Binomialverteilungs-Rechner - Kostenloses Wahrscheinlichkeits-Tool

Was ist ein Binomialverteilungs-Rechner?

Ein Binomialverteilungs-Rechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche genau eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu erzielen, wenn jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Er wird in der Statistik, in der Qualitätskontrolle, in der Medizin und in jedem Gebiet verwendet, das wiederholte Ja-Nein-Ereignisse untersucht.

Die zugrunde liegende Idee ist die Binomialverteilung, ein Wahrscheinlichkeitsmodell zum Zählen von Erfolgen bei wiederholten Versuchen, die jeweils nur zwei Ergebnisse haben, meist Erfolg und Misserfolg genannt.

Formel der Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Die Symbole bedeuten:

• n – die Anzahl der Versuche.
• k – die Anzahl der Erfolge, für die die Wahrscheinlichkeit ermittelt wird.
• p – die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch, eine Zahl zwischen 0 und 1.
• $\binom{n}{k}$ – der Binomialkoeffizient, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen. Er ist gleich $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Jeder Versuch muss unabhängig sein, das heißt, das Ergebnis eines Versuchs verändert die Wahrscheinlichkeiten eines anderen nicht, und die Erfolgswahrscheinlichkeit p muss bei allen Versuchen gleich bleiben. Ein einzelner Versuch mit zwei möglichen Ergebnissen, etwa ein Münzwurf, heißt Bernoulli-Versuch. Eine Binomialverteilung ergibt sich, wenn man n Bernoulli-Versuche zusammenzählt.

So berechnen Sie die Binomialwahrscheinlichkeit

1. Notieren Sie n, k und p.
2. Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$, die Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge auf n Versuche zu verteilen.
3. Potenzieren Sie p mit k.
4. Potenzieren Sie (1 − p) mit (n − k).
5. Multiplizieren Sie die drei Zahlen miteinander.

Der Rechner auf dieser Seite führt diese Schritte automatisch aus. Geben Sie n, p und k ein, und er liefert P(X = k) als auf sechs Stellen gerundete Dezimalzahl, zusammen mit einem Balkendiagramm, das die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses von 0 bis n Erfolgen zeigt. Die Anzahl der Versuche n muss mindestens 1 betragen, und k muss zwischen 0 und n liegen.

Beispiele

Beispiel 1: Münzwürfe

Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3-mal Kopf zu erhalten?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Ergebnis: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, also etwa 11,72 %

Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Eine Fabrik prüft 100 Artikel. Jeder Artikel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 100 Artikel fehlerhaft ist?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Da k = 0 ist, vereinfacht sich die Formel zu $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Ergebnis: ≈ 0,1326, also etwa 13,26 %

Beispiel 3: Krankheitstest

Eine Stadt testet 1.000 Personen auf eine Krankheit, mit der sich 0,1 % der Bevölkerung infiziert haben (p = 0,001). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 der 1.000 Personen infiziert sind?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Ergebnis: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, also etwa 0,30 % (genauer Wert 0,0030488, d. h. 0,30488 %)

Mittelwert und Varianz

Für eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p gilt:

• Mittelwert (Erwartungswert): E(X) = np
• Varianz: Var(X) = np(1 − p)
• Standardabweichung: σ = √[np(1 − p)]

Der Mittelwert gibt die durchschnittliche Anzahl der Erfolge an, die bei vielen Wiederholungen zu erwarten ist. In Beispiel 1 beträgt der Mittelwert 10 × 0,5 = 5 Mal Kopf.

Wann die Binomialverteilung zutrifft

Die Binomialverteilung passt nur dann zu einer Situation, wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Anzahl der Versuche n steht im Voraus fest.
2. Jeder Versuch hat nur zwei Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg.
3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich.
4. Die Versuche sind voneinander unabhängig.

Das Ziehen von Karten aus einem Stapel ohne Zurücklegen verletzt die Unabhängigkeitsbedingung, weil das Entfernen einer Karte die Wahrscheinlichkeiten für die nächste Ziehung verändert. In dieser Situation ist stattdessen die hypergeometrische Verteilung zu verwenden.

Verwandte Verteilungen

• Poisson-Verteilung: wird zur Näherung der Binomialverteilung verwendet. Die Näherung kann verwendet werden, wenn die Anzahl der Versuche groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit klein ist. Sie ist üblich zur Modellierung seltener Ereignisse wie des Krankheitsfalls in Beispiel 3.
• Normalverteilung: Bei großem n sieht die Binomialverteilung ungefähr glockenförmig aus und lässt sich durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert np und der Varianz np(1 − p) annähern. Eine gängige Faustregel besagt, dass np und n(1 − p) beide größer als 5 sein müssen; die Näherung ist besser, wenn beide mindestens 10 betragen.
• Hypergeometrische Verteilung: wird anstelle der Binomialverteilung verwendet, wenn die Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird.

Häufig gestellte Fragen

Was macht ein Binomialverteilungs-Rechner?

Er berechnet die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit jeweils der Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu erzielen, mit der Formel P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Was ist der Unterschied zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung?

Die Binomialverteilung ist diskret, das heißt, sie liefert nur ganzzahlige Anzahlen von Erfolgen. Die Normalverteilung ist stetig. Bei großem n lässt sich eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert np und der Varianz np(1 − p) annähern.

Kann p gleich 0 oder 1 sein?

Ja. Ist p = 0, kann kein Versuch gelingen, also ist P(X = 0) = 1. Ist p = 1, gelingt jeder Versuch, also ist P(X = n) = 1. Alle anderen Werte von k haben in diesen Fällen die Wahrscheinlichkeit 0.

In welcher Beziehung stehen Binomial- und Bernoulli-Verteilung zueinander?

Eine Bernoulli-Verteilung beschreibt einen einzelnen Versuch mit zwei Ergebnissen (n = 1). Eine Binomialverteilung ist die Summe von n unabhängigen Bernoulli-Versuchen, sodass eine Bernoulli-Verteilung einfach eine Binomialverteilung mit n = 1 ist.

Kann der Rechner eine große Anzahl von Versuchen verarbeiten?

Ja. Der Rechner verwendet Standardzahlen mit doppelter Genauigkeit. Bei kleinem n multipliziert er den Binomialkoeffizienten direkt mit den Potenzen von p und 1 − p. Wird der Koeffizient für das Zahlenformat zu groß oder eine Potenz zu klein, wechselt er zum Addieren von Logarithmen und rechnet die Summe am Ende zurück. Das Ergebnis bleibt eine endliche Wahrscheinlichkeit. Mit n = 5.000, p = 0,5 und k = 2.500 liefert er zum Beispiel etwa 0,011283. Bei sehr großem n ist auch eine Näherung durch die Normal- oder die Poisson-Verteilung üblich.

Wie wird der Binomialkoeffizient berechnet?

Der Binomialkoeffizient C(n, k) gibt an, auf wie viele Arten sich k Elemente aus n Elementen auswählen lassen, unabhängig von der Reihenfolge. Er ist gleich n! / (k! × (n − k)!) und lässt sich auch schrittweise durch Multiplizieren und Dividieren laufender Zwischenwerte aufbauen, wodurch der direkte Umgang mit extrem großen Fakultäten vermieden wird.

Referenzen

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.18 Binomial Distribution. Binomialverteilung – die Wahrscheinlichkeitsfunktion C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ mit dem Mittelwert np und der Standardabweichung √(np(1 − p)).
2. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 4.6 Poisson Distribution. Poisson-Verteilung – Die Poisson-Verteilung kann zur Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn p klein und n groß ist.
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 7.3 Using the Central Limit Theorem. Normalverteilungsnäherung der Binomialverteilung – np > 5 und nq > 5 für die Normalverteilungsnäherung, besser, wenn beide mindestens 10 betragen; Mittelwert np.