheden p for succes, ved hjælp af formlen P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Hvad er forskellen mellem binomialfordelingen og normalfordelingen?

Binomialfordelingen er diskret, hvilket betyder, at den kun giver hele antal succeser. Normalfordelingen er kontinuert. Ved stort n kan en binomialfordeling tilnærmes med en normalkurve med middelværdi np og varians np(1 − p).

Kan p være 0 eller 1?

Ja. Hvis p = 0, kan ingen forsøg give succes, så P(X = 0) = 1. Hvis p = 1, giver hvert forsøg succes, så P(X = n) = 1. Alle andre værdier af k har sandsynligheden 0 i disse tilfælde.

Hvad er forholdet mellem binomialfordelingen og Bernoulli-fordelingen?

En Bernoulli-fordeling beskriver et enkelt forsøg med to udfald (n = 1). En binomialfordeling er summen af n uafhængige Bernoulli-forsøg, så en Bernoulli-fordeling er blot en binomialfordeling med n = 1.

Hvor stor kan n være, før beregneren bliver unøjagtig?

Beregneren bruger standardaritmetik med dobbelt præcision. Den multiplicerer formlens tre dele direkte og skifter til logaritmer, når binomialkoefficienten vokser forbi det største tal, der kan repræsenteres i dobbelt præcision, hvilket sker nær n = 1.000, når k er tæt på n/2. Resultaterne forbliver korrekte over dette punkt. En sandsynlighed, der er mindre end cirka 1e-308, angives som 0, fordi den ikke kan repræsenteres i dobbelt præcision.

Hvordan beregnes binomialkoefficienten?

Binomialkoefficienten C(n, k) tæller antallet af måder at vælge k elementer blandt n elementer på, uanset rækkefølgen. Den er lig med n! / (k! × (n − k)!). Beregneren opbygger den trin for trin ved at multiplicere med én faktor og dividere med den næste, så den aldrig behøver at gemme en hel fakultet. For meget store n lægger den i stedet logaritmerne af disse faktorer sammen.

Referencer

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. m.fl. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.