Gamma Fordelings Beregner - Statistisk Analyseværktøj

Hvad er en beregner til gammafordelingen?

En beregner til gammafordelingen finder middelværdi, varians, skævhed, kurtosis og typetal for en gammafordeling ud fra to input: en formparameter og en skalaparameter. Den tegner også sandsynlighedstæthedsfunktionen for fordelingen som en kurve.

Hvad er en gammafordeling?

Gammafordelingen er en kontinuert sandsynlighedsfordeling for positive værdier. Den er defineret ved to parametre: en formparameter, som normalt skrives som k, og en skalaparameter, som normalt skrives som θ (theta). Begge skal være større end nul. Gammafordelingen bruges til at modellere størrelser, der ikke kan være negative, såsom samlede nedbørsmængder, størrelsen af forsikringskrav og tiden, indtil en maskindel svigter.

Formel for gammafordelingen

Gammafordelingens sandsynlighedstæthedsfunktion (PDF) er:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Her er x den værdi, hvor tætheden måles, og Γ(k) er gammafunktionen, en generalisering af fakultetet til ikke-heltal. Formlen gælder kun for x > 0; tætheden er nul alle andre steder.

Sådan beregnes gammafordelingens egenskaber

Ud fra formparameteren k og skalaparameteren θ finder beregneren:

• Middelværdi: k × θ
• Varians: k × θ²
• Skævhed: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Typetal: (k − 1) × θ når k ≥ 1, ellers 0

Skævhed måler, hvor asymmetrisk kurven er. En mindre k-værdi giver en længere højre hale. Kurtosis måler, hvor tunge halerne er sammenlignet med en normalfordeling, som har en kurtosis på 3. Typetallet er den x-værdi, hvor kurven når sit maksimum. Når k er mindre end 1, bliver tætheden ved med at stige, når x nærmer sig 0, så der er ikke noget indre maksimum, og beregneren angiver et typetal på 0.

Regneeksempel

Antag en formparameter k = 2 og en skalaparameter θ = 3.

• Middelværdi = 2 × 3 = 6
• Varians = 2 × 3² = 18
• Skævhed = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Typetal = (2 − 1) × 3 = 3

Ved typetallet, x = 3, bliver tætheden f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Beregneren tegner automatisk hele kurven, så snart begge parametre er indtastet.

Sådan bruger du beregneren til gammafordelingen

1. Indtast formparameteren (k), et positivt tal.
2. Indtast skalaparameteren (θ), et positivt tal.
3. Middelværdi, varians, skævhed, kurtosis og typetal vises, så snart begge felter indeholder gyldige tal. Der er ingen separat beregningsknap; resultaterne opdateres, efterhånden som tallene indtastes.
4. Diagrammet under resultaterne viser sandsynlighedstæthedsfunktionen. Det tegnes fra lige over x = 0 og ud til den største af tre gange middelværdien eller fem gange skalaparameteren.

Begge parametre skal være endelige tal større end 0, og ingen af dem må være større end 1000. Værdier mindre end cirka 2 × 10⁻¹⁶ afvises også, fordi sammendragstallene ikke længere er meningsfulde ved den størrelse. En værdi uden for det accepterede interval giver en fejlmeddelelse i stedet for resultater.

Hvor gammafordelingen bruges

Gammafordelingen modellerer mange virkelige størrelser, der altid er positive og ofte er højreskæve:

• Forsikring: størrelsen af forsikringskrav og udbetalingsbeløb
• Meteorologi: samlede nedbørsmængder over en fast periode
• Ingeniørvidenskab: tiden, indtil en komponent svigter
• Køteori: ventetider opbygget af flere eksponentielle trin
• Biologi: niveauer for genekspression og data om antal af arter

Relaterede fordelinger

To velkendte fordelinger er specialtilfælde af gammafordelingen:

• Eksponentialfordelingen: en gammafordeling med k = 1
• Chi-i-anden-fordelingen: en gammafordeling med k = n/2 og θ = 2, hvor n er antallet af frihedsgrader

Weibullfordelingen og log-normalfordelingen er almindelige alternativer til modellering af positive, skæve data.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges gammafordelingen til? Den modellerer kontinuerte, positive størrelser såsom ventetider, nedbørsmængder og forsikringskrav, især når dataene hælder mod store værdier.

Hvordan finder man middelværdien af en gammafordeling? Gang formparameteren med skalaparameteren: middelværdi = k × θ. For k = 2 og θ = 3 er middelværdien 6.

Hvad er forskellen mellem formparameteren og skalaparameteren? Formparameteren (k) styrer kurvens form, herunder dens skævhed. Skalaparameteren (θ) strækker eller sammenpresser kurven langs x-aksen uden at ændre dens grundlæggende form.

Hvordan hænger gammafordelingen sammen med eksponentialfordelingen? Eksponentialfordelingen er gammafordelingen med formparameteren k = 1.

Kan gammafordelingen antage negative værdier? Nej. Den er kun defineret for x > 0. Data, der kan være negative, kræver en anden fordeling, såsom normalfordelingen.

Beregner denne beregner den kumulative fordelingsfunktion? Nej. Den beregner middelværdi, varians, skævhed, kurtosis og typetal og tegner sandsynlighedstæthedsfunktionen. Den viser ikke kumulative sandsynlighedsværdier.

Referencer

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, bind 1. John Wiley & Sons.