Z-Score Beregner - Standard Score & Sandsynlighedsværktøj

Hvad er en z-score?

En z-score, også kaldet en standardscore, måler, hvor mange standardafvigelser et datapunkt ligger fra gennemsnittet i et datasæt. En z-score på 0 betyder, at værdien er lig med gennemsnittet. En positiv z-score betyder, at værdien ligger over gennemsnittet, mens en negativ z-score betyder, at den ligger under gennemsnittet.

Z-score-formel

Et datapunkts z-score beregnes med denne formel:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Hvor:

• $z$ er z-scoren
• $x$ er datapunktet
• $\mu$ er gennemsnittet i datasættet
• $\sigma$ er standardafvigelsen i datasættet

Standardafvigelsen kan ikke være nul, fordi division med nul ikke har et defineret resultat. Den kan heller ikke være negativ, eftersom en standardafvigelse pr. definition altid er nul eller positiv.

Sådan beregnes en z-score

1. Find datasættets gennemsnit ved at lægge alle værdierne sammen og dividere med antallet af værdier, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Find standardafvigelsen. Beregn først variansen, som er gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra gennemsnittet, og tag derefter kvadratroden af den.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Dette er populationsstandardafvigelsen, hvor der divideres med $n$. Når tallene er en stikprøve taget fra en større gruppe, divideres der i stedet med $n - 1$.

3. Træk gennemsnittet fra datapunktet, og divider med standardafvigelsen.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Regneeksempel

En elev får 85 point i en test. Klassens gennemsnit er 75, og standardafvigelsen for klassens resultater er 10.

• Datapunkt: $x = 85$
• Gennemsnit: $\mu = 75$
• Standardafvigelse: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Elevens z-score er 1,0. Resultatet ligger én standardafvigelse over klassens gennemsnit.

Z-score og kumulativ sandsynlighed

En z-score kan omregnes til en kumulativ sandsynlighed, altså sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt værdi fra en normalfordeling ligger på eller under dette punkt. Det er arealet under den standardiserede normalfordelingskurve til venstre for $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

For elevens z-score på 1,0 er den kumulative sandsynlighed cirka 0,8413 eller 84,13 %. Det betyder, at eleven klarede sig bedre end cirka 84 % af klassen, hvis resultaterne følger en normalfordeling. Beregneren viser z-scoren med fire decimaler og den kumulative sandsynlighed som en procentdel med to decimaler.

Nogle referencepunkter:

Fortolkning af en z-score

De fleste værdier i en normalfordeling ligger inden for 2 standardafvigelser fra gennemsnittet. Z-scores over +3 eller under -3 er sjældne og betragtes ofte som afvigende værdier, det vil sige værdier, der afviger markant fra resten af dataene.

Z-scores gør det også muligt at sammenligne værdier, der er målt på forskellige skalaer. En testscore og et højdemål kan ikke sammenlignes direkte, men deres z-scores kan sammenlignes, fordi begge beskriver afstanden fra et gennemsnit i de samme standardafvigelsesenheder.

Z-score versus t-score

En z-score forudsætter, at populationens standardafvigelse er kendt, og fungerer bedst med store stikprøver. En t-score bruges i stedet, når populationens standardafvigelse er ukendt, og stikprøven er lille, typisk med færre end 30 observationer. Begge beskriver afstanden fra et gennemsnit, men en t-score stammer fra t-fordelingen, som har tungere haler for at tage højde for den ekstra usikkerhed i en lille stikprøve.

Almindelige anvendelser af z-scores

• Standardiserede prøver. Sammenligning af en elevs råscore med den samlede fordeling af resultater.
• Registrering af afvigende værdier. Markering af datapunkter, der ligger langt fra gennemsnittet i et datasæt.
• Kvalitetskontrol. Kontrol af, om en fremstillet genstand ligger inden for et acceptabelt interval.
• Hypotesetest. Z-tests bruger z-scores til at vurdere, om et stikprøvegennemsnit afviger væsentligt fra et kendt populationsgennemsnit.

Historie

Z-scoren bygger på normalfordelingen, som blev beskrevet af Abraham de Moivre i 1733 og videreudviklet af Carl Friedrich Gauss og Pierre-Simon Laplace i begyndelsen af det 19. århundrede. Standardisering af værdier ved hjælp af standardafvigelser blev almindelig praksis inden for psykologisk testning og kvalitetskontrol i løbet af det 20. århundrede.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en z-score i statistik? En z-score er det antal standardafvigelser, et datapunkt ligger fra gennemsnittet i sit datasæt. Den findes med formlen z = (x − μ) / σ.

Hvordan fortolker jeg resultatet af en z-score? En z-score på 0 betyder, at værdien er lig med gennemsnittet. En positiv værdi ligger over gennemsnittet, og en negativ værdi ligger under det. Værdier over +3 eller under -3 er usædvanlige.

Kan en z-score være negativ? Ja. En negativ z-score betyder blot, at datapunktet ligger under gennemsnittet. En z-score på -2 betyder, at værdien ligger 2 standardafvigelser under gennemsnittet.

Hvad er forskellen mellem en z-score og en t-score? En z-score bruges med store stikprøver, når populationens standardafvigelse er kendt. En t-score bruges med små stikprøver, generelt med færre end 30 observationer, når den ikke er kendt.

Hvad betyder kumulativ sandsynlighed for en z-score? Det er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt værdi fra en normalfordeling er mindre end eller lig med den angivne z-score. Den svarer til arealet under normalfordelingskurven til venstre for dette punkt.

Hvad sker der, hvis standardafvigelsen er nul? Z-scoren er ikke defineret, fordi formlen kræver division med nul. En standardafvigelse på nul betyder, at alle værdier i datasættet er identiske.

Referencer

1. Standardiseret score, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normalfordeling og z-scores, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review