Binomialverteilungs-Rechner - Kostenloses Wahrscheinlichkeits-Tool

Was ist ein Binomialverteilungsrechner?

Ein Binomialverteilungsrechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche genau eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu erzielen, wenn jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Er wird in der Statistik, der Qualitätskontrolle, der Medizin und in allen Bereichen eingesetzt, in denen wiederholte Ja-Nein-Ereignisse untersucht werden.

Die zugrunde liegende Idee ist die Binomialverteilung, ein Wahrscheinlichkeitsmodell zum Zählen von Erfolgen bei wiederholten Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben, meist Erfolg und Misserfolg.

Formel der Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, lautet:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Die einzelnen Symbole bedeuten:

• n — die Anzahl der Versuche.
• k — die Anzahl der Erfolge, für die die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll.
• p — die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch, eine Zahl zwischen 0 und 1.
• $\binom{n}{k}$ — der Binomialkoeffizient, also die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen. Er entspricht $\frac{n\text{ Fakultät}}{k\text{ Fakultät}(n-k)\text{ Fakultät}}$.

Jeder Versuch muss unabhängig sein. Das bedeutet, dass das Ergebnis eines Versuchs die Wahrscheinlichkeit eines anderen Versuchs nicht verändert. Außerdem muss die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei allen Versuchen gleich bleiben. Ein einzelner Versuch mit zwei möglichen Ergebnissen, etwa ein Münzwurf, wird Bernoulli-Versuch genannt. Eine Binomialverteilung entsteht, indem n Bernoulli-Versuche zusammengezählt werden.

Binomialwahrscheinlichkeit berechnen

1. n, k und p aufschreiben.
2. Den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ berechnen, also die Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge auf n Versuche zu verteilen.
3. p mit dem Exponenten k potenzieren.
4. (1 − p) mit dem Exponenten (n − k) potenzieren.
5. Die drei Zahlen miteinander multiplizieren.

Der Rechner auf dieser Seite führt diese Schritte automatisch aus. Nach der Eingabe von n, p und k gibt er P(X = k) sowie ein Balkendiagramm mit der Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses von 0 bis n Erfolgen aus.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Münzwürfe

Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3-mal Kopf zu erhalten?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Ergebnis: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, also etwa 11,72 %

Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Eine Fabrik prüft 100 Artikel. Jeder Artikel hat eine Wahrscheinlichkeit von 2 %, fehlerhaft zu sein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 100 Artikel fehlerhaft ist?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Da k = 0 gilt, vereinfacht sich die Formel zu $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Ergebnis: ≈ 0,1326, also etwa 13,26 %

Beispiel 3: Krankheitstests

Eine Stadt testet 1.000 Personen auf eine Krankheit, die 0,1 % der Bevölkerung infiziert (p = 0,001). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 der 1.000 Personen infiziert sind?

• n = 1.000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Ergebnis: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, also etwa 0,30 % (genauer Wert 0,0030488, also 0,30488 %)

Erwartungswert und Varianz

Für eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p gilt:

• Mittelwert (Erwartungswert): E(X) = np
• Varianz: Var(X) = np(1 − p)
• Standardabweichung: σ = √[np(1 − p)]

Der Mittelwert gibt an, wie viele Erfolge bei vielen Wiederholungen durchschnittlich zu erwarten sind. In Beispiel 1 beträgt der Mittelwert 10 × 0,5 = 5 Köpfe.

Welche Eingaben der Rechner akzeptiert

• n muss eine ganze Zahl von mindestens 1 sein. Eine Dezimaleingabe wird auf die nächste ganze Anzahl von Versuchen gerundet, daher wird 10,9 als 11 behandelt.
• p muss zwischen 0 und 1 liegen, einschließlich beider Grenzwerte.
• k muss eine ganze Zahl von mindestens 0 sein und darf nicht größer als n sein. 8 Erfolge bei 5 Versuchen sind unmöglich, daher zeigt der Rechner statt einer Zahl eine Fehlermeldung an.

Bleibt ein Eingabefeld leer, zeigt der Rechner weder ein Ergebnis noch ein Diagramm an, statt einen Wert zu schätzen.

Wann die Binomialverteilung anwendbar ist

Die Binomialverteilung passt nur dann zu einer Situation, wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Anzahl der Versuche n steht im Voraus fest.
2. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg.
3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich.
4. Die Versuche sind voneinander unabhängig.

Das Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel ohne Zurücklegen verletzt die Bedingung der Unabhängigkeit, weil das Entfernen einer Karte die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Ziehen verändert. Für diese Situation wird stattdessen die hypergeometrische Verteilung verwendet.

Verwandte Verteilungen

• Poisson-Verteilung: Sie wird zur Annäherung der Binomialverteilung verwendet, wenn n groß und p klein ist, sodass die durchschnittliche Anzahl der Erfolge (np) moderat bleibt. Sie eignet sich häufig zur Modellierung seltener Ereignisse wie des Krankheitsfalls in Beispiel 3.
• Normalverteilung: Bei großem n und einem p-Wert, der nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegt, sieht die Binomialverteilung ungefähr glockenförmig aus und kann durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert np und der Varianz np(1 − p) angenähert werden.
• Hypergeometrische Verteilung: Sie wird anstelle der Binomialverteilung verwendet, wenn aus einer endlichen Grundgesamtheit ohne Zurücklegen gezogen wird.

Häufig gestellte Fragen

Was macht ein Binomialverteilungsrechner?

Er berechnet mit der Formel P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k) die Wahrscheinlichkeit, in n unabhängigen Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu erzielen.

Was ist der Unterschied zwischen Binomial- und Normalverteilung?

Die Binomialverteilung ist diskret. Das bedeutet, dass sie nur ganzzahlige Anzahlen von Erfolgen liefert. Die Normalverteilung ist stetig. Bei großem n kann eine Binomialverteilung durch eine Normalkurve mit dem Mittelwert np und der Varianz np(1 − p) angenähert werden.

Darf p gleich 0 oder 1 sein?

Ja. Wenn p = 0 gilt, kann kein Versuch erfolgreich sein, daher ist P(X = 0) = 1. Wenn p = 1 gilt, ist jeder Versuch erfolgreich, daher ist P(X = n) = 1. Für alle anderen k-Werte beträgt die Wahrscheinlichkeit in diesen Fällen 0.

In welchem Verhältnis stehen Binomial- und Bernoulli-Verteilung?

Eine Bernoulli-Verteilung beschreibt einen einzelnen Versuch mit zwei Ergebnissen (n = 1). Eine Binomialverteilung ist die Summe von n unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Daher ist eine Bernoulli-Verteilung lediglich eine Binomialverteilung mit n = 1.

Wie groß kann n werden, bevor der Rechner ungenau wird?

Der Rechner arbeitet mit der üblichen Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit. Er multipliziert die drei Teile der Formel direkt und wechselt zu Logarithmen, wenn der Binomialkoeffizient über die größte von einem Double darstellbare Zahl hinauswächst. Das geschieht ungefähr bei n = 1.000, wenn k nahe bei n/2 liegt. Die Ergebnisse bleiben auch oberhalb dieses Bereichs korrekt. Eine Wahrscheinlichkeit von weniger als etwa 1e-308 wird als 0 ausgegeben, weil kein Double einen solchen Wert speichern kann.

Wie wird der Binomialkoeffizient berechnet?

Der Binomialkoeffizient C(n, k) zählt die Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, unabhängig von deren Reihenfolge. Er entspricht n Fakultät / (k Fakultät × (n − k) Fakultät). Der Rechner baut ihn Schritt für Schritt auf, indem er jeweils mit einem Faktor multipliziert und durch den nächsten dividiert. Dadurch muss er keine vollständige Fakultät speichern. Bei sehr großen n addiert er stattdessen die Logarithmen dieser Faktoren.

Quellen

1. „Binomialverteilung.“ Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.