Υπολογιστής Αψίδας - Υπολογισμός Ακτίνας, Άνοιγμα & Ύψος

Τι είναι ένας υπολογιστής τόξων;

Ένας υπολογιστής κυκλικών τόξων βρίσκει τις διαστάσεις ενός κυκλικού τόξου — την ακτίνα, το άνοιγμα και το βέλος του — από οποιεσδήποτε δύο από αυτές τις τιμές. Υπολογίζει επίσης το μήκος του τόξου και το εμβαδόν του τόξου. Αρχιτέκτονες, κατασκευαστές και ερασιτέχνες τον χρησιμοποιούν για τον σχεδιασμό θυρών, παραθύρων, γεφυρών και καμπύλων στοιχείων κήπου.

Βασικές διαστάσεις τόξου

Ένα κυκλικό τόξο είναι ένα τμήμα που έχει αποκοπεί από την περιφέρεια ενός κύκλου. Πέντε μετρήσεις περιγράφουν το σχήμα του:

• Ακτίνα: η απόσταση από το κέντρο του κύκλου έως οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης του τόξου.
• Άνοιγμα: η ευθεία οριζόντια απόσταση μεταξύ των δύο κάτω άκρων του τόξου, που ονομάζεται επίσης πλάτος.
• Βέλος: η κατακόρυφη απόσταση από τη γραμμή γένεσης (την ευθεία γραμμή που ενώνει τα δύο άκρα) έως το υψηλότερο σημείο του τόξου.
• Μήκος τόξου: η απόσταση κατά μήκος της καμπύλης γραμμής του τόξου, από το ένα άκρο έως το άλλο.
• Εμβαδόν τόξου: το εμβαδόν της καμπύλης περιοχής που περικλείεται μεταξύ του τόξου και της γραμμής γένεσης.

Τύποι διαστάσεων τόξου

Οι τύποι αυτοί ισχύουν για κυκλικό τόξο, δηλαδή για τόξο που αποτελεί τμήμα ενός μόνο κύκλου. Ισχύουν για οποιοδήποτε βέλος έως το διπλάσιο της ακτίνας. Το εύρος αυτό καλύπτει τα τόξα θυρών, παραθύρων και γεφυρών που υπολογίζουν οι περισσότεροι, καθώς και τα πεταλοειδή τόξα, όπου η καμπύλη συνεχίζεται πέρα από το ημικύκλιο.

Τύπος βέλους (από ακτίνα και άνοιγμα)

$\text{Βέλος} = \text{Ακτίνα} - \sqrt{\text{Ακτίνα}^2 - \left(\frac{\text{Άνοιγμα}}{2}\right)^2}$

Ισχύει όταν η ακτίνα και το άνοιγμα είναι θετικά και το άνοιγμα ≤ 2 × ακτίνα.

Τύπος ακτίνας (από άνοιγμα και βέλος)

$\text{Ακτίνα} = \frac{\text{Άνοιγμα}^2}{8 \times \text{Βέλος}} + \frac{\text{Βέλος}}{2}$

Ισχύει όταν το άνοιγμα και το βέλος είναι θετικά.

Τύπος ανοίγματος (από ακτίνα και βέλος)

$\text{Άνοιγμα} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Ακτίνα} \times \text{Βέλος} - \text{Βέλος}^2}$

Ισχύει όταν η ακτίνα και το βέλος είναι θετικά και το βέλος ≤ 2 × ακτίνα.

Τύπος μήκους τόξου

$\text{Μήκος τόξου} = \text{Ακτίνα} \times \theta$

Εδώ το θ (θήτα) είναι η κεντρική γωνία, σε ακτίνια, που διαγράφει η καμπύλη του τόξου στο κέντρο του κύκλου. Όταν το βέλος δεν είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα, το τόξο είναι το πολύ ημικύκλιο και το θ είναι:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Όταν το βέλος είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα, το τόξο είναι μεγαλύτερο από ημικύκλιο και το θ είναι το υπόλοιπο της πλήρους περιστροφής:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Ο υπολογιστής καλύπτει και τις δύο περιπτώσεις με ένα βήμα, θ = 2 × atan2(Άνοιγμα ÷ 2, Ακτίνα − Βέλος), το οποίο παραμένει επίσης ακριβές στο ημικύκλιο.

Τύπος εμβαδού τόξου

$\text{Εμβαδόν τόξου} = \frac{1}{2} \times \text{Ακτίνα}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Άνοιγμα} \times (\text{Ακτίνα} - \text{Βέλος})$

Πώς χρησιμοποιείται ο υπολογιστής τόξων

Ο υπολογιστής προσφέρει τρεις λειτουργίες, μία για κάθε διάσταση που μπορεί να λείπει.

Υπολογισμός βέλους, όταν είναι γνωστά η ακτίνα και το άνοιγμα: εισαγάγετε την ακτίνα και το άνοιγμα. Το εργαλείο επιστρέφει το βέλος, το μήκος τόξου και το εμβαδόν τόξου.

Υπολογισμός ακτίνας, όταν είναι γνωστά το άνοιγμα και το βέλος: εισαγάγετε το άνοιγμα και το βέλος. Το εργαλείο επιστρέφει την ακτίνα, το μήκος τόξου και το εμβαδόν τόξου.

Υπολογισμός ανοίγματος, όταν είναι γνωστά η ακτίνα και το βέλος: εισαγάγετε την ακτίνα και το βέλος. Το εργαλείο επιστρέφει το άνοιγμα, το μήκος τόξου και το εμβαδόν τόξου.

Ο υπολογιστής απορρίπτει τιμές που δεν μπορούν να σχηματίσουν πραγματικό τόξο. Το άνοιγμα δεν μπορεί να υπερβαίνει το διπλάσιο της ακτίνας, το βέλος δεν μπορεί να υπερβαίνει το διπλάσιο της ακτίνας και κάθε διάσταση πρέπει να είναι θετικός αριθμός. Εμφανίζει μήνυμα σφάλματος όταν μια τιμή παραβιάζει έναν από αυτούς τους κανόνες.

Λυμένο παράδειγμα

Παράδειγμα 1: Τόξο πόρτας

Ένα τόξο πόρτας έχει άνοιγμα 36 ίντσες (91,4 cm) και βέλος 12 ίντσες (30,5 cm).

Ακτίνα = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 ίντσες (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 ακτίνια

Μήκος τόξου = 19,5 × 2,352 = 45,86 ίντσες (116 cm)

Εμβαδόν τόξου = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 τετραγωνικές ίντσες (2.010 cm²)

Παράδειγμα 2: Τόξο κήπου

Ένα τόξο κήπου έχει ακτίνα 4 πόδια (1,2 m) και άνοιγμα 6 πόδια (1,8 m).

Βέλος = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 πόδια (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 ακτίνια

Μήκος τόξου = 4 × 1,696 = 6,78 πόδια (2,07 m)

Εμβαδόν τόξου = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 τετραγωνικά πόδια (0,523 m²)

Παράδειγμα 3: Τόξο γέφυρας

Ένα τόξο γέφυρας έχει άνοιγμα 50 πόδια (15 m) και βέλος 15 πόδια (4,57 m).

Ακτίνα = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 πόδια (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 ακτίνια

Μήκος τόξου = 28,33 × 2,162 = 61,25 πόδια (18,7 m)

Εμβαδόν τόξου = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 τετραγωνικά πόδια (49,6 m²)

Συνήθεις χρήσεις των υπολογισμών τόξων

Οι κατασκευαστές χρησιμοποιούν τις διαστάσεις τόξων για να κόψουν καλούπια για τόξα από σκυρόδεμα, να σχεδιάσουν πρότυπα από τούβλα ή πέτρα για τοιχοποιίες με τόξα και να μελετήσουν την καμπυλότητα θολωτών οροφών. Οι σχεδιαστές γεφυρών χρησιμοποιούν το άνοιγμα, το βέλος και την ακτίνα για να εξισορροπήσουν την κατανομή των φορτίων με το ελεύθερο ύψος. Οι εργασίες αποκατάστασης βασίζονται στους ίδιους τύπους για την ακριβή αναπαραγωγή της γεωμετρίας ενός ιστορικού τόξου κατά την επισκευή ή την ανακατασκευή του. Κηπουροί και ερασιτέχνες κατασκευαστές τούς χρησιμοποιούν για τοξωτές πέργκολες, εισόδους και διακοσμητικά ανοίγματα.

Ο υπολογιστής αυτός καλύπτει μόνο κυκλικά τόξα, δηλαδή τόξα που σχηματίζονται από το τόξο ενός μόνο κύκλου. Τα ελλειπτικά, παραβολικά, γοτθικά και αλυσοειδή τόξα ακολουθούν διαφορετικές καμπύλες και απαιτούν διαφορετικούς τύπους.

Σύντομη ιστορία του τόξου

Οι κατασκευαστές στην αρχαία Μεσοποταμία χρησιμοποιούσαν πρώιμες μορφές που έμοιαζαν με τόξα ήδη από το 2500 π.Χ., αν και τα περισσότερα κατασκευάζονταν με εκφορική τοιχοποιία — με την τοποθέτηση λίθων έτσι ώστε κάθε στρώση να προεξέχει από την υποκείμενη — και όχι με πραγματικά καμπύλο τόξο. Οι Ρωμαίοι ανέπτυξαν το ημικυκλικό τόξο σε τυπική μέθοδο δόμησης, χρησιμοποιώντας το σε υδραγωγεία, γέφυρες και κτίρια όπως το Κολοσσαίο. Οι μεσαιωνικοί κατασκευαστές στην Ευρώπη ανέπτυξαν το οξυκόρυφο γοτθικό τόξο, που τους επέτρεψε να κατασκευάζουν ψηλότερες και ελαφρύτερες κατασκευές. Αργότερα, οι αρχιτέκτονες επέστρεψαν σε ημικυκλικές μορφές βασισμένες σε ακριβείς αναλογίες, ενώ σύγχρονα υλικά όπως ο χάλυβας και το οπλισμένο σκυρόδεμα επιτρέπουν πλέον στα τόξα να γεφυρώνουν πολύ μεγαλύτερες αποστάσεις.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ βέλους και ύψους σε ένα τόξο;

Το βέλος είναι η κατακόρυφη απόσταση από τη γραμμή γένεσης έως την κορυφή της καμπύλης του τόξου. Το ύψος αναφέρεται μερικές φορές στο συνολικό ύψος ενός ανοίγματος, συμπεριλαμβανομένου οποιουδήποτε ευθύγραμμου τοίχου κάτω από τη γραμμή γένεσης.

Λειτουργεί αυτός ο υπολογιστής για όλους τους τύπους τόξων;

Όχι. Λειτουργεί μόνο για κυκλικά τόξα, δηλαδή για τόξα με σχήμα τμήματος κύκλου. Τα ελλειπτικά, παραβολικά, γοτθικά και αλυσοειδή τόξα ακολουθούν διαφορετικές καμπύλες και απαιτούν ξεχωριστούς τύπους.

Ποια είναι η σχέση μεταξύ ανοίγματος και ακτίνας σε ένα ημικυκλικό τόξο;

Σε ένα ημικυκλικό τόξο, η ακτίνα ισούται με το μισό του ανοίγματος και το βέλος ισούται με την ακτίνα. Το τόξο σχηματίζει ακριβώς το μισό ενός κύκλου.

Γιατί δεν μπορεί το άνοιγμα να είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο της ακτίνας;

Άνοιγμα ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας σχηματίζει ήδη ημικύκλιο, δηλαδή το πλατύτερο δυνατό τόξο για αυτή την ακτίνα. Μεγαλύτερο άνοιγμα δεν θα χωρούσε καθόλου στον κύκλο.

Γιατί δεν μπορεί το βέλος να είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο της ακτίνας (στη λειτουργία υπολογισμού ανοίγματος);

Το βέλος μετριέται από τη γραμμή γένεσης έως το υψηλότερο σημείο του τόξου στον ίδιο κύκλο. Το διπλάσιο της ακτίνας είναι το πλήρες ύψος του κύκλου, επομένως μεγαλύτερο βέλος θα τοποθετούσε την κορυφή του τόξου έξω από τον κύκλο. Βέλος μεταξύ της ακτίνας και του διπλάσιου της ακτίνας είναι αποδεκτό. Τότε το τόξο είναι μεγαλύτερο από ημικύκλιο, όπως στα πεταλοειδή τόξα.

Ποιες μονάδες χρησιμοποιεί ο υπολογιστής;

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε συνεπής μονάδα — ίντσες, πόδια, μέτρα ή εκατοστά. Εισαγάγετε κάθε τιμή στην ίδια μονάδα και τα αποτελέσματα θα είναι στην ίδια μονάδα, με το εμβαδόν εκφρασμένο σε τετραγωνικές μονάδες.