Kritisk Værdi Beregner | Z-test, t-test, Chi-Square

En kritisk værdi er grænsepunktet på en sandsynlighedsfordeling, der markerer kanten af »forkastningsområdet« i en hypotesetest. Hvis en teststørrelse falder uden for den kritiske værdi, vurderes resultatet som statistisk signifikant, og nulhypotesen forkastes. Denne beregner finder kritiske værdier for de tre mest almindelige test: z-testen, t-testen og chi-kvadrat-testen.

Hvad er en kritisk værdi?

I statistik tager forskere ofte udgangspunkt i en nulhypotese, en enkel antagelse om, at der ikke sker noget usædvanligt (for eksempel at et nyt lægemiddel ikke har nogen effekt). En teststørrelse beregnes ud fra stikprøvedata, og den sammenlignes med en kritisk værdi for at afgøre, om dataene giver tilstrækkeligt belæg imod nulhypotesen.

Den kritiske værdi afhænger af tre ting: valget af test, signifikansniveauet (skrevet som α, det græske bogstav alfa), og om testen er ensidet eller tosidet. Signifikansniveauet er sandsynligheden for fejlagtigt at forkaste en sand nulhypotese og sættes ofte til 0,05 (5 %) eller 0,01 (1 %).

En ensidet test undersøger, om der er en effekt i én bestemt retning, for eksempel »større end«. Den har én kritisk værdi. En tosidet test undersøger, om der er en effekt i begge retninger, og har to kritiske værdier, én på hver side af fordelingen.

Sådan beregnes en kritisk værdi

1. Vælg testen: Z-test (store stikprøver eller kendt populationsvarians), t-test (små stikprøver med ukendt varians) eller chi-i-anden-test (kategoriske data eller goodness-of-fit-test).
2. Vælg testtype: ensidet eller tosidet.
3. Vælg signifikansniveauet α, et tal mellem 0 og 1. Almindelige valg er 0,10, 0,05 og 0,01.
4. Angiv frihedsgrader (df) for en t-test eller chi-kvadrat-test. For en t-test er df lig med stikprøvestørrelsen minus 1. For en chi-kvadrat-goodness-of-fit-test er df lig med antallet af kategorier minus 1.
5. Find (eller beregn) den værdi, der afskærer det valgte haleområde under fordelingskurven. Dette er den kritiske værdi.

Formler for kritiske værdier

Hver formel bruger den inverse af en kumulativ fordelingsfunktion: den værdi af x, hvor arealet under kurven op til x er lig med en mål-sandsynlighed p.

Formel for Z-test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(ensidet)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(tosidet)}$

Φ⁻¹ er den inverse kumulative fordelingsfunktion for standardnormalfordelingen.

Formel for t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(ensidet)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(tosidet)}$

t⁻¹(p, df) er den inverse kumulative fordelingsfunktion for t-fordelingen med df frihedsgrader.

Formel for chi-i-anden-test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(ensidet)}$ $\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{øvre}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(tosidet)}$

Chi-kvadrat-fordelingen har kun positive værdier, så begge kritiske værdier er positive, og den nedre kritiske værdi er mindre end den øvre kritiske værdi.

Eksempel: Kritisk værdi for Z-test

Et kvalitetskontrolteam ønsker en kritisk værdi for en ensidet Z-test ved α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Enhver teststørrelse over 1,6449 ligger i forkastningsområdet.

Eksempel: Kritisk værdi for t-test

En forsker gennemfører et eksperiment med 20 deltagere, så df = 19. De ønsker en tosidet kritisk værdi ved α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Forkastningsområderne er t < -2,8609 og t > 2,8609.

Eksempel: Kritiske værdier for chi-i-anden-test

En analytiker sammenligner observerede og forventede antal i 5 kategorier, så df = 4. Analytikeren ønsker tosidede kritiske værdier ved α = 0,05.

$\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{øvre}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

En chi-i-anden-teststørrelse under 0,4844 eller over 11,1433 ville ligge i forkastningsområdet.

Almindelige kritiske værdier

Når antallet af frihedsgrader vokser, nærmer t-fordelingens kritiske værdier sig de tilsvarende værdier for Z-testen, fordi t-fordelingen nærmer sig normalfordelingen.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges en kritisk værdi til? Den angiver grænsen for, hvornår en teststørrelse er ekstrem nok til at forkaste nulhypotesen. Hvis teststørrelsen overskrider den kritiske værdi, er resultatet statistisk signifikant ved det valgte α-niveau.

Hvad er forskellen på en ensidet og en tosidet kritisk værdi? En ensidet test leder efter en effekt i én retning og har én kritisk værdi. En tosidet test leder efter en effekt i begge retninger og har to kritiske værdier, der er placeret symmetrisk omkring centrum for Z-testen og t-testen. Ved samme α er en tosidet kritisk værdi større i absolut værdi end en ensidet, fordi den samlede sandsynlighed fordeles på to haler i stedet for én.

Hvornår bør en Z-test bruges i stedet for en t-test? En Z-test bruges, når populationsvariansen er kendt, eller når stikprøven er stor, typisk 30 eller flere observationer. En t-test bruges til mindre stikprøver med ukendt populationsvarians. Når stikprøvestørrelsen vokser, konvergerer t-testens kritiske værdier mod Z-testens kritiske værdier.

Kan en kritisk værdi være negativ? Ja. Z-testens og t-testens fordelinger er symmetriske omkring nul, så en tosidet test har én negativ og én positiv kritisk værdi. Kritiske værdier for chi-i-anden-testen er altid positive, fordi chi-i-anden-fordelingen kun er defineret for værdier på nul eller derover.

Hvordan påvirker frihedsgraderne en kritisk værdi? Frihedsgrader angiver, hvor meget uafhængig information der er i dataene, normalt stikprøvestørrelsen minus antallet af allerede estimerede parametre. Færre frihedsgrader giver bredere fordelinger med tungere haler og større kritiske værdier. Flere frihedsgrader bringer t-fordelingen og chi-i-anden-fordelingen tættere på normalfordelingen.

Hvilken kritisk værdi svarer til et konfidensniveau på 95 %? Et konfidensniveau på 95 % bruger α = 0,05. For en tosidet Z-test er de kritiske værdier ±1,9600. For en ensidet Z-test er den kritiske værdi 1,6449.

Historie

Karl Pearson introducerede chi-i-anden-testen i 1900. William Sealy Gosset, der publicerede under navnet »Student«, udviklede t-fordelingen i 1908 for at håndtere små stikprøver på Guinness-bryggeriet. Ronald Fisher formaliserede signifikanstest og kritiske værdier i 1920'erne i sin bog Statistical Methods for Research Workers. Før computere slog forskere kritiske værdier op i trykte tabeller; i dag beregner lommeregnere og software dem direkte ud fra fordelingsformlerne.

Referencer

1. Pearson, K. (1900). »On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.« Philosophical Magazine, serie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). »The probable error of a mean.« Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, »Critical Values«.