Επιλυτής Τετραγωνικής Εξίσωσης - Υπολογισμός Ριζών του ax² + bx + c = 0

Τι είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση;

Μια δευτεροβάθμια εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής $ax^2 + bx + c = 0$, όπου τα $a$, $b$ και $c$ είναι αριθμοί και το $a$ δεν είναι μηδέν. Ο υπολογιστής επίλυσης σε αυτή τη σελίδα βρίσκει την τιμή ή τις τιμές του $x$ που ικανοποιούν την εξίσωση, χρησιμοποιώντας τους συντελεστές $a$, $b$ και $c$ που εισάγει ο χρήστης.

Αν το $a$ ήταν μηδέν, ο όρος $x^2$ θα εξαφανιζόταν και η εξίσωση θα γινόταν γραμμική αντί για δευτεροβάθμια. Για τον λόγο αυτό, ο υπολογιστής απαιτεί $a \neq 0$ και εμφανίζει σφάλμα αν $a = 0$.

Ο τύπος επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής $ax^2 + bx + c = 0$ μπορεί να λυθεί με τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Το σύμβολο $\pm$ αντιπροσωπεύει δύο ξεχωριστούς υπολογισμούς, έναν με πρόσημο συν και έναν με πρόσημο πλην. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει δύο διαφορετικές λύσεις.

Η παράσταση κάτω από την τετραγωνική ρίζα, $b^2 - 4ac$, ονομάζεται διακρίνουσα. Συνήθως γράφεται ως $\Delta$ (το ελληνικό γράμμα δέλτα). Η διακρίνουσα από μόνη της δείχνει πόσες πραγματικές λύσεις έχει η εξίσωση, πριν γίνει ο υπόλοιπος υπολογισμός.

Πώς να υπολογίσετε τις ρίζες

1. Γράψτε την εξίσωση σε κανονική μορφή, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Προσδιορίστε τους συντελεστές $a$, $b$ και $c$.
3. Υπολογίστε τη διακρίνουσα: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Αν το $\Delta$ είναι θετικό, υπολογίστε και τις δύο ρίζες με $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Αν το $\Delta$ είναι μηδέν, υπολογίστε τη μοναδική ρίζα με $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Αν το $\Delta$ είναι αρνητικό, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, επειδή ένας αρνητικός αριθμός δεν έχει πραγματική τετραγωνική ρίζα.

Ο υπολογιστής σε αυτή τη σελίδα εκτελεί αυτά τα βήματα αυτόματα. Δέχεται συντελεστές μεταξύ $-10^{10}$ και $10^{10}$, και στρογγυλοποιεί τα αποτελέσματα σε επιλεγμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, από 0 έως 10.

Τι σημαίνει η διακρίνουσα

Αυτός ο υπολογιστής αναφέρει "καμία πραγματική ρίζα" όταν το $\Delta$ είναι αρνητικό. Δεν υπολογίζει μιγαδικές ρίζες (αριθμούς που περιλαμβάνουν $i = \sqrt{-1}$).

Παράδειγμα υπολογισμού

Λύστε την $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Εδώ $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Πρώτα βρείτε τη διακρίνουσα:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Αφού το $\Delta$ είναι θετικό, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Αυτό μπορεί να επαληθευτεί με παραγοντοποίηση: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, η οποία είναι μηδέν όταν $x = -2$ ή $x = -3$.

Ένα δεύτερο παράδειγμα δείχνει αρνητική διακρίνουσα. Για την $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, οπότε $\Delta = 1 - 4 = -3$. Επειδή το $\Delta$ είναι αρνητικό, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η παραβολή, η κορυφή και ο άξονας συμμετρίας

Το γράφημα της $f(x) = ax^2 + bx + c$ είναι μια καμπύλη που ονομάζεται παραβολή. Αν το $a$ είναι θετικό, η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω και έχει ένα χαμηλότερο σημείο. Αν το $a$ είναι αρνητικό, ανοίγει προς τα κάτω και έχει ένα ψηλότερο σημείο. Αυτό το χαμηλότερο ή ψηλότερο σημείο είναι η κορυφή.

Η κορυφή βρίσκεται στο:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Μια κατακόρυφη γραμμή που διέρχεται από την κορυφή, $x = -\dfrac{b}{2a}$, ονομάζεται άξονας συμμετρίας, επειδή τα δύο μισά της παραβολής καθρεφτίζονται το ένα στο άλλο ως προς αυτόν. Οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης είναι τα σημεία όπου η παραβολή τέμνει τον άξονα x, οπότε βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα συμμετρίας, στην ίδια απόσταση.

Ο υπολογιστής σχεδιάζει αυτή την παραβολή δίπλα στο αποτέλεσμα. Σημειώνει την κορυφή και τυχόν πραγματικές ρίζες πάνω στην καμπύλη, και διευρύνει το σχεδιαζόμενο εύρος όταν χρειάζεται, ώστε κάθε ρίζα να παραμένει ορατή.

Πού χρησιμοποιούνται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις περιγράφουν πολλές πραγματικές καταστάσεις. Στη φυσική, το ύψος ενός εκτοξευμένου αντικειμένου με τον χρόνο ακολουθεί την εξίσωση $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, και η επίλυσή της ως προς $t$ δίνει τον χρόνο προσγείωσης του αντικειμένου. Στη μηχανική, παραβολικά σχήματα εμφανίζονται σε δορυφορικά πιάτα και καλώδια γεφυρών λόγω του τρόπου με τον οποίο εστιάζουν ή κατανέμουν τη δύναμη. Στα γραφικά υπολογιστών, τα προγράμματα ανίχνευσης ακτίνων (ray tracing) λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις για να βρουν πού μια γραμμή τέμνει μια σφαίρα.

Σύντομη ιστορία

Οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί έλυναν συγκεκριμένα δευτεροβάθμια προβλήματα ήδη γύρω στο 2000 π.Χ., χρησιμοποιώντας γεωμετρικές μεθόδους αντί για άλγεβρα. Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Ευκλείδης αντιμετώπιζαν επίσης τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις γεωμετρικά. Γύρω στο 600 μ.Χ., ο Ινδός μαθηματικός Μπραχμαγκούπτα έδωσε έναν ρητό τύπο για τις ρίζες, συμπεριλαμβανομένων και αρνητικών λύσεων. Γύρω στο 800 μ.Χ., ο Πέρσης μαθηματικός αλ-Χουαρίζμι περιέγραψε συστηματικές μεθόδους επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων σε ένα βιβλίο του οποίου ο τίτλος έδωσε τη λέξη "άλγεβρα". Η σύγχρονη συμβολική μορφή του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης καθιερώθηκε αργότερα, καθώς ο αλγεβρικός συμβολισμός αναπτύχθηκε κατά την Αναγέννηση.

Συχνές ερωτήσεις

Τι συμβαίνει αν εισαγάγω 0 για τον συντελεστή a; Ο υπολογιστής εμφανίζει σφάλμα, επειδή το $a = 0$ μετατρέπει την εξίσωση σε γραμμική, $bx + c = 0$, η οποία λύνεται διαφορετικά.

Γιατί μια εξίσωση μερικές φορές δεν έχει πραγματικές ρίζες; Αυτό συμβαίνει όταν η διακρίνουσα, $b^2 - 4ac$, είναι αρνητική. Ένας αρνητικός αριθμός δεν έχει πραγματική τετραγωνική ρίζα, οπότε ο τύπος δεν μπορεί να παράγει πραγματική τιμή του $x$. Η εξίσωση εξακολουθεί να έχει δύο μιγαδικές ρίζες, αλλά αυτός ο υπολογιστής δεν τις υπολογίζει.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ρίζας και λύσης; Καμία. Και οι δύο λέξεις αναφέρονται σε μια τιμή του $x$ που μηδενίζει την εξίσωση. Η "ρίζα" αναφέρεται στο σημείο όπου το γράφημα συναντά τον άξονα x· η "λύση" αναφέρεται στην άλγεβρα.

Πόσα δεκαδικά ψηφία μπορώ να επιλέξω; Μεταξύ 0 και 10. Δύο ή τρία δεκαδικά ψηφία είναι συνήθως αρκετά για καθημερινά προβλήματα.

Μπορώ να εισαγάγω πολύ μεγάλους συντελεστές; Οι συντελεστές πρέπει να είναι μεταξύ $-10^{10}$ και $10^{10}$. Τιμές εκτός αυτού του εύρους μπορεί να προκαλέσουν σφάλματα στρογγυλοποίησης και απορρίπτονται.

Μπορεί αυτός ο υπολογιστής να βρει μιγαδικές ρίζες; Όχι. Όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική, αναφέρει "καμία πραγματική ρίζα" αντί να υπολογίσει μιγαδικούς αριθμούς.

Αναφορές

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratic Equation