Kreis-Rechner: Radius, Durchmesser, Fläche & Umfang berechnen

Kreisrechner

Ein Kreisrechner ermittelt Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche eines Kreises aus einem beliebigen dieser vier Werte. Geben Sie eine einzige bekannte Messgröße ein; der Rechner berechnet die anderen drei mithilfe von Standardformeln der Geometrie.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Dieser feste Abstand ist der Radius. Alle anderen grundlegenden Größen eines Kreises (Durchmesser, Umfang und Fläche) lassen sich allein aus dem Radius ableiten.

So wird der Rechner verwendet

1. Wählen Sie den bekannten Parameter: Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche.
2. Geben Sie den Zahlenwert ein. Der Wert muss null oder größer sein; negative Längen und Flächen sind physikalisch nicht sinnvoll.
3. Der Rechner zeigt Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche an, jeweils auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Die Eingabe von null ist zulässig und ergibt für alle vier Messgrößen null, da ein Kreis mit Radius null aus einem einzigen Punkt besteht. Nichtnumerische Eingaben führen anstelle eines Ergebnisses zu einem Validierungsfehler.

Kreisformeln

Sei r der Radius und d der Durchmesser. Die Konstante π (Pi) beträgt ungefähr 3,14159; sie ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.

Durchmesser aus dem Radius:

$d = 2r$

Umfang:

$C = 2\pi r = \pi d$

Fläche:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Radius aus dem Umfang:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Radius aus der Fläche:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Aus jedem einzelnen Wert lassen sich die übrigen drei bestimmen, indem zunächst der Radius berechnet und anschließend die oben genannten Formeln für Durchmesser, Umfang und Fläche angewendet werden.

Berechnung von Kreismessgrößen aus jedem Ausgangswert

Ausgehend vom Radius (r):

• Durchmesser: d = 2r
• Umfang: C = 2πr
• Fläche: A = πr²

Ausgehend vom Durchmesser (d):

• Radius: r = d / 2
• Umfang: C = πd
• Fläche: A = πd² / 4

Ausgehend vom Umfang (C):

• Radius: r = C / (2π)
• Durchmesser: d = C / π
• Fläche: A = πr²

Ausgehend von der Fläche (A):

• Radius: r = √(A / π)
• Durchmesser: d = 2r
• Umfang: C = 2πr

Beispiel

Ein Kreis hat einen Radius von 5 Einheiten.

• Durchmesser: d = 2 × 5 = 10 Einheiten
• Umfang: C = 2π × 5 ≈ 31,42 Einheiten
• Fläche: A = π × 5² ≈ 78,54 Quadrateinheiten

Derselbe Kreis könnte stattdessen durch seinen Umfang von etwa 31,42 Einheiten beschrieben werden. Die Division durch 2π ergibt wieder einen Radius von 5 Einheiten, und Durchmesser und Fläche folgen wie zuvor. Jeder einzelne der vier Werte legt die anderen drei fest.

Kreisformeln in der Geometrie

Die Zahl π ist irrational, das heißt, ihre Dezimalstellen brechen weder ab noch wiederholen sie sich. Antike Mathematiker näherten sie an: Die Babylonier und Ägypter verwendeten grobe Brüche, und Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.) grenzte sie zwischen 223/71 und 22/7 ein, indem er ein- und umbeschriebene Vielecke benutzte. William Jones verwendete das Symbol π erstmals in seiner heutigen Bedeutung im Jahr 1706, und Leonhard Eulers Übernahme im Jahr 1737 machte es zum Standard. Moderne Rechner verwenden π mit weit mehr Dezimalstellen, als irgendeine physikalische Messung erfordert.

Kreisformeln finden Anwendung in Bereichen wie dem Ingenieurwesen, wo sie Rohre, Zahnräder und Räder bemessen, dem Bauwesen, wo sie den Materialbedarf für runde Bauwerke bestimmen, und der Astronomie, wo Umlaufbahnen oft als Kreise oder Ellipsen angenähert werden.

Häufig gestellte Fragen

Wie wird der Umfang eines Kreises berechnet? Multiplizieren Sie den Radius mit 2π oder den Durchmesser mit π: C = 2πr = πd. Ein Kreis mit einem Radius von 5 Einheiten hat einen Umfang von etwa 31,42 Einheiten.

Wie lautet die Formel für die Fläche eines Kreises? Die Fläche entspricht π mal dem Quadrat des Radius: A = πr². Ein Kreis mit einem Radius von 5 Einheiten hat eine Fläche von etwa 78,54 Quadrateinheiten.

Wie finde ich den Radius aus dem Umfang? Teilen Sie den Umfang durch 2π (etwa 6,2832). Ein Umfang von 31,42 Einheiten ergibt einen Radius von 5 Einheiten.

Wie finde ich den Radius aus der Fläche? Teilen Sie die Fläche durch π und ziehen Sie dann die Quadratwurzel: r = √(A / π). Eine Fläche von 78,54 Quadrateinheiten ergibt einen Radius von 5 Einheiten.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchmesser und Radius? Der Durchmesser ist immer doppelt so groß wie der Radius (d = 2r), und der Radius ist immer halb so groß wie der Durchmesser (r = d / 2).

Kann man für Kreismaße beliebige Einheiten verwenden? Ja. Radius, Durchmesser und Umfang verwenden dieselbe Längeneinheit, etwa Zentimeter oder Zoll, während die Fläche in dieser Einheit zum Quadrat angegeben wird. Der Rechner rechnet nicht zwischen Einheiten um; die Ergebnisse verwenden die eingegebene Einheit.

Referenzen

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. A history of Pi. Die Geschichte von Pi — Schranken des Archimedes 223/71 < π < 22/7; frühe ägyptische und mesopotamische Werte; William Jones verwendete π im Jahr 1706, und Euler übernahm es 1737.