Fisher's Eksakte Test Beregner - Gratis Statistisk Værktøj

Hvad er Fishers eksakte test?

Fishers eksakte test er en statistisk metode, der undersøger, om to kategoriske variabler hænger sammen, ved hjælp af data arrangeret i en 2×2-tabel. Den beregner en eksakt sandsynlighed, kaldet en p-værdi, i stedet for en tilnærmelse. Det gør den nyttig, når stikprøven er lille.

Testen sammenligner antal i to rækker og to kolonner, f.eks. patienter, der fik behandling, over for patienter, der ikke fik behandling, og som enten kom sig eller ikke kom sig. En 2×2-tabel har fire celler, som normalt betegnes A, B, C og D, samt række- og kolonnetotaler.

Fishers eksakte test over for chi-i-anden-testen

Chi-i-anden-testen undersøger også, om der er en sammenhæng mellem to kategoriske variabler, men den bygger på en tilnærmelse, der kun fungerer godt, når celleantallene er tilstrækkeligt store. En almindelig tommelfingerregel er, at hvis et forventet celleantal i tabellen er under 5, bliver chi-i-anden-tilnærmelsen upålidelig, og Fishers eksakte test er det bedre valg. Fishers eksakte test fungerer ved alle stikprøvestørrelser, men den er matematisk eksakt i stedet for tilnærmet, hvilket er dens vigtigste fordel ved små stikprøver.

Sådan beregnes Fishers eksakte test

Testen anvender den hypergeometriske fordeling, som beskriver sandsynligheden for at trække et bestemt antal elementer fra en gruppe uden at lægge dem tilbage. Givet en tabels række- og kolonnetotaler angiver den hypergeometriske fordeling sandsynligheden for enhver specifik fordeling af de fire celleantal.

Sandsynlighedsformlen

For en tabel med cellerne A, B, C og D, rækketotalerne r₁ = A + B og r₂ = C + D, kolonnetotalerne c₁ = A + C og c₂ = B + D samt den samlede stikprøvestørrelse n = A + B + C + D er sandsynligheden for netop denne tabel:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Her betyder "!" fakultet: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Ensidet p-værdi

En ensidet p-værdi sammenlægger sandsynligheden for den observerede tabel med sandsynligheden for alle andre tabeller med de samme række- og kolonnetotaler, som viser en lige så stærk eller stærkere sammenhæng i samme retning. "Retningen" afgøres ved at sammenligne celle A med den værdi, den ville have, hvis de to variabler var uafhængige, kaldet dens forventede værdi: E(A) = r₁c₁ / n.

• Hvis A er lig med eller større end E(A), hælder sammenhængen positivt, og summen omfatter alle mulige værdier for celle A fra den observerede værdi til den højest mulige værdi.
• Hvis A er mindre end E(A), hælder sammenhængen negativt, og summen går fra den lavest mulige værdi for celle A til den observerede værdi.

Tosidet p-værdi

En tosidet p-værdi sammenlægger sandsynlighederne for alle mulige tabeller med de samme række- og kolonnetotaler, hvis sandsynlighed er lig med eller mindre end sandsynligheden for den observerede tabel. Dette tæller ekstreme resultater i begge retninger, så en tosidet p-værdi normalt er større end en ensidet p-værdi beregnet ud fra den samme tabel.

Regneeksempel

I et lille forsøg gives et nyt lægemiddel til 10 patienter og placebo til 10 andre patienter. Resultaterne:

Her er A = 8, B = 2, C = 3, D = 7, og n = 20. Den forventede værdi af A under uafhængighed er E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Da 8 er større end 5,5, hælder sammenhængen positivt, så den ensidede sum går fra A = 8 til den højest mulige værdi for A, som er 10.

Beregning af de hypergeometriske sandsynligheder for A = 8, 9 og 10 giver en ensidet p-værdi på cirka 0,0349. Når sandsynlighederne for alle tabeller (i begge retninger) med en sandsynlighed, der er lig med eller mindre end sandsynligheden for den observerede tabel, lægges sammen, fås en tosidet p-værdi på cirka 0,0698.

Ved den almindelige grænse på 0,05 regnes det ensidede resultat som statistisk signifikant, mens det tosidede resultat ikke gør. Det viser, hvorfor valget af testtype har betydning: En ensidet test er kun passende, når effektens retning (her at lægemidlet forbedrer resultaterne) blev forudsagt, før dataene blev undersøgt.

Hvornår anvendes Fishers eksakte test?

Fishers eksakte test er almindelig ved:

• Kliniske forsøg med et lille antal patienter.
• Kvalitetskontrol, hvor antal fejl sammenlignes mellem to produktionspartier.
• Genetisk forskning, hvor antallet af en egenskab sammenlignes mellem to små grupper.
• Enhver 2×2-tabel, hvor et forventet celleantal er under 5.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges Fishers eksakte test til? Den undersøger, om to kategoriske variabler hænger sammen, ved hjælp af antal fra en 2×2-tabel. Den vælges ofte frem for chi-i-anden-testen, når stikprøven er lille.

Hvornår bør Fishers eksakte test anvendes i stedet for chi-i-anden-testen? Når et forventet celleantal i tabellen er under 5, eller når der er behov for ekstra sikkerhed om den eksakte sandsynlighed uanset stikprøvestørrelsen.

Hvad er forskellen mellem ensidede og tosidede resultater? En ensidet p-værdi tester en forudsagt effektretning, som er fastlagt, før dataene ses. En tosidet p-værdi tester, om der findes en sammenhæng i en af de to retninger. En tosidet p-værdi fra den samme tabel er normalt større.

Rapporterer denne beregner en oddsratio? Nej. Den rapporterer kun den eksakte p-værdi. En oddsratio for den samme tabel kan findes separat ved at dividere A × D med B × C.

Kan Fishers eksakte test anvendes på tabeller, der er større end 2×2? Den version, der beskrives her, er beregnet til 2×2-tabeller. Større tabeller kræver en beslægtet metode, der kaldes Freeman-Halton-udvidelsen, og som findes i de fleste statistikprogrammer.

Kan Fishers eksakte test anvendes på parrede data, f.eks. før-og-efter-målinger på de samme personer? Nej. Den forudsætter to uafhængige grupper. Parrede kategoriske data kræver i stedet McNemars test.

Referencer

1. Fisher, R.A. (1922). "On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). "Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance." Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. udg.). Wiley.