Poisson Fordelings Beregner - Beregn Hændelsessandsynligheder

Hvad er en Poisson-fordelingsberegner?

En Poisson-fordelingsberegner finder sandsynligheden for, at et bestemt antal hændelser finder sted i et fast tidsrum eller område, når man ved, hvor ofte hændelserne i gennemsnit forekommer. Den bruges, når hændelser forekommer én ad gangen, uafhængigt af hinanden og med en konstant gennemsnitlig rate. Typiske eksempler er antallet af telefonopkald, et callcenter modtager på en time, eller antallet af stavefejl på en side.

Formel for Poisson-fordelingen

Poisson-fordelingen angiver sandsynligheden for præcis k hændelser, når den gennemsnitlige rate er λ (det græske bogstav lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Hvert symbol betyder:

• λ (lambda) — det gennemsnitlige antal hændelser pr. interval. Det er fordelingens eneste parameter.
• k — det præcise antal hændelser, hvis sandsynlighed beregnes. Det skal være et helt tal, 0 eller større.
• e — Eulers tal, en fast konstant lig med cirka 2,71828.
• k! — »k fakultet«, produktet af alle hele tal fra 1 til og med k. For eksempel er 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Pr. konvention er 0! = 1.

Formlen kræver kun λ og k. Den kræver ikke et samlet antal forsøg, i modsætning til binomialfordelingen.

Sådan beregnes en Poisson-sandsynlighed

1. Vælg λ, det gennemsnitlige antal hændelser i det interval, der undersøges.
2. Vælg k, det præcise antal hændelser, som sandsynligheden skal findes for.
3. Opløft e til potensen −λ: det giver e^(−λ).
4. Opløft λ til potensen k: det giver λ^k.
5. Find k!, altså fakultetet af k.
6. Gang resultaterne fra trin 3 og 4, og divider derefter med resultatet fra trin 5.

Det tal, der fremkommer, er en sandsynlighed mellem 0 og 1. Gang det med 100 for at udtrykke det som en procentdel.

Regneeksempel

Et callcenter modtager i gennemsnit 5 opkald i timen (λ = 5). Hvad er sandsynligheden for, at det modtager præcis 3 opkald i en given time (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Gang: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Divider med 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Sandsynligheden for præcis 3 opkald i den time er cirka 0,140 eller 14 %.

Flere eksempler

Hvor Poisson-fordelingen anvendes

Poisson-fordelingen modellerer antal af sjældne, uafhængige hændelser. Almindelige anvendelser omfatter:

• Callcentre og kundeservice: forudsigelse af, hvor mange opkald eller chats der ankommer pr. time.
• Produktion: estimering af antallet af fejl i et parti produkter.
• Forsikring: estimering af, hvor mange skadesanmeldelser der kommer i en given periode.
• Biologi og medicin: modellering af antallet af mutationer eller spredningen af sjældne sygdomme.
• Fysik: beskrivelse af radioaktivt henfald, hvor hvert atom henfalder uafhængigt med en konstant gennemsnitlig rate.
• Trafik- og netværksteknik: estimering af køretøjers ankomst til et vejkryds eller forespørgsler, der rammer en server.

Betingelser for anvendelse af Poisson-fordelingen

Poisson-fordelingen passer kun til en situation, når alle disse betingelser er opfyldt:

• Hændelser forekommer én ad gangen; to hændelser kan ikke forekomme på præcis samme tidspunkt.
• Hændelser forekommer uafhængigt — én hændelse gør ikke den næste mere eller mindre sandsynlig.
• Den gennemsnitlige rate, λ, forbliver konstant i det interval, der undersøges.

Hvis raten ændrer sig over tid, eller hændelser har tendens til at klumpe sig sammen, beskriver den almindelige Poisson-fordeling ikke dataene godt.

Poisson-fordelingen sammenlignet med beslægtede fordelinger

• Binomialfordeling: bruges, når der er et fast antal forsøg og en kendt sandsynlighed for succes i hvert forsøg, f.eks. når en mønt kastes 20 gange. Poisson-fordelingen er det, binomialfordelingen nærmer sig, når antallet af forsøg bliver meget stort, og sandsynligheden for succes pr. forsøg nærmer sig nul, mens deres produkt forbliver omkring λ.
• Normalfordeling: ved stor λ, omtrent over 20, ligner Poisson-fordelingen en klokkeformet normalfordeling med middelværdi λ og varians λ.
• Eksponentialfordeling: mens Poisson-fordelingen tæller, hvor mange hændelser der sker i et fast interval, beskriver eksponentialfordelingen ventetiden mellem disse hændelser.

En bemærkning om historien

Den franske matematiker Siméon Denis Poisson introducerede fordelingen i 1837 i en bog om sandsynlighed anvendt på domstolsafgørelser. Den fik kun begrænset opmærksomhed i begyndelsen. Anvendelsen voksede i begyndelsen af det 20. århundrede, efter at statistikere som Ladislaus Bortkiewicz og Ronald Fisher anvendte den på reelle tælledata, herunder et berømt studie af preussiske soldater, der blev dræbt af hestespark.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad betyder lambda (λ) i en Poisson-fordeling? Lambda er det gennemsnitlige antal hændelser, der forventes i det interval, der undersøges. Det er også fordelingens varians, så en større λ betyder både et højere gennemsnitligt antal og større spredning i de mulige resultater.

Kan k eller λ være negativ eller en brøk? λ skal være større end 0, men kan være et decimaltal, f.eks. 2,5 hændelser pr. time. k skal være et helt tal på 0 eller derover, eftersom det tæller faktiske hændelser; det kan ikke være negativt eller en brøk.

Hvordan adskiller Poisson-fordelingen sig fra binomialfordelingen? Binomialfordelingen kræver et fast antal forsøg og en fast sandsynlighed for succes pr. forsøg. Poisson-fordelingen kræver kun en gennemsnitlig rate og fungerer for hændelser, der i princippet kan forekomme et vilkårligt antal gange.

Hvornår bør normalfordelingen anvendes i stedet? Ved stor λ, generelt over cirka 20, approksimerer en normalfordeling med samme middelværdi og varians Poisson-fordelingen tæt og er ofte lettere at arbejde med i hånden.

Hvorfor viser beregneren nogle gange et tal i videnskabelig notation? Resultater vises normalt med seks decimaler. Når en sandsynlighed er mindre end 0,0001, vil seks decimaler afrunde den til 0,000000 og skjule, hvor lille den faktisk er, så beregneren skifter i stedet til videnskabelig notation. For λ = 20 og k = 1 viser den 4.122307e-8, hvilket betyder 0,00000004122307.

Er der grænser for de værdier, beregneren accepterer? Ja. λ skal være større end 0 og højst 700, og k skal være et helt tal fra 0 til 1000. Uden for disse grænser viser beregneren en fejl. Grænserne holder resultatet inden for det talområde, en computer kan lagre, og holder diagrammet på et læseligt antal søjler.

Tillader Poisson-fordelingen mere end én hændelse ad gangen? Nej. Modellen antager, at hændelser forekommer én ad gangen. Hvis to hændelser regelmæssigt forekommer samtidig, passer en anden fordeling bedre til dataene.

Referencer

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, afsnit 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp og Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.