Kreis-Rechner: Radius, Durchmesser, Fläche & Umfang berechnen

Kreisrechner

Ein Kreisrechner ermittelt Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche eines Kreises aus einem beliebigen dieser vier Werte. Geben Sie eine einzige bekannte Messgröße ein; der Rechner berechnet die anderen drei mithilfe von Standardformeln der Geometrie.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die den gleichen Abstand von einem Mittelpunkt haben. Dieser feste Abstand ist der Radius. Durchmesser, Umfang und Fläche ergeben sich allein aus dem Radius.

So wird der Rechner verwendet

1. Wählen Sie den bekannten Parameter: Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche.
2. Geben Sie den Zahlenwert ein. Der Wert muss null oder größer sein; negative Längen und Flächen sind physikalisch nicht sinnvoll.
3. Der Rechner zeigt Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche an, jeweils auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Der Rechner zeichnet den Kreis außerdem. Die Zeichnung ist schematisch und nicht maßstabsgetreu, daher sehen ein winziger und ein sehr großer Kreis ungefähr gleich groß aus.

Die Eingabe von null ist zulässig und ergibt für alle vier Messgrößen null, da ein Kreis mit Radius null aus einem einzigen Punkt besteht. Nichtnumerische Eingaben führen anstelle eines Ergebnisses zu einem Validierungsfehler.

Kreisformeln

Sei r der Radius und d der Durchmesser. Die Konstante π (Pi) beträgt ungefähr 3,14159; sie ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.

Durchmesser aus dem Radius:

$d = 2r$

Umfang:

$C = 2\pi r = \pi d$

Fläche:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Radius aus dem Umfang:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Radius aus der Fläche:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Aus jedem einzelnen Wert lassen sich die übrigen drei bestimmen, indem zunächst der Radius berechnet und anschließend die oben genannten Formeln für Durchmesser, Umfang und Fläche angewendet werden.

Berechnung von Kreismessgrößen aus jedem Ausgangswert

Ausgehend vom Radius (r):

• Durchmesser: $d = 2r$
• Umfang: $C = 2\pi r$
• Fläche: $A = \pi r^2$

Ausgehend vom Durchmesser (d):

• Radius: $r = \frac{d}{2}$
• Umfang: $C = \pi d$
• Fläche: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

Ausgehend vom Umfang (C):

• Radius: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Durchmesser: $d = \frac{C}{\pi}$
• Fläche: $A = \pi r^2$

Ausgehend von der Fläche (A):

• Radius: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Durchmesser: $d = 2r$
• Umfang: $C = 2\pi r$

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Kreis hat einen Radius von 5 Einheiten.

• Durchmesser: d = 2 × 5 = 10 Einheiten.
• Umfang: C = 2π × 5 ≈ 31,42 Einheiten.
• Fläche: A = π × 5² ≈ 78,54 Quadrateinheiten.

Derselbe Kreis kann durch seinen Umfang von etwa 31,42 Einheiten beschrieben werden. Die Division von 31,42 durch 2π ergibt nach dem Runden 5,00 Einheiten, sodass der Radius wieder erhalten wird und sich Durchmesser und Fläche wie zuvor ergeben. Jeder der vier Werte legt die anderen drei fest.

Kreisformeln in der Geometrie

Die Zahl π ist irrational, das heißt, ihre Dezimalstellen enden nie und wiederholen sich nicht. Mathematiker der Antike näherten sich ihrem Wert an: Babylonier und Ägypter verwendeten grobe Brüche, und Archimedes von Syrakus zeigte um 250 v. Chr. mithilfe von innerhalb und außerhalb eines Kreises gezeichneten Vielecken, dass π zwischen 223/71 und 22/7 liegt. Das Symbol π wurde im 18. Jahrhundert durch den Mathematiker Leonhard Euler populär. Moderne Rechner verwenden π mit weit mehr Dezimalstellen, als irgendeine physikalische Messung erfordert.

Kreisformeln werden zur Dimensionierung von Rohren, Zahnrädern und Rädern verwendet, zur Ermittlung des Materialbedarfs einer runden Konstruktion sowie zur Modellierung von Umlaufbahnen in der Astronomie.

Häufig gestellte Fragen

Wie wird der Umfang eines Kreises berechnet? Multiplizieren Sie den Radius mit 2π oder den Durchmesser mit π: C = 2πr = πd. Ein Kreis mit einem Radius von 5 Einheiten hat einen Umfang von etwa 31,42 Einheiten.

Wie lautet die Formel für die Fläche eines Kreises? Die Fläche entspricht π mal dem Quadrat des Radius: A = πr². Ein Kreis mit einem Radius von 5 Einheiten hat eine Fläche von etwa 78,54 Quadrateinheiten.

Wie bestimme ich den Radius aus dem Umfang? Teilen Sie den Umfang durch 2π (etwa 6,2832). Ein Umfang von 31,42 Einheiten ergibt einen Radius von etwa 5 Einheiten.

Wie bestimme ich den Radius aus der Fläche? Teilen Sie die Fläche durch π und ziehen Sie anschließend die Quadratwurzel: r = √(A / π). Eine Fläche von 78,54 Quadrateinheiten ergibt einen Radius von etwa 5 Einheiten.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchmesser und Radius? Der Durchmesser ist immer doppelt so groß wie der Radius (d = 2r), und der Radius ist immer halb so groß wie der Durchmesser (r = d / 2).

Kann man für Kreismaße beliebige Einheiten verwenden? Ja. Radius, Durchmesser und Umfang verwenden dieselbe Längeneinheit, etwa Zentimeter oder Zoll, während die Fläche in dieser Einheit zum Quadrat angegeben wird. Der Rechner rechnet nicht zwischen Einheiten um; die Ergebnisse verwenden die eingegebene Einheit.

Referenzen

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Archimedes. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf